CHƯƠNG 3. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
3.2. CÁC BÀI TOÁN VỀ THIẾT DIỆN
3.3.2. Xác định góc giữa hai mặt phẳng
Trong không gian, cho hai mặt phẳng (P) và (Q). Theo định nghĩa, nếu (P) ≡ (Q) hoặc (P) k (Q) thì góc tạo bởi (P) và (Q) có số đo bằng 0◦. Nếu (P) và (Q) cắt nhau, để xác định góc giữa (P) và (Q) ta thực hiện như sau:
Cách 1.
Hình 3.13
• Bước 1: Tìm d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q).
• Bước 2: Chọn trên giao tuyến d một điểm I. Từ I dựng được hai đường thẳng a, b vuông góc với d và lần lượt nằm trong hai mặt phẳng (P) và (Q). Khi đó góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là góc giữa hai đường thẳng a và b.
Bài toán 3.12. [14] Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông, mặt bên(SAB)là tam giác đều cạnh avà vuông góc với (ABCD).
Xác định góc giữa (SCD) và (ABCD).
Lời giải. Bước 1: Ta có (SCD)∩(ABCD) = CD. (1)
Bước 2: Gọi H, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD, ta có CD ⊥ HK, SH ⊥ AB.
Hình 3.14 Ta có
(SAB) ⊥ (ABCD)
(SAB)∩(ABCD) =AB SH ⊥AB
SH ⊂(SAB)
⇒SH ⊥(ABCD) ⇒ SH ⊥ CD.
Hơn nữa
HK kAD CD ⊥ AD
⇒ HK ⊥ CD (2)
Khi đó ta có
SH ⊥ CD HK ⊥ CD SH ∩HK = H
⇒(SHK) ⊥ CD ⇒SK ⊥ CD. (3)
Từ (1), (2) và (3), góc giữa (SCD) và (ABCD) là góc giữa SK và HK.
Vậy SKH\ là góc cần tìm.
Cách 2.
Hình 3.15
• Bước 1: Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (P) và (Q).
• Bước 2: Dựng một mặt phẳng (R) vuông góc với d. Tìm giao tuyến a = (R) ∩(P) và b = (R)∩ (Q). Khi đó góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là góc giữa hai đường thẳng a và b.
Bài toán 3.13. [6] Cho hình chóp tam giác đều S.ABC. Hãy xác định góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC).
Lời giải. Bước 1: Ta có (SAB)∩(SAC) =SA.
Hình 3.16
Bước 2: GọiM,N lần lượt là trung điểm của AB, BC và O = AN∩CM. Vì 4ABC là tam giác đều nên AN ⊥BC, CM ⊥ AB.
Theo đề bài, vì S.ABC là hình chóp tam giác đều nên SO ⊥ (ABC).
Khi đó ta có
AN ⊥BC SO ⊥BC
⇒(SAN) ⊥ BC ⇒ SA ⊥ BC.
Dựng N H ⊥ SA và cắt SA tại H. Mặt khác ta có
N H ⊥SA BC ⊥ SA
⇒ (BHC) ⊥ SA.
Như vậy ta có (BHC)∩(SAB) = BH, (BHC)∩(SAC) =CH. Kết luận góc giữa (SAB) và (SAC) là góc giữa BH và CH.
Vậy BHC\ là góc phải tìm.
Bài toán 3.14. [13] Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD.
a) Xác định góc giữa mặt phẳng (SAB) và (SCD).
b) Xác định góc giữa mặt phẳng (SAB) và (SAD).
Lời giải. a) Bước 1: Gọi d là giao tuyến của (SAB) và (SCD).
Hình 3.17
Vì AB k CD nên d đi qua S và d k AB k CD.
Bước 2: Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Vì 4SAB và 4SCD cân tại S nên SE ⊥AB và SF ⊥ CD.
Từ đó suy ra SE ⊥ d, SF ⊥ d, suy ra (SEF) ⊥d.
Ta có (SAB)∩(SEF) = SE, (SCD)∩(SEF) =SF.
Suy ra góc giữa mặt phẳng (SAB) và (SCD) là góc giữa đường thẳng SE và SF.
Vậy ESF[ là góc phải tìm.
b) Bước 1: Ta có (SAB)∩ (SAD) =SA là giao tuyến.
Bước 2: Gọi O là tâm hình vuông ABCD.
Theo giả thiết S.ABCD là hình chóp đều nên SO ⊥ (ABCD).
Khi đó ta có
BD ⊥AC BD ⊥SO AC ∩SO = O
⇒BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥SA.
Trên SA lấy điểm H sao cho OH ⊥ SA. Khi đó ta có
BD ⊥SA OH ⊥ SA BD∩ OH = H
⇒(BHD) ⊥ SA ⇒(BHD) ⊥SA.
Ta có (SAB)∩(BHD) =BH, (SAD)∩(BHD) = DH.
Do đó góc giữa mặt phẳng (SAB) và (SAD) là góc giữa đường thẳng BH và DH. Vậy BHD\ là góc phải tìm.
Cách 3.
Hình 3.18
• Bước 1: Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P),(Q). Tìm đoạn thẳng AB với A ∈ (Q), B ∈ (P) sao cho AB ⊥(P).
• Bước 2: Dựng hình chiếu vuông góc M của A (hoặc B) lên d (tức là dựng AM ⊥ d hoặc BM ⊥ d). Áp dụng định lí ba đường vuông góc suy ra AM B\ là góc giữa (P) và (Q).
Bài toán 3.15. [13] Cho hình chóp S.ABC, 4ABC vuông tại A, (SBC) vuông góc với (ABC).
a) Xác định góc giữa mặt phẳng (SAB) và (ABC).
b) Xác định góc giữa mặt phẳng (SAC) và (ABC).
Lời giải. a) Bước 1: Ta có(SAB)∩(ABC) =AB là giao tuyến của hai mặt phẳng. Dựng SH ⊥BC tại H.
Hình 3.19 Khi đó ta có
(SBC) ⊥ (ABC)
(SBC)∩(ABC) = BC SH ⊂ (SBC);SH ⊥ BC
⇒ SH ⊥ (ABC).
Bước 2: Dựng HM ⊥ AB tại M.
Theo định lí ba đường vuông góc, ta có
SH ⊥ (ABC)
HM = hc(ABC)SM
HM ⊥AB
⇒ SM ⊥AB.
Suy ra SM H\ là góc phải tìm.
b) Bước 1: Ta có (SAC)∩(ABC) =AC là giao tuyến.
Theo chứng minh ở câu a), ta có SH ⊥(ABC)
Bước 2: Dựng HN k AB và cắt AC tại N. Vì 4ABC vuông tại A nên HN ⊥ AC. Theo định lí ba đường vuông góc, ta có
SH ⊥ (ABC) HN = hc(ABC)SN HN ⊥ AC
⇒ SN ⊥ AC.
Vậy SN H\ là góc phải tìm.
Bài toán 3.16. [15] Cho lăng trụ ABC.A0B0C0, có A0.ABC là hình chóp tam giác đều, AB = a, AA0 = 2a. Gọi α là góc giữa mặt phẳng (ABC) và (A0BC). Tính tanα.
Lời giải. Bước 1: Ta có (ABC)∩(A0BC) =BC là giao tuyến.
Hình 3.20
Gọi O là trọng tâm của 4ABC. Theo giả thiết, vì A0.ABC là hình chóp tam giác đều nên A0O ⊥ (ABC).
Bước 2: Gọi M là trung điểm của BC. Vì 4ABC đều nên AM ⊥BC.
Theo định lí ba đường vuông góc, ta có
A0O ⊥(ABC) AM = hc(ABC)A0M AM ⊥BC
⇒A0M ⊥ BC.
Suy ra A\0M A là góc α cần tìm.
Trong 4A0OM vuông tại O, có A0O = OM tanα, trong đó A0O = √
A0A2 −AO2 = r
4a2 −2 3.a√
3 2
2
= r
4a2 − a2
3 = a√
√11 3 và OM = 1
3.a√ 3
2 = a√ 3
6 . Vậy tanα = A0O
OM = 2√
11.