1.3 Lý Thuyết siêu đối xứng
1.3.4 Một số qui tắc xây dựng Lagrangian siêu đối xứng 23
Lagrangian cho siêu trường chiral
Để tìm L(Φ) sao cho δL là một vi phân toàn phần dưới tác dụng của
phép biến đổi SUSY, ta lợi dụng các tính chất đã biết sau [9, 11]:
- Đối với một siêu trường vô hướng tổng quát Sb= ...+ (θθ)(¯θθ)D¯ (x) số hạng D biến đổi một lượng vi phân toàn phần:
δD = i
2∂(σàλ¯−ρσà¯).
- Đối với một siêu trương chiral Φ =b ...+ (θθ)F(x), số hạng F −term cũng biến đổi một lượng bằng vi phân toàn phần:
δF = i√
2¯¯σà∂àψ. (1.30)
Do vậy Lagrangian tổng quát nhất cho siêu trường chiral sẽ chứa các thành phần F - term và D- term như sau:
L = K(Φi,Φ+j )
| {z } Thế K¨ahler
D
+ W(Φ)
| {z } Siêu thế
F
+h.c
!
. (1.31)
Trong đó kí hiệu |D chỉ phần D- term, |F chỉ phần F- term của siêu trường. Hàm K là hàm thực của Φb và Φb+, gọi là thế K¨ahler. W(Φ)b gọi là siêu thế (supper - potential), là một hàm holomorphic của các siêu trường chiral (không chứa phản chiral), nên nó cũng là một siêu trường chiral.
Đối với lý thuyết tái chuẩn hoá được, người ta cần tìm Lagrangian viết theo các thành phần trường có số chiều bằng 4. Như chúng ta biết thứ nguyên [ϕ] = 1 và cần có [L] = 4. Xét đối với siêu trường, so sánh thứ nguyên với các trường thành phần, đồng thời đối chiếu với thứ nguyên của các trường thông thường, ta được
[Φ] = [ϕ] = 1,b [ψ] = 3 2.
Trong khi đó khai triển siêu trường chiral Φ = ϕ+ 2θψ + (θθ)F +...
cho kết quả:
[θ] = −1
2, [F] = 2.
Từ đây người ta thấy F không phải là loại trường vô hướng đã biết. Nó chính là hàm của các thành phần vô hướng khi siêu trường thoả mãn điều kiện "on - shell". Điều kiện [L] = 4 cho tương ứng các điều kiện:
[KD] ≤ 4 trongK = ...+ (θθ)(¯θθ)K¯ D, [WF] ≤ 4 trongW = ...+ (θθ)WF,
⇒ [K] ≤ 2, [W]≤ 3. (1.32)
Trong trường hợp tổng quát người ta xác định Lagrangian theo các trường thành phần bằng cách khai triển Taylor siêu trường quanh giá trị Φb ∼ ϕ, ví dụ (Lưu ý ∂W∂ϕ = ∂W
∂Φb
Φ=ϕb ):
W(Φ) =b W(ϕ) + (Φb −ϕ)
| {z }
...+(θθ)F
∂W
∂ϕ + 1
2(Φb −ϕ)2
| {z }
...+(θψ)(θψ)+...
∂2W
∂ϕ2 . (1.33)
Phần Lagrangian phụ thuộc vào trường F có dạng đơn giản sau:
L = F F∗ + ∂W
∂ϕ F + ∂W∗
∂ϕ∗ F∗. (1.34)
Lagrangian có dạng bậc hai và không chứa số hạng vi phân, hệ quả là trường F không có hàm truyền. Người ta xác định F bằng cách xét phương trình Euler - Lagrangian ở điều kiện "on - shell":
δS(F, F∗)
δF = 0 ⇒ F∗ + ∂W
∂ϕ = 0, δS(F, F∗)
δF∗ = 0 ⇒ F + ∂W∗
∂ϕ∗ = 0. (1.35)
Thay vào phần Lagrangian LF ta thu được:
L(F) 7→ −
∂W
∂ϕ
2
≡ −V(F)(ϕ). (1.36) Như vậy ta thiết lập được thế vô hướng với F-term. Thế này chỉ phụ thuộc vào các trường vô hướng là thành phần của siêu trường chiral. Ta có hai chú ý sau.
Siêu thế tổng quát. Trong trường hợp lí thuyết có nhiều siêu trường chiral, siêu thế viết ở dạng tổng quát như sau [1]:
W(Φbi) =aΦbi+X
i,j
1
2mijΦbiΦbj + X
i,j,k
1
3!yijkΦbiΦbjΦbk, (1.37) trong đó
Φ(x, θ,b θ) =¯ ϕ(x) +√
2θψ(x)−iθσàθ∂¯ àϕ(x) + i
√2(θθ)
∂àψ(x)σàθ¯
− 1
4(θθ)(¯θθ)∂¯ à∂àϕ(x)−(θθ)F(x). (1.38) Siêu thế W(Φi) ở trên được khai triển Taylor theo các giá trị Φbi = ϕi theo công thức sau (chú ý ∂W∂ϕ
i = ∂W
∂Φbi
Φbi=ϕi):
W(Φbi) = W(ϕi) +X
i
(Φbi −ϕi)
| {z }
...+(θθ)Fi+...
∂W
∂ϕi + 1
2 X
i,j
(Φbi −ϕi)(Φbj −ϕj)
| {z }
...+(θψi)(θψj)+...
∂2W
∂ϕi∂ϕj. (1.39) Chúng ta có thể thấy phần Lagrangian phụ thuộc vào F-term do thế này đóng góp, khi chưa xét đến phương trình trường, chỉ là các số hạng bậc nhất theo Fi và Fi∗.
X
i
∂W
∂ϕiFi +X
i
∂W+
∂ϕ+i Fi∗, (1.40)
còn các số hạng bậc haiFiFi∗ có nguồn gốc từ khai triển phần thế K¨ahler sẽ xét sau đây.
Thế K¨ahler trong trường hợp tổng quát.
Đối với SUSY, người ta tìm thế K¨ahler K bằng cách xây dựng thêm siêu trường vector và tìm được biểu thức thế dạng
K = Φexp(2qb Vb)Φ,b (1.41) bất biến với phép biến đổi chuẩn mở rộng (general gauge transfor - mation). Trong biểu thức trênq là hằng số tương tác tương ứng với nhóm chuẩn xác định các siêu trường vector. Phần đóng góp vào Lagrangian bất biến là
Lf ermion = Φb+i exp(2qVb)Φbi
D. (1.42)
Cách khai triển cụ thể phần Lagrangian này theo các trường thành phần của cả siêu trường chiral và vector như sau. Trước hết người ta khai triển hàm mũ exp(2qVb) = 1 + 2qVb +12(2qVb)2. Các số hạng bậc cao hơn không cho đóng góp do tính chất biến Grassmann. Đối với nhóm chuẩn không giao hoán, ta có tương ứng mỗi tập hợp vi tử {Ta} cho ta Vb = TaVba trong đó mỗi Vba đều là một siêu trường vector.
n Vba
o
tạo thành một biểu diễn chính quy của nhóm chuẩn.
Lagrangian cho siêu trường vector.
Các phần Lagrangian đã xét ở trên chưa có số hạng động năng của trường chuẩn vector như trong mô hình không siêu đối xứng. Đây chính là lí do người ta xây dựng cường độ siêu trường vector sinh số hạng động năng cho các trường vector. Cụ thể người ta thiết lập cường độ siêu trường như đã xét ở phần trên. Phần Lagrangian chứa loại động năng trường
chuẩn vector có dạng:
Lgauge = 1 4
"
tr(W W)
| {z }
Abelian
θθ
+tr(WaWa)
| {z }
N on−Abelian
θθ
+h.c
#
, (1.43)
trong đó cường độ siêu trườngWαvà Wαa được định nghĩa ở các biểu thức (1.23) và (1.27). Từ khai triển (1.24) và (1.28) ta được phần Lagrangian (1.43) có biểu thức cụ thể sau
1
4T r(WaWa)|θθ +h.c = −1
4FaàνFàνa − i 2
(∂àλa)σà¯λa−λaσà(∂àλ¯a) + 1
2DaDa. (1.44)
Phần Lagrangian cho 2 loại đóng góp sau:
i) Các số hạng động năng bất biến chuẩn của các trường gauge boson và các trường siêu đối tác tương ứng (gaugino).
ii) Số hạng bậc hai của D-term.
Đến đây chúng tôi đã khảo sát tất cả các yếu tố xuất hiện trong một Lagrangian bất biến siêu đối xứng.