2.2 Phương trình vi phân thường và một số vấn đề liên quan
2.2.2 Dao động điều hòa
Ví dụ 2.5. ( Dao động điều hòa trong môi trường không có ma sát).
Các phương trình vi phân của dao động trong sự xuất hiện của một lực bên ngoài F f(t) là:
d2x
dt2 +w2x=F f(t), (2.16) ở đây w là tần số và F là một hằng số.
Những điều kiện ban đầu là:
x(t) =a,x(t) =˙ U tại t = 0, (2.17) ở đây a và U là những hằng số.
Lời giải. Lấy biến đổi Laplace cho (2.16) với điều kiện ban đầu, chúng ta thu được:
(s2+w2)x(s) =sa+U +F f(s) hoặc
x(s) = as
s2+w2 + U
s2+w2 + F f(s)
s2+w2. (2.18)
Phép toán ngược cùng với định lí chập, cho kết quả là:
x(t) = acoswt+U
wsinwt+F w
Z t 0
f(t−τ) sinwτ dτ (2.19)
=Acos(wt−φ) + F w
Z t 0
f(t−τ) sinwτ dτ , (2.20)
ở đây, A=
a2+U2 w2
1
2 và φ =tan−1 U
wa
Lời giải (2.20) bao gồm hai hai sự biểu thị: Sự biểu thị đầu tiên đáp ứng sự hiện diện của dữ liệu ban đầu, và nó mô tả dao động tự do với biên độ A, pha φ, và tần sốw, được gọi là tham số tự nhiên của dao động. Sự biểu thị thứ hai phát sinh để đáp ứng với các lực bên ngoài, và do đó, nó đại diện cho các dao động cưỡng bức.
Để nghiên cứu một số tính năng thú vị của cách giải (2.20), chúng ta lựa chọn các trường hợp sau để quan tâm:
(i) Hàm cưỡng bức không.
Trong trường hợp này, phương trình (2.20) cho kết quả:
x(t) =Acos(wt−φ) (2.21)
Điều này thể hiện chuyển động điều hòa đơn giản với biên độ A, tần số w và pha φ. Rõ ràng, sự chuyển động là dao động
(ii) Hàm cưỡng bức ổn định, đó là f(t) = 1. Trong trường hợp này, (2.20) trở thành:
x− F
w2 =Acos(wt−φ)− F
w2coswt. (2.22)
Trong trường hợp đặc biệt, khi các hạt được thoát ra từ phần còn lại, U = 0, (2.22) có dạng sau:
x− F w2 =
a− F
w2
coswt. (2.23)
Điều này tương ứng với dao động tự do với tần số tự nhiênw, và biểu thị một sự thay đổi ở vị trí cân bằng từ gốc đến điểm F
w2.
(iii) Hàm cưỡng bức định kì, đó là f(t) = cosw0t.
Biến đổi cách giải có thể thực sự tìm thấy dạng (2.18) trong hình thức sau:
x(s) = as
s2+w2 + U
s2+w2 + F s
(s2+w20)(s2+w2),
= as
s2+w2 + U
s2+w2 + F s
w02−w2( 1
s2+w2 − 1
s2+w02. (2.24) Sử dụng toán tử ngược đối với các kết quả của lời giải, ta được:
x(t) = acoswt+U
w sinwt+ F
w20−w2(coswt−cosw0t), (2.25)
=Acos(wt−φ) + F
w20−w2cosw0t, (2.26)
ở đây, A= (
a+ F
w20−w2 2
+ U2 w2
) 1 2
và tanφ=U w ÷
a+ F
w02−w2
Cần chú ý rằng lời giải (2.26) bao gồm các dao động tự do của chu kì 2π
w
và dao động ưỡng bức của chu kì
2π w0
giống như các lực tuần hoàn bên ngoài.
Nếu w0 < w, pha của dao động cưỡng bức giống như lực tuần hoàn bên ngoài.
Nếuw0> w, kì cưỡng bức chịu thiệt hại từ một pha thay đổi bởi một lực lượng π. Nói cách khác, sự chuyển động cưỡng bức là trong pha hoặc 1800 ngoài pha với lực bên ngoài theo như w < hoặc > w0.
Khi w=w0, kết quả (2.25) có thể được viết như sau:
x(t) =acoswt+ U
wsinwt+ F t w0+w
"sin 1
2(w−w0)t
sin 1
2(w+w0)t
1
2(w0−w)t
# ,
=acoswt+ U
wsinwt+ F t
2wsinwt=Acos(wt−φ) + F t
2wsinwt, (2.27) ở đây,
A2 =
a2+ U2 w2
và tanφ= U aw.
Cách giải này cho thấy rằng biên độ của chuyển động cưỡng bức tăng với t. Vì thế, nếu tần số tự nhiên bằng với tần số cưỡng bức, các dao động trở thành vô biên, đó là thể chất không mong muốn. Hiện tượng này thường được gọi là cộng hưởng và các tần số tương ứngw=w0 được gọi là tần số cộng hưởng của hệ thống. Nó có thể được nhấn mạnh rằng ở tần số cộng hưởng, cách giải của bài toán trở thành toán học không hợp lệ với số lần lớn , và do đó, nó có thể chất không thực tế, ở hầu hết các hệ thống động, tình huống này được giải quyết bằng cách bao gồm tiêu tan và/hoặc các hiệu ứng phi tuyến.
Ví dụ 2.6. (Dao động điều hòa trong một điện trở trung bình).
Phương trình vi phân của dao động trong một điện trở trung bình nơi mà điện trở tỉ lệ với vận tốc được cho bởi:
d2x
dt2 + 2kdx
dt +w2x=F f(t), (2.28) ở đây, k > 0 là một hằng số tỉ lệ và phía bên tay phải đại diện cho lực bên ngoài. Các trạng thái ban đầu đại diện cho hệ thống là:
x(t) =a,dx
dt =U tại t = 0. (2.29)
Lời giải. Theo quan điểm của các điều kiện ban đầu, lời giải theo biến đổi Laplace của phương trình (2.28) thu được:
x(s) = a(s+ 2k) +U +F f(s) (s2+ 2ks+w2)
= a(s+k) + (U +ak) +F(s)
(s+k)2+n2 , (2.30)
ở đây, n2=w2−k2.
Ba trường hợp đáng được quan tâm:
(i) k < w (giảm xóc nhỏ).
Trong trường hợp này,n2 =w2−k2 >0 và phép biến đổi ngược của (2.30) cùng với định lí chập cho kết quả:
x(t) =ae−ktcosnt+ U+ak
n e−ktsinnt+ F n
Z t 0
f(t−τ)e−kτsinnτ dτ (2.31) Đây là cách giải tổng quát nhất của bài toán đối với một dạng tùy ý của các lực bên ngoài.
(ii) k=w (giảm xóc tới hạn) sao cho n2= 0
Lời giải cho trường hợp này dễ dàng thu được từ (2.30) bằng cách sử dụng toán tử ngược và có dạng:
x(t) = ae−kt+ (U +ak)te−kt+F Z t
0
f(t−τ)τ e−ktdτ . (2.32) (iii) k > w (giảm xóc lớn).
Đặt n2=−(k2−w2) =−m2 sao cho m2 =k2−w2>0 Giải pháp biến đổi (2.30) giả sử có dạng:
x(s) = a(s+k) + (U +ak) +F f(s)
(s+k)2−m2 . (2.33)
Sau khi sử dụng phép toán ngược, ta có kết quả là:
x(t) = ae−ktcoshmt+
U+ak m
e−ktsinhmt +F
m Z t
0
f(t−τ)e−kτsinhmτ dτ . (2.34) Để kiểm tra các tính chất đặc trưng của bài toán, nó là cần thiết để xác định bản chất và hình thức cơ năng của f(t) liên quan đến các lực bên ngoài. Giả sử các lưc bên ngoài là không. Các cách giải có thể dễ dàng được viết ra trong cả 3 trường hợp.
Với 0< k < w, lời giải là:
x(t) =e−kt
acosnt+U +ak n sinnt
=Ae−ktcos(nt−φ), (2.35)
ở đây A=
a2+(U +ak)2 n2
1
2 và φ = tan−1
U +ak an
.
Giống như các dao động điều hòa trong chân không, chuyển động là dao động với biên độ phụ thuộc thời gian A e−kt và tần số biến đổi.
n= (w2−k2) 1 2 =w
1− 1
2 k2 w2 +...
,0< k < w
Điều này có nghĩa rằng, khi điện trở nhỏ, tần số biến đổi (hoặc tần số tự nhiên không bị nghẹt) rõ ràng là nhỏ hơn so với tần số tự nhiên w. Mặc dù các điện trở nhỏ tạo ra một hiệu ứng đáng kể tới tần số, biên độ được triệt để sửa đổi. Cũng cần lưu ý rằng biên độ phân rã theo cấp số nhân đến 0 khi thời gian t→ ∞. Các giai đoạn của dao động cũng được thay đổi bởi các điện trở nhỏ. Vì thế các chuyển động được gọi là chuyển động dao động hãm, và miêu tả bằng hình sau.
Ở trường hợp đặc biệt, w= k, và do đó n = 0. Các lời giải có thể dễ dàng được tìm thấy từ (2.32) với F = 0, và có dạng:
x(t) =ae−kt+ (ak+U)te−kt. (2.36) Các chuyển động không còn là dao động và phân rã rất nhanh chóng khit → ∞. Nếu giảm xóc lớn không có ngoại lực, lời giải (2.34) cho kết quả là:
x(t) =ae−ktcoshmt+
ak+U m
e−ktsinhmt. (2.37)
Sử dụngcoshsinhmt= 1
2(emt±e−mt), chúng ta có thể viết được cách giải như sau:
x(t) = Ae−(k−m)t+Be−(k+m)t, (2.38) ở đây A=1
2
a+ ak+U m
và B = 1 2
a− ak+U m
Các cách giải trên cho thấy rằng chuyển động không còn dao động và trong thực tế, nó phân rã rất nhanh khi t→ ∞.
Ví dụ 2.7. (Cường độ dòng điện và điện tích trong một mạch điện xoay chiều đơn giản). Các dòng điện trong một mạch (xem Hình 2.1.) có chứa điện cảm
Hình 2.1: Mạch điện xoay chiều đơn giản
L, điện trởR, và điện dung C với một điện áp áp dụng E(t) được chi phối bởi phương trình
LdI
dt +RI + 1 C
Z t 0
Idt=E(t), (2.39)
ở đây L, R và C là những hằng số vàI(t) là dòng mà liên quan đến điện lượng được tích lũy Q trên tụ tại thời điểm t.
Q(t) = Z t
0
I(t)dt sao cho dQ
dt =I(t) (2.40)
Nếu mạch điện không có tụ điện (C → ∞), phương trình (2.39) cho kết quả:
LdI
dt +RI =E(t) với t >0. (2.41)
Điều này có thể dễ dàng giải được với điều kiện ban đầu I(t = 0) = I0. Tuy nhiên, chúng ta giải hệ thống (2.39)-(2.40) với dữ liệu ban đầu:
I(t= 0) = 0, Q(t= 0) = 0. (2.42) Sau đó, trong giới hạn C → ∞, lời giải của hệ thống cho kết quả như của (2.41).
Lời giải. Ứng dụng của biến đổi Laplace cho (2.39) với (2.42) cho I(s) = 1
L
sE(s) (s2+R
Ls+ 1 CL)
= 1 L
(s+k−k)E(s)
(s+k)2+n2 . (2.43)
Ở đây k= R
2L, w2 = 1 LC
và n2 =w2−k2
Phép biến đổi ngược của (2.43) áp dụng cho cột dòng điện hiện tại cho 3 trường hợp:
I(t) = 1
L∞E(t−τ)
cosnτ − k
nsinnτ
e−kτdτ nếu w2> k2, (2.44)
= 1 L
Z t 0
E(t−τ)(1−kτ)e−kτdτ nếu w2 =k2, (2.45)
= 1 L
Z t 0
E(t−τ)
coshmτ − k
msinhmτ
e−kτdτ nếu w2 < k2, (2.46) ở đây m2=−n2.
Đặc biệt, nếu E(t)= hằng số =E0, thì cách giải có thể thu được trực tiếp từ (2.43) bằng cách biến đổi ngược như sau:
I(t) = E0 nL exp
− Rt 2L
sinnt nếun2 = 1 CL −
R 2L
2
>0, (2.47)
= E0
L texp
− Rt 2L
sinnt nếu n2= 1 CL =
R 2L
2
, (2.48)
= E0 mLexp
− Rt 2L
sinmt nếu m2= R
2L 2
− 1
CL >0. (2.49) Quan sát thấy rằng các lời giải cho trường hợp điện trở thấp(R2C < 4L) hoặc lò xo nhỏ, mô tả một hình sin tắt dần biên độ phân rã chậm. Trong thực tế, tỉ lệ lò xo tỉ lệ thuận với R
L, và khi số lượng này lớn, sự suy giảm của dòng rất nhanh chóng. Tần số của các trường dòng dao động là :
n= 1
CL− R2 4L2
1 2.
Nó được gọi là tần số tự nhiên của cột dòng điện. Nếu R
2
4L2 << 1
CL, tần số n xấp xỉ bằng
n∼ 1
√CL. Trường hợp, R
2
4L2 = 1
CL, tương ứng với giảm xóc quan trọng, và các giải pháp cho trường hợp này phân rã theo hàm mũ với thời gian. Trường hợp cuối cùng, R2C >4L tương ứng với điện trở cao hoặc giảm xóc cao. Dòng liên quan đến trường hợp này có dạng:
I(t) = E0 2mL
e−(
R
2L−m)t−e−(
R 2L+m)t
(2.50) Có thể khẳng định rằng, giải pháp là không có dao động và phân hủy lâu hơn theo cấp số nhân đến 0 khit→ ∞. Điều này thực sự mong đợi trong một mạch điện với điện trở rất cao. Nếu C → ∞ mạch là độc lập từ một bình ngưng và m→ R
2L. Do đó lời giải (2.49) cho kết quả I(t) = E0
R
1−exp
− Rt L
. (2.51)
Điều này giống hệt cách giải của phương trình (2.41) Chúng ta xem xét trường hợp đặc biệt khác, khi mà điện áp xoay chiều được áp dụng cho mạch điện để
E(t) = E0sinw0t. (2.52)
Lời giải biến đổi I(s) sau khi áp dụng từ (2.43) là:
I(s) =
E0w0 L
s
{(s+k)2+n2}(s2+w02). (2.53) Sử dụng các quy tắc của phân số từng phần, nó chỉ ra rằng
I(s) =
E0w0
L
As−B
(s+k)2+n2 − As−C s2+w02
, (2.54)
ở đây, (A,B,C)≡ (w20−w2,2kw2,2kw20) (w2−w20)2+ 4k2w20 .
Nghịch đảo của (2.54) có thể được hoàn thiện bởi bảng của biến đổi Laplace, và cách giải choI(t), giả sử có 3 hình thức theo các khả năng w2 >=< k2.
Lời giải cho trường hợp điện trở thấp( w2 > k2) là:
I(t) = E0w0 L
"
Ae−ktcosnt− 1
n(Ak+B)e−ktsinnt
−Acosw0t+ C
w0 sinw0t
#
. (2.55)
Trong đó có dạng hình thức tương đương sau:
I(t) =A1sin(w0t−φ1) +A2e−ktcos(nt−φ2), (2.56) ở đây
A21= E02
L2(A2w20+C2) = E02w20 L2
(w2−w02)2+ 4k2w02 ,tanφ1 = Aw0
C (2.57)
A22 =
E02w02 L2
A2+ 1
n2(Ak+B)2
và tanφ2 =−(Ak+B)
An . (2.58)
Các cột dòng hiện hành bao gồm các thành phần trạng thái ổn định và tạm thời. Sau đó phân rã theo cấp số nhân trong một quãng thời gian của cấp lệnh
L
R. Do đó, cột dòng hiện tại ổn định được thiết lập trong các mạch điện và mô tả dòng điện tạm thời với biên độ không đổi và pha trễ bằng 1 góc φ1. Tần số của dòng điện dao động ổn định giống như của điện áp được đặt vào.
Trong các tình huống quan trọng (w2 =k2), cột dòng hiện hành có guồn gốc từ (2.54) bằng cách nghịch đảo và có hình dạng:
I(t) =A1sin(w0t−φ1) +
E0w0 L
[Ae−kt−(Ak+B)te−kt]. (2.59) Kết quả này cho thấy rằng các thành phần tạm thời của dòng hiện hành mất đi theo cấp số nhân trong giới hạn khi t → ∞. Sau cùng, dòng điện dao động ổn định được thiết lập trong các mạch điện và được mô tả bởi kỳ đầu tiên của (2.59). Cuối cùng, giải pháp liên quan đến các trường hợp điện trở cao (w2 < k2) có thể được tìm thấy bằng cách nghịch đảo trực tiếp (2.54) và được cho bởi
I(t) = A1sin(w0t−φ1) +
E0w0 L
Acoshmt1
m(Ak+B) sinhmt
e−kt. (2.60) Cách giải này có phần tương tự như (2.56) với ngoại lệ của các hình thức tạm thời, tất nhiên, phân rã rất nhanh chóng khit → ∞. Do đó, cột dòng hiện hành ổn định được thành lập trong mạch và có cùng giá trị như trong (2.56) Cuối cùng, tôi xin khép lại ví dụ này bằng cách gợi ý một sự giống nhau giữa hệ thống mạch điện và các hệ thống cơ khí như được mô tả trong ví dụ (2.6).
Cách phân biệt (2.39) với t đóng vai trò quan trọng cho bởi một phương trình bậc hai cho cột dòng hiện hành như
Ld2I
dt2 +RdI dt + I
C = dE
dt (2.61)
Ngoài ra, một phương trình cho cột điện lượng Q(t) có thể được tìm thấy từ (2.39) và (2.40)
Ld2Q
dt2 +RdQ dt + Q
C =E(t) (2.62)
Viết 2k = R
L và w2= 1
LC, phương trình ở trên có thể được đặt trong dạng:
d2
dt2 + 2k d
dt +w2 I Q
= 1 L
dE dtE
!
. (2.63)
Những phương trình này rất tương tự với phương trình (2.28) cho một dao động điều hòa.
Ví dụ 2.8. (Dòng điện và điện tích trong một mạng lưới điện).
Hình 2.2: Mạch điện xoay chiều của một mạng lưới diện
Một mạng lưới điện là một sự kết hợp của một số mạch điện đơn giản liên quan đến nhau. Hãy xem xét nhiều hơn một mạng điện nói chung bao gồm hai mạch điện cùng bởi điện cảm M lẫn nhau với điện trởR1 và R2, điện dungC1, C2 và những cuộn cảm L1 và L2 như thể hiện trong hình (2.2).
Một thời gian phụ thuộc vào điện áp E(t) được áp dụng cho các mạch điện đầu tiên tại thời điểm t= 0, khi các điện tích và dòng là 0.
Điện tích và các cột dòng điện trong mạng được quản lí bởi hệ thống những
phương trình vi phân thường L1
dI1
dt +R1I1+MdI2 dt + Q1
C1 =E(t), với t >0, (2.64) MdI1
dt +L2dI2
dt +R2I2+Q2
C2 = 0, với t >0, (2.65) với
dQ1
dt =I1 và dQ2 dt =I2. Các điều kiện ban đầu
I1= 0, Q1 = 0, I2 = 0, Q2 = 0 tại t= 0. (2.66) Loại bỏ các dòng từ (2.64) và (2.65), chúng ta thu được:
L1D2+R1D+ 1 C1
Q1+M D2Q2 =E(t) (2.67) M D2Q1+
L2D2+R2D+ 1 C2
Q2= 0, (2.68)
ở đây D≡ d dt.
Biến đổi Laplace có thể được sử dụng để giải hệ này, cho Q1 và Q2. Tương tự như vậy, chúng ta có thể tìm thấy các giải pháp cho các cột dòng điện l1 và l2 độc lập hoặc từ các cột điện lượng.
Trong trường hợp không có điện áp bên ngoài (E = 0) với R1 = R2 = 0, L1 = L2=L và C1 =C2 =C, cộng và trừ (2.67) và (2.68), cho kết quả
Q¨++α2Q+= 0,Q¨−+β2Q−= 0, (2.69) ở đây
Q+ =Q1+Q2, Q−=Q1−Q2, α2= [C(L+M)]−1 và β2 = [C(L−M)]−1
Rõ ràng hệ thống thực hiện đồng đều dao động điều hòa đơn giản với tham số α, β. Do đó, các chế độ bình thường có thể được tạo ra trong hệ thống điện dao động tự do.
Cuối cùng, trong trường hợp không có điện dung (C1 → ∞;C2 → ∞), mạng lưới điện thu nhỏ thành một mạng đơn giản bao gồm 2 mạch điện cùng bởi điện cảm M lẫn nhau với các cuộn cảm L1, L2 và điện trở R1, R2. Một điện áp bên ngoài được áp dụng cho mạch đầu tiên tại thời điểm t = 0
Các cột dòng điện trong mạng được quy định bởi một cặp ghép đôi phương
trình vi phân thường:
L1dI1
dt +R1I1+MdI2
dt =E(t), với t >0, (2.70) MdI1
dt +L2
dI2
dt +R2I2 = 0, với t >0, (2.71) ở đây I1(t) và I2(t) là những dòng trong mạch điện thứ nhất và thứ hai tương ứng. Những điều kiện ban đầu là
I1(0) =I2(0) = 0. (2.72)
Chúng ta sẽ không theo đuổi vấn đề xa hơn vì các phương pháp biến đổi của cách giải là một bài tập đơn giản.