CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Khái niệm cực trị của hàm số Định nghĩa

Giả sử hàm số f xác định trên K K và x0K

a) x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng  a b; Kchứa điểm x0sao cho f x  f x 0 , x    a b; \ x0 .

Khi đó f x 0 được gọi là giá trị cực đại của hàm số f.

b) x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng  a b; Kchứa điểm x0sao cho f x  f x 0 , x    a b; \ x0 .

Khi đó f x 0 được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f.

Chú ý:

1) Điểm cực đại (cực tiểu) x được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (cực tiểu) 0 f x của hàm  0

số được gọi chung là cực trị. Hàm số có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập hợp K.

2) Nói chung, giá trị cực đại (cực tiểu) f x 0 không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên tập K; f x 0 chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên một khoảng  a b; chứax . 0

3) Nếux là một điểm cực trị của hàm số f thì điểm0 x f x0;  0  được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f.

2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Định lí 1

Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểmx0. Khi đó, nếu f có đạo hàm tại điểmx0thì f x 0 0.

Chú ý:

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng  liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 

Trang 36 1) Điều ngược lại có thể không đúng. Đạo hàm fcó thể bằng 0 tại điểm x0 nhưng hàm số f không đạt cực trị tại điểmx0.

2) Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.

3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị Định lí 2

a) Nếu f x đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua điểm x0(theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực tiểu tại điểmx0.

b) Nếu f x đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua điểm x0(theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực đại tại điểmx0.

Định lí 3

Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng a b; chứa điểmx f x0,  0 0và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểmx0.

a) Nếu f x0 0thì hàm số f đạt cực đại tại điểmx0. b) Nếu f x0 0thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểmx0.

Nếu f x0 0thì ta chưa thể kết luận được, cần lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu đạo hàm.

B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP BÀI TẬP

Dạng 1: Cho hàm số f x( ) hoặc f x'( ). Tìm điểm cực trị, giá trị cực trị 1. Phương pháp

Cách 1: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu Bước 1. Tìm f x 

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng  liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 

Trang 37 Bước 2. Tìm các điểm x ii 1, 2,...tại đó đạo hàm bằng không hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm.

Bước 3. Xét dấu f x . Nếu f x đổi dấu khi x qua điểmxithì hàm số đạt cực trị tại điểmxi. Cách 2: Dùng định lý 3

Bước 1: Tìm f x 

Bước 2: Tìm các nghiệm x ii 1, 2,...của phương trình f x 0.

Bước 3: Tính f xi

 Nếu f xi 0thì hàm số f đạt cực đại tại điểm .xi

 Nếu f xi 0thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm .xi

Nếu f xi 0thì ta lập bảng biến thiên để xác định điểm cực trị.

* Tìm (điểm) cực trị thông qua đạo hàm f x : Ta đi đếm số nghiệm bội lẻ của phương trình đạo hàm 2. Bài tập

Bài tập 1: Giá trị cực đại của hàm số f x  x 2 x21 là số nào dưới đây?

A. 3

3 . B. 3. C.  3. D. 3 3 .

 Hướng dẫn giải

Chọn C.

Hàm số đã cho xác định trên . Ta có:   1 22 .

1 f x x

   x



Từ đó:   0 2 1 2 22 0 2 3.

1 4 3

f x x x x x

x x

 

         

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm 3

x 3 , giá trị cực đại của hàm số là 3 3 3.

f 

  

 

  Bài tập 2: Các điểm cực đại của hàm số f x  x 2sinxcó dạng (với k)

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng  liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 

Trang 38 A. 2 .

x  3 k  B. 2 .

x 3 k  C. 2 .

x  6 k  D. 2 .

x 6 k  Hướng dẫn giải Chọn A.

Hàm số đã cho xác định trên .

Ta có: f x  1 2 cosx. Khi đó   0 cosx 1 2 , 

2 3

f x       x  k  k

  2sin

f x  x

Vì 2 2sin 2 2sin 0

3 3 3

f k   k    nên 2

x 3 k  là điểm cực tiểu.

Vì 2 2sin 2 2sin 2sin 0

3 3 3 3

f    k    k       nên 2

x  3 k  là điểm cực đại Bài tập 3: Cho hàm số y f(x)có đạo hàm f(x) (x 21)(x33x 2)(x 22x).

Số điểm cực trị của hàm sốy f(x) là

A. 6. B. 2. C. 3. D. 5.

Hướng dẫn giải Chọn D.

Ta có: f(x) (x 2)(x 1) x(x 1)(x 2)   3   và f(x) 0 có 5 nghiệm bội lẻ nên có 5 điểm cực trị.

Bài tập 4: Cho hàm số y f(x) có đạo hàm f(x) x (x 1)(x 4) 2   2. Tìm số điểm cực trị của hàm số (x )2

y f .

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Hướng dẫn giải Chọn C.

Ta có: f(x )2   2x.f (x ) 2x (x 2  5 21)(x24)2

Phương trình f(x )2   0 có 3 nghiệm bội lẻ là x 0, x  1 nên số điểm cực trị của hàm số y f(x )2 là 3.

Chú ý:

Đạo hàm của hàm số hợp f u x     f u x u x   .   hay fx f uu. .x Bài tập 5: Cho hàm số y f(x)liên tục trên, có 12 7

(x) 3x , x 0

x 2

f      . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng  liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133 

Trang 39 A. Hàm số có đúng một điểm cực trị trên .

B. Hàm số có ít nhất một điểm cực trị trên (0;). C. Hàm số không có điểm cực trị nào trên (0;). D. Hàm số có đúng hai điểm cực trị trên .

Hướng dẫn giải Chọn C.

Với x 0  ta có:

2

2 2 3

1 7 3 3 1 7 3 7

(x) 3x x x 3 0

x 2 2 2 x 2 2 2

f               . Vậy hàm số không có cực trị trên (0;).

Bài tập 6: Cho hàm số y f(x) liên tục trên, có đạo hàm

2 3 2

(x) (x x 2)(x 6x 11x 6) (x)

f       g với g(x) là hàm đa thức có đồ thị như hình vẽ dưới đây (g(x)đồng biến trên ( ; 1) và trên(2;). Số điểm cực trị của hàm số y f(x) là

A. 5. B. 2.

C. 3. D. 4.

Hướng dẫn giải Chọn D.

Dựa vào đồ thị, phương trình (x) 0g  có 3 nghiệm bội lẻ là x 0, x 1, x 2   và một nghiệm bội chẵn là x 1.

Tóm lại, phương trình y' 0 chỉ có x 1, x 0, x 2  và x 3 là nghiệm bội lẻ, nên hàm số có 4 điểm cực trị.