2.2 Dãy các đa thức bất khả quy
2.2.1 Q− phép biến đổi và vết
Ta sẽ sử dụng Q−phép biến đổi để xây dựng các đa thức bất khả quy từ một đa thức bất khả quy đã cho. Trước tiên, ta định nghĩaQ−phép biến đổi như sau.
Định nghĩa 2.2.2. Cho đa thức f ∈ Fq[x]. Đặt fQ(x) = xdegff(x+ 1/x) biểu diễn như một phần tử của Fq(x), nhưng thực chất là một phần tử của Fq[x]. Cụ thể hơn, nếu f(x) =
n
P
k=0
akxk, an 6= 0, thì
fQ(x) =
n
X
k=0
ak(x2 + 1)kxn−k. Ánh xạ f(x) 7→ fQ(x) được gọi là Q−phép biến đổi.
Chú ý 2.2.3.
(i) Nếu degf = n thì degfQ = 2n và (fQ)∗ = fQ, nghĩa là fQ tự tương hỗ.
(ii) Nếu f ∈ Fq[x] và a ∈ Fq thì theo định nghĩa của fQ(x) ta có (af(x))Q = afQ(x).
Tổng quát hơn, nếu f(x) =g(x)h(x); g, h ∈ Fq[x] thì
fQ(x) = xdegff(x+ 1/x) = xdeggxdeghg(x+ 1/x)h(x+ 1/x) =gQ(x)hQ(x),
vì thế nếu fQ bất khả quy thì f bất khả quy.
Ta nhận thấy có mối liên hệ giữa tất các các đa thức bậc n và tất cả các đa thức tự tương hỗ bậc 2n. Ta biết rằng có đúng qn(q −1) đa thức bậc n trên Fq. Theo Chú ý 1.2.2 và Định nghĩa 1.2.1 một đa thức
2n
P
k=0
akxk tự tương hỗ khi và chỉ khi ak = a2n−k với mọi 0 ≤ k ≤ 2n. Do đó, khi xây dựng một đa thức bất khả quy bậc 2n, đa thức đó được xác định bởi việc chọn a0, a1, . . . , an với điều kiện bắt buộc duy nhất a0 6= 0. Do vậy, có đúng qn(q−1) các đa thức tự tương hỗ có bậc 2n trên Fq. Ngoài ra, nếu f có bậc n, thì fQ tự tương hỗ có bậc 2n.
Bổ đề 2.2.4. Ánh xạ Fq[x]→ Fq[x], f 7→ fQ là đơn ánh.
Chứng minh. Giả sử f, g ∈ Fq[x] thỏa mãnfQ(x) =gQ(x). Khi đó ta có f, g có cùng bậc n và
xnf(x+ 1/x) = xng(x+ 1/x).
Lấy tùy ý β thuộc bao đóng đại số Fq của Fq, ta phải chỉ ra f(β) = g(β) và f(0) = g(0). Cho α ∈ Fq là một nghiệm của
x+ 1/x= β ⇔x2 −βx+ 1 = 0.
Vì α 6= 0 và
fQ(α) =gQ(α) ⇔αnf(α + 1/α) = αng(α + 1/α) ⇔ f(β) =g(β).
Việc còn lại là chỉ ra f(0) = g(0), nghĩa là hệ số tự do của f và g là bằng nhau. Nhưng hệ số tự do của f(x) là hệ số cao nhất trên fQ(x), hệ số tự do của g(x) là hệ số cao nhất trên gQ(x) vì fQ = gQ, nên f(0) = g(0), vì thế f(x) = g(x) và f 7→ fQ là đơn ánh. Thực ra ánh xạ này là toàn ánh từ tập các đa thức bậc n lên tập các đa thức tự tương hỗ bậc 2n (hai tập này có số phần tử hữu hạn và bằng nhau).
Định lý tiếp theo đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng dãy các đa thức bất khả quy trên trường có đặc số 2, cũng như chứng minh Định lý 2.2.1. Định lý này cho ta điều kiện cần và đủ cho fQ bất khả quy nếu f bất khả quy.
Định lý 2.2.5. Cho f(x) ∈ Fq[x] là đa thức bất khả quy trên Fq với bậc degf = n. Khi đó fQ bất khả quy trên Fq khi và chỉ khi g(x) = x2−βx+ 1 ∈ Fqn[x] bất khả quy trên Fqn, trong đó β là nghiệm tùy ý của f.
Chú ý 2.2.6. Nếu x2 −βx+ 1 ∈ Fqn[x] bất khả quy với β là nghiệm của f thì nó bất khả quy với bất cứ nghiệm nào của f. Theo Định lý 1.1.10 các nghiệm khác của f là βq, . . . , βqn−1 có thể được biểu diễn qua tự đẳng cấu σ : Fqn → Fqn của Fqn trên Fq được cho bởi σ(α) = αp với α ∈ Fqn như σ(β), . . . , σn−1(β) tương ứng. Do đó tất cả các đa thức x2−σk(β)x+ 1 đều bất khả quy trên Fqn với 1≤ k ≤ n−1 theo Định lý 2.1.5.
Chứng minh Định lý 2.2.5. Giả sử g(x) bất khả quy trên Fqn. Đầu tiên, chúng ta thấy rằng 0 không phải là nghiệm của fQ vì hệ tử tự do của fQ là hệ tử cao nhất củaf. Bây giờ, gọiα 6= 0là một nghiệm củafQ. Mục đích của ta là chỉ ra rằng deg(α,Fq) = 2n = degfQ. Vì 0 = fQ(α) = αnf(α + 1/α) nên suy ra f(α + 1/α) = 0 do α 6= 0. Theo Chú ý 2.2.6 không giảm tổng quát ta có thể giả sửβ = α+ 1/α, deg(β,Fq) =n. Hơn nữa g(α) = 0. Theo giả thiết g(x) bất khả quy trên Fqn, Fqn[x]/(g(x)) là một trường, đẳng cấu với (Fq(β))(α) =Fq(α) và theo tháp mở rộng trường hữu hạn,
[Fq(α) : Fq] = [Fq(α) : Fq(β)][Fq(β) : Fq] = 2n vì thế deg(α,Fq) = 2n = degfQ do đó fQ là bất khả quy.
Ngược lại, nếu fQ(x) bất khả quy trên Fq và α là một nghiệm của fQ thì [Fq(α) : Fq] = 2n. Bằng cách đặt β = α + 1/α ta có f(β) = 0 và đặt g(x) = x2 −βx + 1, thì g(α) = 0. Nếu g khả quy α phải là một nghiệm của một đa thức tuyến tính của Fqn[x] và vì thế α ∈ Fqn, mâu thuẫn với [Fq(α) : Fq] = 2n.
Nhà toán học H. Meyn [6] đã đưa ra khái niệm vết của một phần tử, đóng vai trò quan trọng trong việc tìm ra dãy các đa thức bất khả quy trên các trường có đặc số 2 sẽ được trình bày trong mục sau.
Định nghĩa 2.2.7. Cho F = Fqm, K = Fq là các trường hữu hạn. Gọi α ∈ F. Vết (trace) của α trên K được xác định bởi
TrF/K(α) =
m−1
X
k=0
αqk.
Chú ý 2.2.8. Từ định nghĩa của hàm vết, ta có những chú ý sau:
(i) Cho F = Fqm, K = Fq. Nếu α ∈ F thì TrF/K(α) ∈ K. Với f là đa thức cực tiểu của α trên K thì degf = d | m. Theo Định lý 1.1.10 các phần tử α, αq. . . , αqd−1 là các nghiệm của f. Đặt
m−1
Q
k=1
(x−αqk) = g(x) = f(x)m/d ∈ K[x], ta có hệ số cao thứ hai của g là −TrF/K(α) do đó phần tử này phải thuộc K.
(ii) Trong trường hợp đặc biệt, nếu Fqm = F, Fq = K là các trường hữu hạn và bậc của đa thức cực tiểu của α trên K bằng m (vì thế F = K(α)), thì
−TrF/K(α) bằng với hệ số của xm−1 trong đa thức f(x).
(iii) TrF/K : F → K là ánh xạ tuyến tính (F được xem như một không gian vectơ trên K).
(iv) TrF/K(αq) = TrF/K(α), với mọi α ∈ F.
(v) Hàm vết có tính bắc cầu, nghĩa là nếu các trường hữu hạn K < F <
L, α ∈ L thì TrL/K(α) = TrF/K(TrL/F(α)).