2.2 Dãy các đa thức bất khả quy
2.2.3 Dãy đa thức bất khả quy trên trường hữu hạn có đặc số lẻ
Trong trường hợp trường có đặc số 2, ta sử dụng phép biến đổi f 7→ fQ để xây dựng dãy vô hạn đa thức bất khả quy từ một đa thức ban đầu thỏa mãn một số điều kiện. Nếu xét trường hợp trường hữu hạn có đặc số lẻ, ta cần thay đổi đôi chút phép biến đổi để tạo ra dãy các đa thức bất khả quy tương tự.
Nếu Fq có đặc số lẻ, chúng ta có thể thu được một tiêu chuẩn về tính bất khả quy cho g(x) =x2 −βx+ 1 ∈ Fq[x], để sử dụng được Định lý 2.2.5 như sau. Vì g(x) có bậc 2, bất khả quy trênFq khi và chỉ khi nó không có nghiệm trong Fq. Nếu g(x) = 0 ta có (2x−β)2 = β2−4. Vậy g(x) bất khả quy trên Fq khi và chỉ khi β2 −4 không phải thặng dư bậc hai trên Fq.
Khẳng định này giúp ta chứng minh kết quả sau đây.
Định lý 2.2.18. ChoFq là trường hữu hạn với đặc số p lẻ, giả sửf(x) ∈ Fq[x]
là đa thức dạng chuẩn bất khả quy trên Fq có bậc n. Khi đó fQ bất khả quy trên Fq khi và chỉ khi f(2)f(−2) không là thặng dư bậc hai của Fq.
Chứng minh. Theo Định lý 2.2.5 fQ bất khả quy khi và chỉ khi g(x) = x2−βx+ 1 bất khả quy trên Fqn, trong đó β là một nghiệm của f trên Fqn
(trường phân rã của f). Điều này xảy ra khi và chỉ khi β2 −4 không phải thặng dư bậc hai của Fqn tương đương với (β2 −4)(qn−1)/2 = −1( theo Định lý 1.1.20).
Theo Định lý 1.1.10, mọi nghiệm của f(x) là βqk với k = 0, . . . , n−1.
Nên với a ∈ Fq, áp dụng Định lý 1.1.5 ta có
f(a) = Y
{γ:f(γ)=0}
(a−γ) =
n−1
Y
k=0
(a−βqk)
=
n−1
Y
k=0
(a−β)qk = (a−β)1+q+ããã+qn−1 = (a−β)(qn−1)(q−1)
trong đó tích đầu tiên chạy trên tất cả γ các nghiệm của f trên trường phân rã của f. Do đó, β2−4không phải là thặng dư bậc hai của Fqn tương đương
với
(β2 −4)(qn−1)/2 = −1⇔ ((2−β)(−2−β))(qn−1)/2 = −1
⇔ (((2−β)(−2−β))(qn−1)(q−1) )(q−1)2 = −1
⇔ (f(2)f(−2))(q−1)2 = −1 Nghĩa là f(2)f(−2) không là thặng dư bậc hai của F.
Sử dụng Định lý 2.2.18 ta có thể tìm ra được dãy các đa thức bất khả quy trên trường hữu hạn có đặc số lẻ.
Ví dụ 2.2.19. Cho đa thức bất khả quy f(x) =x2 + 2x+ 2 ∈ F3[x]. Ta có f(2)f(−2) = f(−1)f(1) = −1 không phải thặng dư bậc hai của F3. Kí hiệu fQn lặp n lần phép biến đổi f 7→fQ thì
fQn+1(2)fQn+1(−2) = 2degfQn(−2)degfQnfQn(2 + 2−1)fQn(−2 + (−2)−1)
= fQn(−2)fQn(2),
vì degfQn là chẵn (Quy ước fQ0 := f). Do vậy, theo quy nạp và theo Định lý 2.2.18, dãy các đa thức
fn+1(x) = fnQ(x),
với f1(x) = f(x), là một dãy các đa thức bất khả quy trên F3, degfn = 2n. Các phần tử đầu tiên của dãy:
f2(x) =x4 + 2x3 +x2 + 2x+ 1,
f3(x) =x8 + 2x7 + 2x6 + 2x5 + 2x3 + 2x2 + 2x+ 1,
f4(x) =x16 + 2x15+x14 +x13+x12 +x11+ 2x9 +x8 + 2x7 +x6 +x4 +x3 +x2 + 2x+ 1.
Tổng quát hóa quá trình trên như sau: Cho f(x) ∈ F3k[x] là đa thức bất khả quy bậc chẵn thỏa mãn f(2)f(−2) = f(1)f(−1) không phải thặng dư bậc hai của F3k. Khi đó fQn(x) bất khả quy với n ∈ N. Điều này đúng vì
fQn+1(2)fQn+1(−2) = 2degfQn(−2)degfQnfQn(2 + 2−1)fQn(−2 + (−2)−1)
= fQn(−2)fQn(2) theo quy nạp và theo Định lý 2.2.18.
Chú ý rằng các bước quy nạp phụ thuộc vào đặc số của trường là 3.
Sau đây là ví dụ khi ta sử dụng Q−phép biến đổi nhưng không thành công trong việc tạo ra hơn một đa thức bất khả quy bất kể đa thức ban đầu Ví dụ 2.2.20. Cho f(x) ∈ F5k[x] trong đó k ∈ N>0 là đa thức bất khả quy thỏa mãn f(2)f(−2)không phải thặng dư bậc 2 của F5k. Do vậy, fQ bất khả quy theo Định lý 2.2.18. Tuy nhiên
fQ(2)fQ(−2) = 2degf(−2)degff(2 + 2−1)f(−2 + (−2)−1) =f(0)2 là thặng dư bậc 2, do đó fQ2 không bất khả quy theo Định lý 2.2.18.
Tiếp theo để chứng minh Định lý 2.2.1, ta giới thiệu một đa thức biến đổi mới, dựa trên Q−phép biến đổi.
Định nghĩa 2.2.21. Cho Fq là trường hữu hạn có đặc số p lẻ. Giả sử đa thức f ∈ Fq[x] cho trước có bậc n, gọi fR(x) = (2x)nf(2−1(x+ 1/x). Hơn nữa, với đa thức f, đặt λ(f) =f(1)f(−1).
Chú ý 2.2.22. Từ fR(x) = (2x)nf(2−1(x+ 1/x). Ta có fR(x) là đa thức tự tương hỗ có bậc gấp đôi bậc của f(x). Chứng minh tương tự như Bổ đề 1.1.8 ta có ánh xạ f → fR là song ánh từ tập tất cả các đa thức có bậc n lên tập tất cả các đa thức tương hỗ có bậc 2n. Ánh xạ được gọi là R−phép biến đổi. Do đó, mỗi đa thức tự tương hỗ f(x) có bậc 2n trên Fq đều có thể được viết thành f(x) = gR(x) với g(x) ∈ Fq[x]. Hơn nữa, R−phép biến đổi của một tích là tích của các R−phép biến đổi, vì vậy fR bất khả quy kéo đa thức f bất khả quy. Hạng tử cao nhất của đa thức f cũng là hạng tử cao nhất của fR. Nên f là đa thức dạng chuẩn ⇔fR là đa thức dạng chuẩn.
Việc xây dựng dãy các đa thức bất khả quy sử dụng Q−phép biến đổi liên quan mật thiết với f(2)f(−2) và fQ(2)fQ(−2) như đã trình bày trong Định lý 2.2.18. Tuy nhiên, khi sử dụng R−phép biến đổi, việc xây dựng được dãy đa thức bất khả quy từ đa thức bất khả quy đã cho sẽ phụ thuộc vào đại lượng λ(f) và λ(fR).
Chú ý rằng, theo định nghĩa R−phép biến đổi. Trong Định lý 2.2.1 ta có dãy đa thức fm+1(x) = fmR(x) là một dãy đa thức bất khả quy nếu f thoả mãn các điều kiện của định lý. Ta cần hai bổ đề sau.
Bổ đề 2.2.23. Cho Fq là một trường hữu hạn có đặc số p lẻ, f là một đa thức bậc n. Khi đó ta có
(i) Nếu p ≡ 1 (mod 4) và λ(f) không phải thặng dư bậc hai của Fq thì λ(fR) cũng không phải thặng dư bâc hai của Fq.
(ii) Nếu n chẵn và λ(f) không là thặng dư bậc hai của Fq thì λ(fR) cũng không phải thặng dư bâc hai của Fq.
Chứng minh. Ta có
λ(fR) =fR(1)fR(−1) = (−1)n22nf(1)f(−1) = (−1)n22nλ(f) (2.2) Nếu n chẵn, thì theo công thức (2.2), rõ ràng λ(fR) không là thặng dư bậc hai của Fq. Nếu p ≡ 1 (mod 4) ⇒ q −1 = pn − 1 ... 4 ⇒ (q −1)
1 ... 2 ⇒ (−1)(q−1)1 = 1 suy ra −1 là một thặng dư bậc hai của Fq theo Định lý 1.1.20, do đó λ(fR) không phải thặng dư bậc hai của Fq.
Bổ đề 2.2.24. Cho Fq là một trường hữu hạn có đặc số p lẻ, f là một đa thức bậc n bất khả quy trên Fq. Khi đó, fR bất khả quy trên Fq khi và chỉ khi λ(f) không phải thặng dư bậc hai của Fq.
Chứng minh. Đặt g(x) = 2nf(2−1x). Khi đó ta có fR(x) = gQ(x) nghĩa là nếu chúng ta chứng minh gQ(x) bất khả quy thì fR(x) bất khả quy. Ta có, đa thức g(x) là bất khả quy. Thật vậy, nếu g(x) khả quy thì g(x) = 2nf(2−1x) = r(x)s(x), trong đó r(x), s(x) ∈ Fq[x] với 0 < degr,degs < n suy ra f(x) = 2−ns(2x)r(2x), mâu thuẫn với tính bất khả quy của f. Theo định lý 2.2.18,gQ(x) bất khả quy khi và chỉ khi g(2)g(−2)không phải thặng dư bậc hai của Fq. Ta có g(2)g(−2) = 22nλ(f) nên gQ(x) bất khả quy khi và chỉ khi λ(f) không là thặng dư bậc hai của Fq.
Áp dụng Bổ đề 2.2.23 và Bổ đề 2.2.24 ta có định lý sau đây, chính là cách phát biểu khác của Định lý 2.2.1.
Định lý 2.2.25. Cho Fq là một trường hữu hạn có đặc số p lẻ, f1(x) là một đa thức dạng chuẩn bậc n bất khả quy trên Fq. Giả thiết thêm rằng n chẵn trong trường hợp p ≡ 3 (mod 4) và λ(f) không là thặng dư bậc hai của Fq, thì dãy các đa thức kí hiệu
fm+1(x) = fmR(x), m ∈ N>0
là dãy các đa thức dạng chuẩn bất khả quy trên Fq, với degfm = n2m−1.
Chứng minh. Ta cóf2(x) = f1R(x) thỏa mãn f1(x) bất khả quy, λ(f1) không là thặng dư bậc hai trên Fq, theo Bổ đề 2.2.24 suy ra f2(x) bất khả quy. Áp dụng Bổ đề 2.2.23 ta còn có λ(f1R) = λ(f2) cũng không là thặng dư bậc hai trên Fq.
Bằng quy nạp theo m ta suy ra fm+1(x) = fmR(x) là bất khả quy trên Fq, ∀m = 1,2, . . .
Chú ý 2.2.26. Định lý 2.2.25 không còn đúng nếu thiếu điều kiện n chẵn nếu trong trường hợp p ≡ 3 (mod 4). Thật vậy, cho x3 + 2 ∈ F7[x] là đa thức bất khả quy trên F7 vì nó không có nghiệm trong F7. Mặc dù λ(f) = 3 không là thặng dư bậc hai của F7 vì 33 = 27 = −1 trong F7. Vậy fR(x) = x6 + 3x4 + 2x3 + 3x2 + 1, λ(fR) = 1, hơn nữa
fR2(x) =x12 + 4x10 + 2x9 −x8 −x7 −x5 −x4 + 2x3 + 4x2 + 1
= (x6 + 3x5 + 3x3 + 2x2 −x−2)(x6 + 4x5 −x4 + 2x3 + 2x+ 3) là đa thức không bất khả quy.
Định lý dưới đây chỉ ra rằng mỗi đa thức bất khả quy, tự tương hỗ có bậc 2n luôn được tạo bởi từ phép R−biến đổi của một đa thức bất khả quy có bậc n thỏa mãn điều kiện của Định lý 2.2.25.
Định lý 2.2.27. Cho f(x) ∈ Fq[x] là đa thức dạng chuẩn, tự tương hỗ và bất khả quy có bậc 2n trên trường hữu hạn Fq. Khi đó luôn tồn tại đa thức dạng chuẩn g(x) ∈ Fq[x] có bậc n sao cho g(x) là bất khả quy trên Fq và
f(x) = gR(x), λ(g) không phải thặng dư bậc hai của Fq.
Chứng minh. Theo Chú ý 2.2.22 ta có f(x) = gR(x) với đa thức dạng chuẩn g(x) có bậc nvì R−phép biến đổi là một song ánh từ tập tất cả các đa thức có bậc n đến tập tất cả các đa thức tự tương hỗ có bậc 2n. Thêm vào đó, R−phép biến đổi của một đa thức là bất khả quy khi đa thức ban đầu là bất khả quy. Do vậy, g(x) là bất khả quy. Hơn nữa, vì
gR(x) = (2ng(2−1x))Q := hQ(x)
trong đó h(x) = 2ng(2−1x) là bất khả quy (do hQ(x) = gR(x) bất khả quy), nên theo Định lý 2.2.18 ta có h(2)h(−2) không là thặng dư bậc hai của Fq
mà
h(2)h(−2) = 2ng(1)2ng(−1) = 22nλ(g),
do vậy λ(g) không phải thặng dư bậc hai của Fq.
Hệ quả 2.2.28. Cho Fq là trường hữu hạn, trong đó charFq = p ≡ 1 (mod 4). Nếu f(x) ∈ Fq[x] tự tương hỗ và bất khả quy với bậc chẵn thì λ(f) không là thặng dư bậc hai của Fq.
Chứng minh. Theo Định lý 2.2.27, tồn tại đa thức g(x) ∈ Fq[x] là bất khả quy sao cho gR(x) = f(x) trong đó λ(g) không là thặng dư bậc hai của Fq. Theo Bổ đề 2.2.23 ta có λ(gR) = λ(f) không là thặng dư bậc hai của Fq. Ví dụ 2.2.29. Xét đa thức x2 + 2 ∈ F5, là bất khả quy và cho α thoả mãn α2+ 2 = 0 nghĩa là α2 = 3. Khi đó F25 ∼= F5(α). Ta có thể chứng minh được α cấp 8 trong F25 và 2−α có cấp 3. Khi đó θ := α(2−α) = 2(1 +α) có cấp 3.8 = 24 và sinh ra F∗25.
Tìm đa thức f(x) có dạng x + β trong đó β ∈ F25 sao cho λ(f) = (1 +β)(−1 + β) không là thặng dư bậc hai của F25 để ta có thể áp dụng Định lý 2.2.25 mà nhận được một dãy các đa thức bất khả quy trong F25. Ta chọn β = θ + 1, vì −1 + β = θ không là thặng dư bậc hai và 1 + β là một thặng dư bậc hai (vỡ (1 +β)(25−1)/2 = (2(α + 2))12 = ã ã ã = 1 nờn theo Định lý 1.1.20 ta suy ra (1 +β) là thặng dư bậc hai).
Do đó λ(f) không là thặng dư bậc hai và ta có thể áp dụng Định lý 2.2.25 fR(x) = 2(2−1x+β)Q = 2x(2−1(x+ 1/x) +β) = x2 + 2βx+ 1
= x2 + (1−α)x+ 1 (2.3)
là bất khả quy trên F25.
Kết luận
Trong luận văn chúng tôi đã nghiên cứu một số kết quả về đa thức bất khả quy trên các trường hữu hạn. Các kết quả cơ bản đã được trình bày và chứng minh một cách tường minh. Đồng thời cũng xây dựng được những đa thức bất khả quy từ hai đa thức bất khả quy đã cho; xây dựng được dãy vô hạn những đa thức bất khả quy trên trường hữu hạn có đặc số 2 bằng cách sử dụng Q− biến đổi; xây dựng dãy vô hạn những đa thức bất khả quy có bậc tăng dần trên trường hữu hạn có đặc số lẻ bằng cách sử dụng R− biến đổi từ một đa thức bât khả quy ban đầu.