2.3 Lý thuyết của Artin và Bài toán thứ 17 của Hilbert
2.3.3 Bài toán thứ 17 của Hilbert
Mục này cuối cùng ta chứng minh rằng, nếu một hàm hữu tỉr(x1, . . . , xn) là không âm với mọi giá trị thực của x1, . . . , xn, thì nó có thể biểu diễn được thành tổng các bình phương của các hàm hữu tỉ thực. Chứng minh này đúng không chỉ cho R mà còn đúng cho một trường đóng thực bất kì L. Định lý sẽ là hệ quả của một định lý khác khó hơn như dưới đây.
Định lý 2.3.17 (Artin-Lang). Cho L là một trường đóng thực và K = L(α1, . . . , αn) là một mở rộng hữu hạn sinh của L và nó là trường sắp thứ tự sao cho thứ tự của K khi hạn chế trên L trùng với thứ tự của L. Khi đó tồn tại một đồng cấu L−đại số ϕ :L[α1, . . . , αn]→ L sao cho ϕ|L = 1L. Chứng minh. Trước hết, ta xét trường hợp khi bậc siêu việt của K trên L là 1. Ta có thể giả sử α1 = x là phần tử siêu việt trên L. Khi đó K = L(x)(α2, . . . , αn) và mọi phần tử của K đều thỏa mãn phương trình đa thức trên L[x] có hệ tử cao nhất là 1, đặc biệt các phần tử α2, . . . , αn cũng vậy.
Từ đó, K = L(x)(α2, . . . , αn) với α2, . . . , αn là các phần tử đại số trên L(x). Do đó theo định lý phần tử nguyên thủy, tồn tại y ∈ K sao cho K = L(x)(y) = L(x)[y] (vì y đại số trên L(x)). Ngoài ra y thỏa mãn đẳng thức dạng
yl +c1(x)yl−1 +. . .+cl(x), với c1(x), . . . , cl(x) ∈ L[x].
Ta giả sử ở đây rằng l là số nhỏ nhất có thể được.
Xét đa thức
f(X, Y) = Yl +c1(X)Yl−1 + . . .+cl(X)
với các biến làX và Y. Đối với mỗi cặp phần tửa, b ∈ L sao cho f(a, b) = 0, ta có một đồng cấu của các L−đại số σ : L[x, y] → L cho bởi σ(x) = a,
σ(y) = b và σ cố định mọi phần tử của L. Ta sẽ chỉ ra rằng có vô hạn cặp a, b ∈ L như vậy (tức là phương trình f = 0 có vô hạn nghiệm).
Cho LK là bao đóng thực của K. Đa thức f∼(Y) = f(x, Y) ∈ L(x)[Y] có một nghiệm y trong LK, và do đó theo định lý 2.3.12 về kí số của dạng vết ϕ trên không gian
L(x)[Y]/(∼f) ∼= L(x)[y] = K (coi là đẳng cấu trên L(x))
là dương (vì kí số ấy bằng số nghiệm phân biệt của f∼(Y) trong LK). Do đó dạng vết ϕ trên L(x)−không gian K có thể đưa được về dạng chéo với các phần tử h1(x), . . . , hs(x) ∈ L[x] trên đường chéo.
Trên một trường đóng thực L, bất kì đa thức nào đều phân tích được thành các nhân tử tuyến tính và các nhân tử bậc 2 bất khả quy. Các nhân tử bậc 2 bất khả quy có dạng (x+α)2+β2 với α, β ∈ L. Do đó chúng là các phần tử dương của L(x), và với mọi a ∈ L các phần tử (a+ α)2 + β2 ∈ L cũng là dương.
Lấy x − λ1, . . . , x − λt là tất cả các nhân tử tuyến tính trong phân tích của các đa thức h1(x), . . . , hs(x). Ta hãy sắp thứ tự cho các phần tử x, λ1, . . . , λt ∈ L(x). Một số tình huống sau đây có thể xảy ra
. . . < λi < x < λj . . . hoặc. . . < λi < x hoặc x < λj < . . . . Lấy a là một phần tử của L thỏa mãn các bất đẳng thức
λi < a < λj hoặc λi < a hoặc a < λj
(lưu ý rằng có vô hạn phần tử a như vậy). Khi đó dấu của hk(a) và hk(x) trùng nhau với mọi k = 1, . . . , s. Do đó kí số của dạng ϕ bằng với kí số của dạng có các phần tử đường chéo là h1(a), . . . , hs(a).
Ta chỉ ra rằng, với hầu hếta, ta có dạng vếtϕa trên không gianL[Y]/(f(a, Y)) có thể đưa được về dạng chéo với các phần tử h1(a), . . . , hs(a) trên đường chéo chính. Thật vậy, lấy A(x) = (aij(x)) là ma trận của dạng ϕ đối với cơ sở 1, Y, . . . , Yl−1 và B(x) = (bij(x)) là ma trận sao cho
(B(x))TA(x)B(x) =diag(h1(x), . . . , hs(x)).
Khi đó, nếu detB(a) 6= 0 và không mẫu số nào của các hàm hữu tỉ bij(x) bị triệt tiêu tại x = a, thì ta có
(B(a))TA(a)B(a) = diag(h1(a), . . . , hs(a)).
Do đó phần còn lại được thỏa mãn vì ta thấy rằng A(a) là ma trận của dạng ϕa trong cơ sở 1, Y, . . . , Yl−1.
Vì vậy, có vô hạn các phần tử a ∈ L sao cho dấu của ϕa là dương. Với tất cả các a như vậy, đa thức f(a, Y) có một nghiệm b ∈ L, tức là f(a, b) = 0. Vậy có vô hạn cặp (a, b) ∈ L × L thỏa mãn f(a, b) = 0. Như ta đã nhận xét lúc trước, đối với mỗi cặp bất kì (a, b) như vậy, có một đồng cấu của các L−đại số σ : L[x, y] → L. Ta sẽ chỉ ra rằng hầu hết các đồng cấu như vậy đều mở rộng được tới L[x, y, α2, . . . , αn] ⊇ L[x, y]. Nhắc lại rằng α2, . . . , αn ∈ L[α1, . . . , αn] = K = L(x)[y], và do đó αi = pqi(x,y)i(x) , với pi, qi là các đa thức hệ tử trên L. Lấy q = q1. . . qn. Theo cách xây dựng của σ ta có σ(q(x)) = q(a) 6= 0 với hầu hết a (vì chỉ có hữu hạn nghiệm của q mà thôi).
Trong những trường hợp đó, các đồng cấu σ đều có thể mở rộng được tới L[x, y][ 1
q(x)] ⊇ L[x, y, α2, . . . , αn] ⊇L[α1, . . . , αn] = K.
Việc chuyển từ trường hợp khi bậc siêu việt của K trên L là 1 sang trường hợp bậc siêu việt m ≥ 1 được thực hiện bởi cách quy nạp theo m. Giả sử sự tồn tại đồng cấu như yêu cầu đã được chứng minh với mọi trường K mà nó có bậc siêu việt trên L chặt chẽ nhỏ hơn m. Xét một trường K = L(α1, . . . , αn) có bậc siêu việt trên L là m. Chọn một trường trung gian F sao cho L ⊆ F ⊆ K trong đó bậc siêu việt của K trên F là 1.
Lấy LF ⊆ LK là các bao đóng thực của F và K. Khi đó bậc siêu việt của LK trên LF là bằng 1, và do đó tồn tại một đồng cấu của các LF−đại số ψ : LF[α1, . . . , αn] → LF.
Bậc siêu việt củaLF trên L bằng m−1, và do đó bậc siêu việt của trường L(ψ(α1), . . . , ψ(αn)) ⊆ LF trên L không vượt quá m−1. Rõ ràng rằng một thứ tự của LF cảm sinh ra một thứ tự của trường L(ψ(α1), . . . , ψ(αn)). Do đó tồn tại một đồng cấu của các L−đại số σ : L[ψ(α1), . . . , ψ(αn)] →L. Và lúc đó cái thu hẹp của ánh xạ hợp thành ψ và σ lên đại số con
L[x1, . . . , xn] ⊆ LF[x1, . . . , xn] là đồng cấu như ta yêu cầu, tức là đồng cấu σψ|L[x1,...,xn].
Bây giờ sẽ dễ dàng hơn để chứng minh định lý của Artin về các hàm hữu tỉ không âm.
Định nghĩa 2.3.18. Cho k là một trường sắp thứ tự. Hàm hữu tỉ r(x1, . . . , xn) = p(x1, . . . , xn)
q(x1, . . . , xn), với p, q ∈ k[x1, . . . , xn],
được gọi là không âm nếu r(a1, . . . , an) ≥ 0 với mọi a1, . . . , an ∈ k sao cho q(a1, . . . , an) 6= 0.
Định lý dưới đây chính là lời giải cho bài toán thứ 17 của Hilbert.
Định lý 2.3.19 (Artin). Cho L là một trường đóng thực, và cho r ∈ L(x1, . . . , xn) là một hàm hữu tỉ không âm. Khi đó r biểu diễn được thành tổng của các bình phương của các phần tử của L(x1, . . . , xn).
Chứng minh. Giả sử trái lại rằng r không là tổng các bình phương của các phần tử của L(x1, . . . , xn). Khi đó từ bổ đề 2.3.10 suy ra tồn tại một thứ tự của trường L(x1, . . . , xn) sao cho trong đó có r < 0. Ta hãy biểu diễn r dưới dạng thương số tối giản p/q với p, q ∈ L[x1, . . . , xn]. Xét một L−đại số
L[x1, . . . , xn, 1
q(x1, . . . , xn)] nó chứa r.
Kí hiệu Ln là bao đóng thực của trường sắp thứ tự L(x1, . . . , xn). Khi đó trongLntồn tại một phần tử γ sao choγ2 = −r > 0. TrườngL(x1, . . . , xn, γ) được chứa trong Ln và do đó thứ tự của Ln cảm sinh một thứ tự của L(x1, . . . , xn, γ). Theo định lý Artin-Lang tồn tại một đồng cấu
ϕ: L[x1, . . . , xn, 1
q(x1, . . . , xn)γ, 1
γ] → L, mà nó là mở rộng của 1L.
Rõ ràng là ϕ(γ)ϕ(1γ) = 1 và ϕ(q)ϕ(1q) = 1. Do đó ϕ(γ) 6= 0 và ϕ(q) 6= 0. Suy ra ta cũng có ϕ(r) = −ϕ(γ2) =−(ϕ(γ))2 < 0. Nhưng
ϕ(r) = p(a1, . . . , an)
q(a1, . . . , an), với ai = ϕ(xi).
Ở đâyq(a1, . . . , an) =ϕ(q) 6= 0. Bất đẳng thức r(a1, . . . , an) < 0 mâu thuẫn với giả thiết của định lý.
Đối với trường sắp thứ tự tùy ý, định lý của Artin có thể sai. Tuy nhiên với một cải tiến chút ít trong chứng minh định lý 2.3.19, người ta thu được kết quả sau đây cho trường sắp thứ tự tùy ý.
Định lý 2.3.20. Cho k là trường sắp thứ tự và L là bao đóng thực của nó. Nếu hàm hữu tỉ r ∈ k(x1, . . . , xn) thỏa mãn r(a1, . . . , an) ≥ 0 với mọi a1, . . . , an ∈ L, thì r có thể biểu diễn được thành tổng các bình phương của các phần tử của k(x1, . . . , xn).
Chứng minh. Nếu r không là tổng của các bình phương của các phần tử của k(x1, . . . , xn), thì tồn tại một thứ tự trên k(x1, . . . , xn) mà với thứ tự đó ta có r < 0. Lấy L′ là bao đóng thực của trường sắp thứ tự k(x1, . . . , xn). Ta có thể giả sử rằng L ⊆ L′. Trong L′, tồn tại một phần tử γ sao cho γ2 = −r > 0. Trong L−đại số
L[x1, . . . , xn, 1
q(x1, . . . , xn)γ, 1
γ] ⊆ L′,
ta xác định một thứ tự cảm sinh bởi thứ tự trên L′. Lập luận còn lại chính xác như trong chứng minh của định lý 2.3.19.
Kết luận
Đề tài luận văn đã trình bày một số vấn đề sau:
(1) Trình bày một số kiến thức chuẩn bị về lý thuyết trường.
(1) Trình bày một số ví dụ kinh điển về đa thức không âm mà nó có thể biểu diễn được thành tổng của các bình phương của các đa thức, đồng thời một số ví dụ về đa thức không âm nhưng không biểu diễn được thành tổng các bình phương của các đa thức cũng được trình bày.
(2) Trình bày về Lý thuyết của Artin liên quan đến trường thực hình thức và trình bày định lý của Sylvester về trường đóng thực.
(3) Cuối cùng trình bày chi tiết cho lời giải của Bài toán thứ 17 của Hilbert đó là định lý của Artin-Lang (Định lý 2.3.17) và định lý của Artin (Định lý 2.3.19). Từ đó suy ra rằng mọi đa thức n biến hệ số thực mà không âm với mọi giá trị thực của các biến thì đa thức đó là tổng các bình phương của các hàm hữu tỉ với hệ số thực của n biến.