11 - 2009
M2146. Trên mặt phẳng tọa độ vẽ đồ thị của 2008 tam thức bậc hai. Có thể hay không với mỗi đồ thị trong chúng thì tồn tại một đường thẳng sao cho có điểm chung với các đồ thị còn lại ngoại trừ đồ thị đó ra.
N. Agakhano, Y. Bogdanov.
M2147. Trong bảng kẻ ô vuông vô hạn, viết các số thực vào các ô sao cho tất cả các cạnh vô tận nằm ngang cũng như nằm dọc chứa các dãy số có chu kỳ. Chứng minh có nhiều vô hạn các dãy nằm ngang với chu kì cơ sở khác nhau khi và chỉ khi có nhiều vô hạn các dãy số nằm dọc với chu kì cơ sở khác nhau.
E. Znak.
M2148. Trên đường tròn đặt các số1,2, ...,100theo một thứ tự nào đó. Petia tính 100 tổng của tất cả các bộ ba số liên tiếp sắp trên đường tròn và viết lên bảng số bé nhất trong số các tổng này. Hỏi số lớn nhất có thể viết lên bảng bằng bao nhiêu? P. Kozhevnikov.
M2149. Trong tam giác ABC các cạnh AB, BC bằng nhau. Điểm D nằm trong
tam giác sao cho ∠ADC = 2∠ABC. Chứng minh hai lần khoảng cách từ điểm B đến
phân giác ngoài của gócADC bằng AD+DC
S. Berlov.
M2150. Trong một đất nước nọ, tất cả các con đường đều một chiều. Mỗi con đường nối hai thành phố và không đi qua thành phố nào khác nữa. Người ta thống kê với mỗi thành phố số liệu tổng dân số của các thành phố mà từ đó có con đường dẫn tới thành phố đang xét; và số liệu tổng dân số các thành phố mà thành phố đang xét có con đường dẫn đến. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một thành phối số liệu thứ nhất không ít hơn số liệu thứ 2.
N. Gravin.
M2151. Cho tam giác số
1 1 1 1 1 2 3 2 1 1 3 6 7 6 3 1 1 4 10 16 19 16 10 4 1
M2152. Cặp số(p, q) của hai số nguyên tố khác nhau được gọi là "kỳ dị" nếu tồn tại số a biểu diễn dưới dạng a =xp+yp =zq+tq với các số tự nhiên x, y, z, t nào đó không biểu diễn được ở dạngupq +vpq, với u, v là số tự nhiên. Chứng tỏ rằng với bất kì số nguyên tốp nào thì tồn tại vô số q để cặp (p, q)là kỳ dị.
V. Senderov.
M2153. Tổng các góc khối tại các đỉnh của một hình đa diện lồi bằng π. Chứng
tỏ rằng tồn tại một đường đi đóng theo các cạnh của nó đi qua các đỉnh chỉ mỗi một lần. (Góc khối là số đo diện tích của hình được tạo ra do góc đa diện tương ứng khoét trên hình cầu đơn vị.)