2.3 Lý thuyết của Artin và Bài toán thứ 17 của Hilbert
2.3.2 Định lý Sylvester về trường đóng thực
Cho K là trường sắp thứ tự, và f là đa thức bất khả quy trên K. Ta gọi một trường đóng thực L ⊇ K là một bao đóng thực của trường sắp thứ tự K nếu L là đại số trên K và thứ tự của K cảm sinh từ thứ tự của L là trùng với thứ tự ban đầu của K.
Số các nghiệm thực phân biệt của một đa thức có thể tính toán được mà
không cần việc đi ra ngoài khỏiR. Điều này được chứng minh bởi hai phương pháp: dựa vào định lý của Sturm, hoặc, dựa vào định lý của Sylvester. Cả hai định lý này có thể được chứng minh trên một trường sắp thứ tự tùy ý.
Hệ quả quan trọng của tình huống này đó là: Nếu f là đa thức trên trường sắp thứ tự K, thì trong mọi bao đóng thực L của K, số các nghiệm của f là như nhau (nó là hệ quả của Định lý 2.3.12 sau đây).
Ban đầu, lý thuyết của Artin được dựa trên định lý của Sturm, tuy nhiên để thuận lợi hơn ở một số khía cạnh, về sau người ta sử dụng định lý của Sylvester. Dưới đây ta đưa ra lời giải cho bài toán thứ 17 của Hilbert dựa trên định lý của Sylvester.
Trên một trường sắp thứ tự, kí số của một dạng bậc hai ϕ được định nghĩa như sau. Trên K, một dạng bậc hai ϕ tùy ý luôn có thể đưa được về dạng ϕ(x) = λ1x21 +. . .+λnx2n, trong đó số các hệ số dương λi và số các hệ số âm λj không phụ thuộc vào cách đưa ϕ về dạng chính tắc như vừa nêu trên. Khi đó hiệu giữa số lượng các số dương λi trừ đi số lượng các số âm λj
được gọi là kí số của dạng bậc hai ϕ.
Cho L là một bao đóng thực của K. Định lí 2.3.11 suy ra rằng bậc của bất kì đa thức bất khả quy trên L là bằng 1 hoặc 2.
Cho f ∈ K[x] là đa thức bậc n, khi đó ta có vành thương V = K[x]/(f) trở thành một K−không gian vectơ chiều n, các đa thức 1, x, x2, . . . , xn−1 tạo thành một cơ sở của V. Cho tùy ý a ∈ V, khi đó ta có thể xác định ánh xạ tuyến tính a : V → V, v 7→ av (vì các phần tử của V là các đa thức nên ta có thể nhân chúng), ánh xạ này có một ma trận vuông (aij) cỡ n× n. Ta định nghĩa vết của a, kí hiệu Tr(a), đó là vết của ma trận (aij), tức là Tr(a) = a11 + . . . + ann ∈ K. Xét dạng song tuyến tính đối xứng ϕ(x, y) = Tr(xy). Khi đó ta có phát biểu sau đây.
Định lý 2.3.12. Cho f là đa thức trên K và ϕ(x, y) =Tr(xy) là một dạng song tuyến tính đối xứng trên không gian V = K[x]/(f). Khi đó kí số của ϕ bằng với số các nghiệm phân biệt của f nằm trong bao đóng thực L của K. (Dạng ϕ ở đây được gọi là dạng vết của không gian K[x]/(f).)
Chứng minh. Giả sử trong K[x] ta có f = f1m1. . . frmr trong đó các fi là đa thức bất khả quy trên K[x] và gcd(fi, fj) = 1 khi i 6= j. Ta có các mở rộng K(βi) = K[x]/(fi) của K là thực hình thức và đại số trên K, nên L(βi) là
mở rộng đại số thực hình thức của L; suy ra L(βi) = L, suy ra K(βi) ⊆ L. Do đó bậc của fi chỉ có thể là 1 hoặc 2 (theo Bổ đề 2.3.11).
Theo định lý thặng dư Trung hoa ta có phân tích
K[x]/(f) ∼= K[x]/(f1m1)×. . .×K[x]/(frmr).
Vì thế ta chỉ cần chứng tỏ rằng kí số của ϕ trên Vi = K[x]/(fimi) là 1 nếu degfi = 1, và là 0 nếu fi bất khả quy trên K có bậc 2. Nếu degfi = 1 thì K[x]/(fimi) ∼= K[x]/(x −αi)mi. Trong cơ sở 1, x −αi, . . . ,(x −αi)mi−1 ma trận của ϕi = ϕ|Vi là
mi 0 . . . 0 0 0 . . . 0 ... ... . . . ...
0 0 . . . 0
Do đó nếu degfi = 1 thì kí số của ϕi bằng 1.
Nếu fi có bậc 2 thì K[x]/(fimi) ∼= K[x]/(x2+ 1)mi (đẳng cấu trên K). Do đó ta chỉ cần tìm kí số của ϕ trên K[x]/(x2 + 1)mi = Wi. Ta tìm ma trận của ϕ đối với cơ sở
1, x, x2 + 1, x(x2 + 1),(x2 + 1)2, x(x2 + 1)2, . . . ,(x2 + 1)mi−1, x(x2+ 1)mi−1. Trong cơ sở này, phép nhânx : Wi → Wi và x2 : Wi → Wi có các ma trận là
0 1 0 0 0 . . .
−1 0 1 0 0 . . . 0 0 0 1 0 . . . 0 0 −1 0 1 . . . ... ... ... ... ... . . .
T
và
−1 0 1 0 0 . . . 0 −1 0 1 0 . . . 0 0 −1 0 1 . . . 0 0 0 −1 0 . . . ... ... ... ... ... . . .
T
Do đó Tr(x) = 0 và Tr(x2) = −2m. Tương tự với a = 0,1,2 và k ≥ 1 ta có thể tính toán được ma trận của phép nhân với xa(x2 + 1)k là ma trận chéo có đường chéo chính là 0, do đó Tr(xa(x2 + 1)k) = 0 với mọi a = 0,1,2 và
k ≥ 1. Từ đó ta tìm được ma trận của ϕ là
2m 0 0 0 0 . . . 0 −2m 0 0 0 . . . 0 0 0 0 0 . . . 0 0 0 0 0 . . . ... ... ... ... ... . . .
T
.
Suy ra kí số của ϕ bằng 0.
Định lý 2.3.13 (Artin-Schreier). Cho K là một trường sắp thứ tự, và cho L, L′ là các bao đóng thực của K. Khi đó tồn tại duy nhất một đẳng cấu σ : L → L′ là mở rộng của 1K và nó bảo toàn quan hệ thứ tự.
Chứng minh. Trong trường đóng thực, điều kiện x > y là tương đương với điều kiện phần tửx−y là một bình phương. Do đó mọi đẳng cấu σ : L → L′ đều bảo toàn quan hệ thứ tự.
Trường L là đại số trên K, và lấy phần tử tùy ý α ∈ L. Khi đó α là một nghiệm của đa thức bất khả quy f trên K. Định lý 2.3.12 suy ra rằng f có cùng số các nghiệm trongL và trong L′. Lấy các nghiệm đó là α1 < . . . < αn
và α′1 < . . . < α′n. Trong L, ta chọn các phần tử ti sao cho t2i = αi+1 −αi. Khi đó theo định lý về phần tử nguyên thủy, suy ra tồn tại θ ∈ L sao cho K(α1, . . . , αn, t1, . . . , tn−1) = K(θ) với θ là một nghiệm của một đa thức bất khả quy trênK làg. TrongL′, đa thứcg có cùng số nghiệm như trong L. Đặc biệt, g có một nghiệm θ′ ∈ L′. Khi đó tồn tại một đẳng cấu K(θ) → K(θ′) là mở rộng của 1K và θ 7→θ′. Đẳng cấu này là một phép nhúng
σ : K(θ) = K(α1, . . . , αn, t1, . . . , tn−1) → L′.
Ta dễ thấy rằng σ(αi) = α′i (vì σ chuyển một nghiệm của f thành một nghiệm của f, do đó σ(αi+1) −σ(αi) = σ(t2i) > 0. Từ đó có các bất đẳng thức σ(α1) < . . . < σ(αn), so sánh chúng với dãy α′1 < . . . < α′n, suy ra σ(αi) = α′i với mọi i). Từ đó suy ra rằng trên K(α1, . . . , αn) ta có ánh xạ σ là xác định duy nhất. Đặc biệt, ảnh của α là xác định duy nhất. Bây giờ, bằng cách sử dụng bổ đề Zorn, ta có thể tìm được một đẳng cấu trường duy nhất giữa L và L′ là mở rộng của 1K.
Bây giờ ta chứng minh rằng mọi trường sắp thứ tự đều có một bao đóng thực.
Định lý 2.3.14. Cho K là trường sắp thứ tự, và K′ là mở rộng cuả nó trong đó không có mối quan hệ dạng −1 = Pλia2i với λi là các phần tử dương của K và ai ∈ K′. Khi đó trường L (nhận được từ K′ bằng cách ghép thêm vào các căn bậc hai của mọi phần tử dương của K) là một trường thực hình thức.
Chứng minh. Giả sử trái lại rằng trường L không là trường thực hình thức.
Khi đó có đẳng thức dạng −1 = Pb2i với bi ∈ L. Do đó, trong L, ta có mối quan hệ dạng −1 = Pλib2i với λi là các phần tử dương trong K và bi ∈ L. Theo giả thiết ta suy ra rằng không phải mọi bi đều thuộc K′. Do đó tồn tại một số nguyên dương nhỏ nhất r sao cho có một quan hệ dạng như đã chỉ ra là đỳng với cỏc bi ∈ K′(√à1, . . . ,√àr) trong đú à1, . . . , àr là cỏc phần tử dương của K.
Ta mụ tả cỏc bi ở dạng bi = xi + yi√àr trong đú xi, yi thuộc trường K′(√à1, . . . ,√àr−1). Khi đú
−1 =Xλi(xi+yi√àr)2 = Xλi(x2i +y2iàr) + 2√àr
Xxiyi.
Nếu P
xiyi 6= 0 thỡ √àr ∈ K′(√à1, . . . ,√àr−1), điều này mõu thuẫn với tính cực tiểu của r. Do đó
−1 = Xλix2i + Xλiàryi2),
trong đúλi vàλiàr là cỏc phần tử dương củaK vàxi, yi ∈ K′(√à1, . . . ,√àr−1). Điều này cũng mâu thuẫn với giả thiết về tính cực tiểu của r.
Hệ quả 2.3.15. Mọi trường sắp thứ tự K đều có một bao đóng thực.
Chứng minh. Đặt K′ = K. Vì trong K, không có mối quan hệ dạng −1 = Pλia2i với các λi dương. Do đó trường L nhận được từ K bằng cách ghép thêm vào các căn bậc hai của mọi phần tử dương của K là trường thực hình thức. Khi đó bao đóng thực của L là bao đóng thực của K như yêu cầu.
Hệ quả 2.3.16. Cho K là một trường sắp thứ tự và K′ là một mở rộng của K. Một cách sắp thứ tự của K có thể được mở rộng đến K′ nếu và chỉ nếu không có mối quan hệ dạng −1 = Pλia2i trong K′, với λi là các phần tử dương của K và ai ∈ K′.
Chứng minh. Nếu có quan hệ như dạng đã chỉ ra thì ta không thể mở rộng một cách sắp thứ tự từ K đến K′. Giả sử không có quan hệ như thế. Khi đó ta xây dựng một trường thực hình thức L chứa K′. Xét bao đóng thực L′ của L. Cách sắp thứ tự của L′ cảm sinh một thứ tự của K′ thỏa mãn yêu cầu.