Các định luật bảo toàn

CHƯƠNG II: NGUYÊN LÝ TÁC DỤNG TỐI THIỂU TRONG CƠ HỌC CỔ ĐIỂN

3.3 Nguyên lý tác dụng tối thiểu trong lý thuyết trường

3.3.2 Các định luật bảo toàn

Khi rút ra phương trình chuyển động của trường (3.39) chúng ta giả thiết các biến phân của hàm trường ở các biên của miền  bằng không. Bây giờ chúng ta xét biến phân của hàm tác dụng đối với chuyển động thực bằng cách giả thiết rằng miền lấy tích phân  cùng với trường sóng được coi như một khối thống nhất bị dịch chuyển một khoảng vô cùng nhỏ trong không gian bốn chiều Minkowski. Rõ ràng từ tính chất đối xứng và đẳng hướng của không gian ta suy ra tác dụng sẽ không bị thay đổi nghĩa là biến phân của tác dụng J sẽ bằng 0.

3.3.2.1. Tenxơ năng xung lượng của trường

Trong phép biến đổi vô cùng nhỏ của các tọa độ:

xx x , (3.40)

trong đó  là vectơ bốn chiều vô cùng nhỏ.

Nếu thay giá trị biến phân của hàm sóng cùng với x x  vào tích phân mặt của công thức (3.38) cho Jta có:

 x 0

J L L x d

x x

  





    

 

 

   

 

       

   

   

 

 (3.41)

0 J  T d 

  



    , (3.42)

với L  x

T L

x x

 





 



 

 



 

 

được gọi là tenxơ năng xung lượng của trường.

Từ (3.42) suy ra: T d  0



  . (3.43)

Sử dụng tương tự hình thức với không gian 3 chiều suy ra:

37

2 1 3

T d  T d  T d  T d 

   

  

    . (3.44)

Dấu trừ xuất hiện trước tích phân thứ hai là vì các pháp tuyến tới hai siêu mặt đáy 1và 2 sẽ ngược chiều nhau về hướng. Cho siêu mặt 3chứa thể tích  ở các hướng loại không gian tiến đến vô cực và nếu đặt điều kiện r r t, 0 thì tích phân cuối cùng trong công thức (3.44) sẽ tiến đến không. Vậy công thức (3.44) có dạng:

2 1

0 T d  T d  T d 

  

  

  

1 2

T d  T d 

 

    =const hay  

i

T d  C i



 

 = const,

trong đó ilà siêu mặt loại không gian bất kì.

Nếu ta chọn siêu mặt loại không gian trực giao trực tiếp với trục thời gian.

Yếu tố diện tích của siêu mặt này sẽ chỉ được xác định bởi diện tích hình chiếu:

  0,0,0, 4

d  d  d

với 4 1 1 2 3 1 3

d dx dx dx d x

i i

   xác định yếu tố không gian ba chiều thông thường.

Vậy từ (3.44), ta có các định luật bảo toàn:

3

4 onst

T d x c

 . (3.45)

Các đại lượng :

3 4

3 4 i

i

P i T d x

iL d x x

 





  

 

  

     





sẽ tạo thành một vectơ bốn chiều. Vectơ P được gọi là vectơ năng xumg lượng của trường.

Áp dụng định lý Gauss cho tích phân mặt (3.43) chúng ta nhận được:

4 0 0

T T

T d d x

x x

 

 

 



 

 

   

 

  .

38

Như vậy dive bốn chiều của tenxơ năng xung lượng bằng không. Sử dụng hệ thức này chúng ta chứng minh được sự bảo toàn vectơ P: P= const.

Khi thêm vào T một lượng

x 



 , trong đó  là tenxơ bất kỳ hạng 3 và phản đối xứng với 2 chỉ số và, dive bốn chiều của tenxơ T T

x



 





  

 và tenxơ Tsẽ đều bằng 0:

T 0 x





 

  .

Vậy việc thay thế tenxơ T bằng tenxơ T không dẫn đến sự thay đổi năng lượng và xung lượng của trường.

3.3.2.2. Tenxơ momen động lượng của trường

Bây giờ ta xét biến phân của tác dụng trong phép quay vô cùng bé của hệ quy chiếu: x x  x  x trong đó  1. (3.46) Nếu viết phép biến đổi Lorentz dưới dạng:

x x a x  x x . (3.47) Từ (3.46) và (3.47) ta có : x  x .

Ta có:   1  

a 2

    

    (3.48)

trong đó các mà trận 1 

2   là hệ số khai triển của ma trận theo  . Đối với các trường vô hướng và giả vô hướng    0.

Thực hiện phép khai triển Taylor dưới bậc nhất theo :

 x x x   x x

x

         



      

 . (3.49)

Thay (3.48), (3.49) vào công thức (3.46) ta có:

39

    1   

2

x x x x

x



       



        .

Kết quả cuối cùng ta nhận được:

    1    

2

x x x x

x



      



       

 . (3.50)

Ta thay biểu thức (3.50) vào tích phân mặt (3.38) ta có:

L  

J L d

x

  





    



 

 

  

    



   

1 2

L L d

x

        

 



        

 

 

 

 

  

  

        

 . (3.51)

Ta thực hiện các phép biến đổi chỉ cho số hạng thứ nhất trong dấu móc vuông và thứ hai trong dấu móc lớn của công thức (3.51). Cuối cùng ta thu được kết quả:

2 0

J  Md 

 



   

trong đó: M x T x T L    x

x

       





 

    

 

  

.

Như vậy: Md 0



  . (3.52)

Từ (3.52) suy ra: M 0 x





 

 .

Lập luận tương tự như đã tiến hành từ công thức (3.43) đến công thức (3.45), ta nhận được định luật bảo toàn:

3 4

Mv d xconst

 .

3.3.2.3. Điện tích và vectơ dòng

40 Tích phân tác dụng: J L d x4

x

 



  

    dùng cho các hàm trường thực.

Bây giờ ta tổng quát hóa tích phân tác dụng cho trường phức, các trường này tương ứng với các hạt tích điện.

Giả sử một trường phức nào đó được diễn tả bằng hàm phức thì nó và liên hợp phức của nócó thể biểu diễn dưới dạng:

   1  2  

1

x 2 x i x

     (3.53)

   1  2  

1

x 2 x i x

     (3.54)

trong đó1 x và2 x là các hàm thực và chúng có thể biểu diễn qua  và .

Ta chọn 1 x và 2 x là những tọa độ suy rộng độc lập của trường và tích phân tác dụng có thể biểu diễn dưới dạng:

, , , 4

J L d x

x x

 

 

 

 

  



   

     . (3.55)

Biến phân tổng quát có dạng:

L L L L

J x x

x x

 

     

 

  

   



 



   

   

     

   

         



L L

d

x x

  

 

 

  

 



 

 

 

  

 

     

 . (3.56)

Xét sự bất biến của tác dụng đối với phép biến đổi Gradien mà nó không là, cho các tọa độ không gian thay đổi, có nghĩa:

x x x

41 Xét phép biến đổi Gradien loại một

 x  x  x eie  x  x

   

    

 x  x eie  x  x  x

    

      trong đó  x ie x ;  x  ie x

với e – là số thực khác nhau đối với các trường khác nhau - tham số thực tùy ý không đổi.

Thay và  vào công thức (3.56) để xét cho chuyển động thực sự của trường ta có kết quả:

e L L 0

J i d

x x

  

 

 

    

 



 

 

 

 

 

      

 ,

sau đó ta xác định vectơ bốn chiều:

  L     L

J x ie x x

x x

  

 

 

 

 





 

 

 

 

      

. (3.57)

Chú ý đến công thức (3.57) thì biến phân tác dụng có thể viết:

  0

J x j x d 

 



    (3.58)

Dựa vào định lý Gauss, từ công thức (3.58) ta có thể suy ra:

  0 j x

x





 

 ,

nghĩa là chúng ta nhận được vectơ dòng bốn chiều thỏa mãn phương trình liên tục.

Vậy điện tích của trường:

3

Q  j d x4  const là đại lượng bảo toàn.

42

Như vậy nếu ta xuất phát từ nguyên lý tác dụng tối thiểu thì Lagrangian của trường là một sự tổng quát hóa hàm Lagrangian trong cơ học để cho hệ với vô tận bậc tự do. Từ nguyên lý tác dụng tối thiểu ta suy ra các phương trình “chuyển động”

của trường và các đại lượng động lực bất biến như vectơ năng xung lượng, momen động lượng, vectơ dòng và điện tích của trường. [2]

43 Kết luận chương 3

Trong chương 3, chúng tôi đã trình bày về nguyên lý tác dụng tối thiểu trong vật lý hiện đại, với những vấn đề thú vị về nguyên lý tác dụng tối thiểu và sự khôn ngoan của ánh sáng, giúp ta có thể giải thích được ba định luật cơ bản của quang học và đường truyền của ánh sáng trong môi trường chiết suất thay đổi. Ngoài ra, ta còn có thể ứng dụng phép tính biến phân vào để tìm đường truyền của tia sáng hay là tìm hiểu về nguyên lý tác dụng tối thiểu của trường điện từ. Không những thế, thông qua chương này chúng ta có thể vận dụng nguyên lý tác dụng tối thiểu để chứng minh các định luật bảo toàn trong lý thuyết trường.

44

KẾT LUẬN CHUNG

Khóa luận “Tìm hiểu về nguyên lý tác dụng tối thiểu trong vật lý” đã được thực hiện và đạt được các kết quả sau:

- Đã trình bày được một cách logic về cơ sở toán học của nguyên lý tác dụng tối thiểu giúp ta hiểu hơn về bản chất của nguyên lý. Thông qua việc tìm hiểu về phiếm hàm làm cơ sở để chúng ta nghiên cứu về phép tính biến phân cũng như là mối liên hệ giữa phép tính biến phân và nguyên lý tác dụng tối thiểu.

- Nghiên cứu mối liên hệ giữa nguyên lý tác dụng tối thiểu và các định luật Newton. Đồng thời, từ điều kiện cần của nguyên lý tác dụng tối thiểu tìm lại phương trình Lagrange loại 2, hệ phương trình Hamiltơn từ đó chỉ ra nguyên lý tác dụng tối thiểu là nguyên lý tổng quát của cơ học.

- Vận dụng nguyên lý tác dụng tối thiểu để tìm hiểu các vấn đề thú vị về sự khôn ngoan của ánh sáng. Nhờ đó giải thích được ba định luật cơ bản của quang học và đường truyền của tia sáng trong môi trường có chiết suất thay đổi hay ứng dụng phép tính biến phân tìm đường truyền của tia sáng. Ngoài ra trong khóa luận còn tìm hiểu về nguyên lý tác dụng tối thiểu của trường điện từ và vận dụng nguyên lý tác dụng tối thiểu suy ra các định luật bảo toàn trong lý thuyết trường.

45