Định nghĩa 3.1. Một phương trình mà hàm chưa biết xảy ra dưới dạng một tích phân được gọi là một phương trình tích phân.
Một phương trình có dạng
f(t) =h(t) +λ Z b
a
k(t, τ)f(τ)dτ , (3.20)
trong đó f là hàm chưa biết, h(t), k(t, τ); các cận của tích phân là a và b thì biết; λ là một hằng số, thì được gọi là phương trình tích phân tuyến tính loại thứ hai hoặc các phương trình tích phân tuyến tính Volterra. Các hàm k(t, τ) được gọi là hạt nhân của phương trình. Một phương trình như thế được gọi là đồng nhất hoặc không đồng nhất theo h(t) = 0 theo h(t)6= 0. Nếu hạt nhân của phương trình có dạngk(t, τ)=g(t−τ), thì phương trình được gọi là phương trình tích phân dạng chập.
Trong phần này, chúng ta phải chỉ ra là làm thế nào để phương pháp biến đổi Laplace có thể được áp dụng thành công cho việc giải quyết phương trình tích phân dạng chập. Phương pháp này đơn giản và dễ hiểu, và có thể được minh họa bằng các ví dụ.
Ví dụ 3.7. Giải phương trình tích phân dạng chập có dạng f(t) =h(t) +λ
Z t 0
g(t−τ)f(τ)dτ . (3.21) Lời giải. Chúng ta áp dụng biến đổi Laplace cho phương trình này để thu được
f(s) = h(s) +λL (Z t
0
g(t−τ)f(τ)dτ )
. Bằng định lí chập,
f(s) = h(s) +λf(s)g(s).
Hoặc
f(s) = h(s)
1−λg(s). (3.22)
Thực hiện phép toán biến đổi Laplace ngược cho lời giải chính thức sau:
f(t) = L−1
h(s) 1−λg(s)
. (3.23)
Trong nhiều trường hợp đơn giản, phía tay phải có thể được thực hiện theo phép toán ngược bằng cách sử dụng phân số từng phần hoặc lí thuyết về dư lượng. Do đó, lời giải có thể dễ dàng được tìm thấy.
Ví dụ 3.8. Giải phương trình tích phân sau:
f(t) = a+λ Z t
0
f(τ)dτ . (3.24)
Lời giải. Chúng ta lấy biến đổi Laplace đối với (3.24) để tìm f(s) = a
s−λ
Bằng cách áp dụng toán tử ngược, ta có kết quả như sau:
f(t) = aexp(λt). (3.25)
Ví dụ 3.9. Giải phương trình vi tích phân.
f(t) =asint+ 2 Z t
0
f0(τ) sin(t−τ)dτ , f(0) = 0.
Lời giải. Lấy biến đổi Laplace, chúng ta thu được f(s) = a
s2+ 1 + 2L{f0(t)}L{sint}.
Hoặc
f(s) = a
s2+ 1 + 2{sf(s)−f(0)}
s2+ 1 . Do đó, bằng điều kiện ban đầu
f(s) = a (s−1)2.
Thực hiện phép toán ngược đối với kết quả của lời giải, ta được
f(t) = atexp(t). (3.26)
Ví dụ 3.10. Giải phương trình tích phân f(t) = atn−e−bt−c
Z t 0
f(τ)ec(t−τ)dτ . (3.27)
Lời giải. Lấy biến đổi Laplace, chúng ta thu được:
f(s) = an!
sn+1 − 1
s+b −f(s) c s−c. Vì thế, chúng ta có
f(s) = s−c s
an!
sn+1 − 1 s+b
= an!
sn+1 − (ac)n!
sn+2 − 1 s
s+b−c−b s+b
,
= an!
sn+1 − (ac)n!
sn+2 −1
s +c+b b
1 s − 1
s+b
,
= an!
sn+1 − (ac)n!
sn+2 −1
s + 1 + c b
1
s − 1 + c b
1 s+b,
= an!
sn+1 − (ac)n!
sn+2 + c
bs − 1 + c b
1 s+b.
Thực hiện phép toán ngược đối với kết quả của lời giải, ta được f(t) =atn− n!ac
(n+ 1)!tn+1+c b −
1 + c
b
e−bt. Ví dụ 3.11. (Phương trình đổi mới trong thống kê).
Hàm ngẫu nhiênX(t)của thời giant đại diện cho số lần một vài sự kiện đã xảy ra giữa thời điểm 0 và thời gian t, và thường được gọi là một quá trình đếm.
Một biến ngẫu nhiênXn mà ghi lại thời gian nó giả định choX để có được giá trị n từ n−1 thì được gọi là một thời gian liên đến. Nếu các biến ngẫu nhiên X1, X2, X3... độc lập và phân phối giống nhau, sau đó quá trình đếm X(t)được gọi là quá trình đổi mới. Chúng ta chú ý đến hàm phân phối xác suất thông thường F(t) và hàm mật độ f(t) sao cho F0(t) =f(t). Các hàm đổi mới được xác định bởi số lần dự kiến những lần sự kiện được tính toán xảy ra theo thời gian t và được kí hiệu là r(t) sao cho
r(t) =E{X(t)}= Z ∞
0
E{X(t)|X1 =x}f(x)dx. (3.28) Ở đây, E{X(t)|X1=x} là giá trị kì vọng có điều kiện của X(t), theo điều kiện đó X1=x và có giá trị
E{X(t)|X1 =x}= [1 +r(t−x)]H(t−x). (3.29) Do đó
r(t) = Z t
0
{1 +r(t−x)}f(x)dx Hoặc
r(t) = F(t) + Z t
0
r(t−x)f(x)dx. (3.30)
Lời giải. Đây được gọi là phương trình đổi mới trong thống kê toán học.
Chúng ta giải các phương trình bằng cách biến đổi Laplace với t, và phương trình biến đổi Laplace là:
r(s) =F(s) +r(s)f(s).
Hoặc
r(s) = F(s)
1−f(s). (3.31)
Thực hiện phép toán biến đổi Laplace ngược đối với lời giải chính thức của phương trình đổi mới
r(t) = L−t
F(s) 1−f(s)
(3.32) Ví dụ 3.12. Nếu hạt nhân là tách được, thì phương trình tích phân kỳ dị thường được biến đổi thành phương trình đạo hàm riêng hoặc hệ tuyến tính các phương trình đạo hàm riêng.
Xét phương trình tích phân kỳ dị Volterra φ(x) =ex+ 2
Z x
−∞
e−3(x−t)φ(t)dt.
Nếu ta nhân vào phương trình này e3x rồi lấy đạo hàm, ta thu được phương trình tuyến tính cấp một
φ0(x) +φ(x) = 4ex
sau khi thực hiện phép rút gọn. Nghiệm của phương phương vi phân này tùy thuộc vào điều kiện ban đầu rằng φ0(0) +φ(0) = 4. Sau khi giải phương trình này, ta thu được nghiệm
φ(x) = (φ(0)−2)e−x+ 2ex.
Ví dụ 3.13. Phương trình tích phân kỳ dị Volterra loại hai φ(x) = f(x) +
Z +∞
x
k(x−t)φ(t)dt,
mà có hạt nhân là tích chập hoặc hạt nhân sai phân, có thể được giải với biến đổi Laplace, mặc dù nghiệm có thể không là duy nhất.
Công thức biến đổi cần thiết là L
Z +∞
x
K(x−t)φ(t)dt
=K(−s)Φ(s), (3.33)
trong đó
K(−s) = Z +∞
0
k(−x)esxdx và Φ(s) = L{φ(x)}.
Để giải thích quá trình này, xét phương trình tích phân φ(x) = 3e−x+ 2
Z +∞
x
ex−tφ(t)dt.
Vì k(x) =ex, K(−s) = 1/(1−s). Sau khi biến đổi phương trình tích phân, rút gọn, ta tìm được
Φ(s) = 3
s+ 1 − 6 (s+ 1)2, từ đó ta kết luận rằng
φ(x) = 3e−x−6xe−x.
Tuy nhiên, nghiệm này không duy nhất. Giả sử tồn tai hai nghiệm phân biệt, cụ thể φ1(x) và φ2(x). Nếu ta đặt δ(x) =φ1(x)−φ2(x), thì δ(x) phải thỏa mãn phương trình
δ(x) = 2 Z +∞
x
ex−tδ(t)dt.
Sau khi biến đổi phương trình tích phân này thành phương trình vi phân, ta thu được δ0(x) +δ(x) = 0. Do đó, δ(x) = ce−x, trong đó clà hằng số tùy ý. Suy ra nghiệm tổng quát nhất của phương trình tích phân có dạng
φ(x) = φ(0)e−x−6xe−x.
Nếu phương trình tích phân được biến đổi thành phương trình vi phân theo quá trình tóm tắt như trong ví dụ trước thì nghiệm tổng quát này thu được một cách trực tiếp.
Ví dụ 3.14. Xét phương trình tích phân
x
Z
0
sin (x−t) Φ(t)dt = 1
2xsinx, (3.34)
với K(x, t) = sin(x−t).
Nếu phương pháp biến đổi Laplace được miêu tả trong các mục trước áp dụng trong phương trình này ta được
1
s2+ 1L{Φ (x)}= s (s2+ 1)2, L{Φ (x)}= s
s2+ 1. Từ đây, ta kết luận được φ(x) = cosx.
Nhận xét 3.1. Nếu ta lấy đạo hàm theo x hai vế phương trình tích phân (3.34) ta được phương trình Volterra loại một sau:
x
Z
0
cos(x−t)Φ (t)dt= 1
2xcosx+1
2sinx. (3.35)
Bây giờ lấy đạo hàm hai vế phương trình (3.35) ta được phương trình Volterra loại hai
Φ (x)−
x
Z
0
sin (x−t) Φ(t)dt = cosx− 1
2xsinx. (3.36) Các phương trình (3.35), (3.36) cũng có nghiệmΦ(x) = cosxnhư phương trình (3.36) và có thể được tìm bằng cách sử dụng biến đổi Laplace.
Ví dụ 3.15. ( Phương trình tích phân Abel trên nửa trục).
Phương trình Abel là phương trình tích phân dạng Volterra với nhân có kỳ dị yếu lũy thừa. Xét phương trình tích phân Abel loại một trên nửa trục
f(x) = Z x
0
1
(x−t)αφ(t)dt, 0< x < ∞, (3.37) trong đó 0< α <1.
Chúng ta sẽ giải phương trình (3.37) bằng phương pháp biến đổi Laplace.
Nếu F(s) = L{f(x)} và Φ(x) = L{φ(x)}, thì ta có phương trình biến đổi F(s) = Γ(1−α)
s1−α Φ(s), mà có thể được sắp xếp lại dưới dạng
Φ(s)
s = s−αΓ(α)
Γ(1−α)Γ(α)F(s) = sin(απ) π
Γ(α) sα F(s).
Đảo ngược lại, ta thu được L
Z x 0
φ(t)dt
= sin(απ)
π L{xα−1} L{f(x)},
= sin(απ) π L
Z x 0
1
(x−t)1−αf(t)dt
, từ đó ta kết luận rằng
φ(x) = sin(απ) π
d dx
Z x 0
1
(x−t)1−αf(t)dt
. Ví dụ 3.16. Xét phương trình tích phân Volterra
x
Z
0
ex−tΦ (t)dt = sinx.
Từ ex−t là một hạch chập, ta có thể áp dụng biến đổi Laplace cho phương trình này. Sau một số bước đơn giản ta tìm được
L{Φ (x)}= s−1
s2+ 1 =L{cosx−sinx}.
Từ đây, ta có thể kết luận Φ (x) = cosx−sinx là nghiệm duy nhất của phương trình.
Mặt khác tích phân
x
Z
0
ex−tΦ (t)dt= cosx
không có nghiệm liên tục trên một đoạn có dạng[0, b]với b bất kì, từ cosx6= 0. Tuy nhiên ta vẫn có thể sử dụng biến đổi Laplace cho phương trình này, ta được
L{Φ (x)}= 1− s
s2+ 1 − 1
s2+ 1 =L{δ(x)−cosx−sinx}.
Từ đây ta kết luậnΦ (x) = δ(x)−cosx−sinxlà một nghiệm của phương trình, trong đó δ(x) là hàm δ-Dirac
Kết luận
Luận văn này đã đề cập những vấn đề sau đây:
1. Trình bày cơ sở lý thuyết của biến đổi Laplace, như định nghĩa biến đổi Laplace, biến đổi Laplace ngược, tích chập và các tính chất cơ bản khác của biên đổi Laplace, đặc biệt là Định lý Tauberian và Bổ đề Watson.
2. Đưa ra khá nhiều ví dụ đa dạng về tìm biến đổi Laplace của các hàm.
Trình bày các phương pháp tìm biến đổi Laplace ngược, như phương pháp tách phân thức, phương pháp vận dụng tích chập, phương pháp thặng dư (phương pháp tích phân chu tuyến), v.v...
3. Xét những ứng dụng của biến đổi Laplace giải các phương trình vi phân, phương trình sai phân, phương trình tích phân, tính tổng vô hạn, tính tích phân suy rộng, dáng điệu tiệm cận, v.v... Những ứng dụng này đã được minh họa bằng nhiều ví dụ đa dạng.