CHƯƠNG 3. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
3.4. CÁC BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH KHOẢNG CÁCH
3.4.5. Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Trong không gian, khoảng cách giữa hai đường thẳng a, b chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó. Ta xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng a, b theo một trong các cách sau:
Cách 1.
Hình 3.27
• Bước 1: Dựng mặt phẳng (P) chứa b song song với a.
• Bước 2: Chọn M trên a, dựng M H ⊥(P) tại H.
• Bước 3: Từ H dựng đường thẳng a0 k a, cắt b tại B. Từ B dựng đường thẳng song song với M H, cắt a tại A.
Khi đó AB là đoạn vuông góc chung của a và b.
Bài toán 3.23. [13] Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 cạnh a.
Hãy xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng A0C0 và B0C.
Lời giải. Bước 1: Vì A0C0 k AC mà AC ⊂ (AB0C) nên A0C0 k(AB0C).
Bước 2: Gọi O = AC∩BD, O0 = A0C0∩B0D0. Dựng O0E ⊥ OB0 tại E.
Hình 3.28 Vì OO0 ⊥(ABCD) nên OO0 ⊥ AO.
Ta có
AO ⊥ BD AO ⊥ OO0 OO∩BD = O
⇒ AO ⊥ (BDD0B0) ⇒ AO ⊥ O0E.
Khi đó
O0E ⊥ OB0 O0E ⊥ AO OB0∩AO = O
⇒O0E ⊥(AB0C).
Bước 3: Từ E dựng đường thẳng Ex kA0C0 và cắt B0C tại F. Từ F dựng đường thẳng F y k O0E và cắt A0C0 tại G.
Vậy F G là đoạn vuông góc chung của A0C0 và B0C.
Cách 2
Hình 3.29
• Bước 1: Dựng mặt phẳng (P) vuông góc với a tại O.
• Bước 2: Dựng hình chiếu vuông góc b0 của b trên (P).
• Bước 3: Dựng hình chiếu vuông góc H của O trên b0.
• Bước 4: Từ H, dựng đường thẳng song song với a, cắt b tại B.
Từ B, dựng đường thẳng song song với OH, cắt a tại A.
Khi đó AB là đoạn vuông góc chung của a và b.
Bài toán 3.24. [5] Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy. Hãy dựng đoạn vuông góc chung của AB và SC. Lời giải. Bước 1: Ta có
AB ⊥ AD AB ⊥ SA
⇒ AB ⊥(SAD).
Hình 3.30
Khi đó (SAD) là mặt phẳng vuông góc với AB tại A.
Bước 2: Ta có
CD ⊥ AD CD ⊥ SA
⇒ CD ⊥(SAD).
Do đó SD là hình chiếu của SC lên (SAD).
Bước 3: Dựng AH ⊥ SD tại H.
Bước 4: Từ H dựng Hx k AB và cắt SC tại I. Từ I dựng Iy k AH và cắt AB tại J.
Khi đó IJ là đoạn vuông góc chung của SC và AB.
Bài toán 3.25. [11] Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều, SA vuông góc với đáy. Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Xác định đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng SI và AB.
Lời giải. Bước 1: Gọi M là trung điểm của AC. Suy ra IM là đường trung bình của 4ABC nên IM k AB.
Hình 3.31
Trong mặt phẳng (ABC) dựng AQ ⊥ IM tại Q.
Khi đó ta có
AQ ⊥ AB SA ⊥ AB
⇒ (SAQ) ⊥ AB.
Do đó (SAQ) là mặt phẳng vuông góc với AB tại A.
Bước 2: Dựng hình chiếu của SI lên (SAQ).
Ta có IM kAB mà AB ⊥ (SAQ) nên IM ⊥ (SAQ). Suy ra SQ là hình chiếu của SI lên (SAQ).
Bước 3: Dựng AH ⊥ SQ tại H. Khi đó H là hình chiếu của A trên SQ.
Bước 4: Từ H dựng đường thẳng song song với AB và cắt SI tại K. Từ K dựng đường thẳng song song với AH và cắt AB tại G.
Vậy KG là đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng SI và AB.
Bài toán 3.26. [5] Cho hình chóp S.ABC, đáy là tam giác vuông cân tại B, SA = 2a, AB = a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AC.
a) Dựng đoạn vuông góc chung của SM và BC. b) Tính độ dài đoạn vuông góc chung đó.
Lời giải. Cách 1.
Bước 1: Gọi N là trung điểm của AB. Khi đó M N là đường trung bình của 4ABC. Suy ra M N k BC. Do đó (SM N) là mặt phẳng chứa M N và song song với BC.
Hình 3.32 Bước 2: Ta có
M N ⊥ AB M N ⊥ SA
⇒ M N ⊥(SAB) ⇒(SM N) ⊥(SAB).
Ta có (SM N)∩(SAB) = SN là giao tuyến.
Dựng BH ⊥ SN tại H. Suy ra BH ⊥ (SM N) Bước 3: Từ H dựng Hx k BC và cắt SM tại K.
Từ K dựng Ky k HB và cắt BC tại F.
Vậy KF là đoạn vuông góc chung của SM và BC. Cách 2.
Bước 1: Ta có
BC ⊥ AB BC ⊥ SA
⇒ BC ⊥(SAB).
Do đó (SAB) là mặt phẳng qua B thuộc BC và vuông góc BC.
Bước 2: Gọi N là trung điểm AB. Khi đó M N là đường trung bình trong 4ABC, nên M N k BC. Suy ra M N ⊥ (SAB).
Do đó SN là hình chiếu vuông góc của SM trên (SAB).
Bước 3: Dựng BH ⊥ SN tại H. Vì SN ⊂ (SM N) nên BH ⊥ (SM N).
Khi đó H là hình chiếu của B lên SN.
Bước 4: Từ H dựng Hx k BC và cắt SM tại K.
Từ K dựng Ky k HB và cắt BC tại F.
Vậy KF là đoạn vuông góc chung của SM và BC.
b) Vì 4SAN và 4BHN là hai tam giác vuông đồng dạng nên ta có BH
SA = BN
SN ⇒BH = SA.BN SN .
với BN = AB 2 = a
2; SN = √
SA2 +AN2 = r
(2a)2 + (a
2)2 = a√ 17 2 . Suy ra BH = 2a√
17 17 .
Vậy d(SM, BC) =KF = BH = 2a√ 17
17 .
Cách 3. (áp dụng cho trường hợp a ⊥ b)
Hình 3.33
• Bước 1: Dựng mặt phẳng (P) chứa b, vuông góc với a tại A.
• Bước 2: Dựng AB ⊥ b tại B. Khi đó AB là đoạn vuông góc chung của a và b.
Bài toán 3.27. [15] Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0. Hãy dựng đoạn vuông góc chung giữa AC0 và CD0.
Lời giải. Bước 1: Ta có
CD0 ⊥ C0D CD0 ⊥ AD AD ∩C0D = D
⇒ CD0 ⊥ (AC0D) ⇒CD0 ⊥AC0.
Khi đó (AC0D) là mặt phẳng chứa AC0 và vuông góc với CD0.
Hình 3.34
Bước 2: Gọi I = CD∩(AC0D). Dựng IH ⊥ AC0 và cắt AC0 tại H.
Vậy IH là đoạn vuông góc chung phải tìm.