06 - 2009
M2124. Cho số tự nhiênn≥3vàx1, x2, ..., xn là các số dương thỏa mãn đẳng thức x21−x1x2+x22 =x22−x2x3+x23 =...=x2n−1 −xn−1xn+xn2 =x2n−xnx1+x21 Hỏi với những giá trị nào củan thì có thể khẳng định x1 =x2 =...=xn.
V. Senderov.
M2125. Nội tiếp trong một tam giácABC đường trònω tiếp xúc với cạnhCA, AB tại các điểmB1, C1. Điểm D, khác B1, C1, nằm cách A một khoảng bằng AC1. Đường thằng DB1, DC1 cắt lần thứ hai với đường tròn ω tại B2, C2. Chứng minh rằng B2C2 là đường kính củaω vuông góc với DA.
P. Zhenodarov.
M2126. Tại một buổi tiệc, cần sắp xếp 20 người vào 4 bàn. Cách sắp xếp chỗ ngồi là tốt nếu 1 người bất kì luôn tìm được một người bạn ngồi cùng bàn với người đó. Người ta nhận thấy rằng tồn tại các cách sắp xếp tốt, và với mỗi cách sắp xếp tốt thì mỗi bàn ngồi đúng 5 người. Tìm số cặp bạn bè lớn nhất có thể có giữa 20 người này. P. Kozhevnikov.
M2127. Bên trong của một nhánh của hyberbola cho bởi phương trìnhx=py2+ 1 đặt các đường tròn ω1, ω2, ω3... sao cho với mỗi n>1, đường tròn ωn đường tròn tiếp xúc với hyperbola tại hai điểm và tiếp xúc với đường trònωn−1, còn đường tròn ω1 có bán kính 1, tiếp xúc với hyperbol tại điểm (1,0). Chứng minh rằng với bất kì số tự nhiên n nào thì đường trònωn luôn có bán kính là một số tự nhiên.
V. Rastorguev.
M2128. Vasia đánh dấu 10 ô trên một bảng kẻ ô vuông 10×10. Phải chăng cậu ta luôn có thể cắt ra từ bảng này theo các đường kẻ dọc hoặc ngang ra được 19 hình, mỗi hình trong đó thuộc vào 4 dạng như hình vẽ, để các hình này không chứa bất kì ô nào đã được đánh dấu.
M2130. Cho ABCDEF là lục giác phẳng không lồi với AB = DE, BC = EF, CD = F A, ∠F AB = 3∠CDE, ∠BCD = 3∠EF A, ∠DEF = 3∠ABC (có những góc trong của tứ giác lớn hơn 180◦). Không có hai cạnh nào của lục giác là song song với nhau. Chứng minh rằng các đường thẳngAD, BE, CF đồng quy.
Đề ra kì này - Tạp chí Kvant số 03-2009Nhóm dịch thuật Kvant - http://mathvn.org Nhóm dịch thuật Kvant - http://mathvn.org
08 - 2009
M2131. Kí hiệu a∧b thay vì ab, ta đặt số cặp dấu ngoặc cần thiết vào biểu thức
7∧7∧7∧7∧7∧7∧7, và dễ thấy cần đúng 5 cặp . Hỏi phải chăng có hai cách sắp các cặp dấu ngoặc khác nhau mà cùng nhận một giá trị.
A. Tolbygo.
M2132. Trên mặt phẳng cho một số điểm sao cho không có 3 điểm nào trong chúng thẳng hàng. Một vài điểm trong đó được nối với nhau bằng các đoạn thẳng. Biết rằng bất kì đường thẳng nào không đi qua các điểm đa cho, luôn cắt một số chẵn các đoạn thẳng nối. Chứng tỏ rằng mỗi điểm đã cho là đầu mút của một số chẵn các đoạn thẳng.
Y. Bogdanov, G. Galperin
M2133. Một lâu đài được bao quanh bởi tường thành vòng tròn, được sắp quanh đó 9 tòa tháp canh, tại mỗi tháp canh có một hiệp sĩ bảo vệ. Cứ sau mỗi giờ, mỗi hiệp sĩ di chuyển sang tháp canh bên cạnh. Đến tối họ hoàn tất công việc canh gác. Biết rằng đó là giờ mà tại mỗi tháp canh đã có ít nhất 2 hiệp sĩ trực gác, và cũng là giờ mà có đúng 5 tháp canh, tại mỗi pháp đã chỉ có 1 hiệp sĩ từng trực gác. Chứng minh rằng đó cũng là giờ mà có một tháp canh ngoại trừ giờ đầu tiên thì hoàn toàn không có hiệp sĩ canh gác.
M. Murashkin.
M2134. 3 mặt phẳng chia một hình bình hộp chữ nhật thành 8 hình sáu mặt (mỗi mặt phẳng cắt các cặp mặt biên đối diện) . Chứng tỏ rằng nếu có một trong các hình sáu mặt này ngoại tiếp một mặt cầu mỗi hình đó đều có thể ngoại tiếp bởi một mặt cầu.
V. Proizvolov.
M2135 Một số tự nhiên được gọi là "tốt" nếu như sau khi viết vào bên trái số đó một số có tận cùng là 2009 số 0 thì thu được số chính phương. Với giá trị nào của n
thì tồn tại số "tốt" cón chữ số nhưng không phải là số chính phương.
N. Agakhanov
M2136. Chứng minh với 0≤k, l < n thì nk, nl có ước chung lớn hơn 1.
bằng ước chung lớn nhất giữa giá trị của biến lúc đó với n. Chứng minh rằng sau mỗi bước biến được tăng giá trị là 1 hoặc một số nguyên tố.