ChoHlà một không gian Hilbert thực với tích trongh., .ivà chuẩnk.ktương ứng.X là một tập con khác rỗng củaH.
Định nghĩa 2.1. ChoT : X → Hlà một toán tử không giãn,α ∈ (0, 1). Toán tửT được gọi là toán tử không giãn trung bình với hệ số α hay α−không giãn trung bình nếu tồn tại một toán tử không giãnR: X→ Hsao choT = (1−α)Id+αR.
Mệnh đề 2.1. Cho X là tập con khác rỗng của H, T : X → H là toán tử không giãn và α ∈ (0, 1). Khi đó các khẳng định sau là tương đương:
(i) Tlà toán tửα−không giãn trung bình, (ii)
1−1
α
Id+1
α
Tlà toán tử không giãn, (iii) kTx−Tyk2 ≤ kx−yk2−1−α
α k(Id−T)x−(Id−T)yk2, ∀x,y ∈ X, (iv) kTx−Tyk2+ (1−2α)kx−yk2≤2(1−α)hx−y,Tx−Tyi, ∀x,y∈ X.
Chứng minh. +) (i) ⇔ (ii) Lấy x,y ∈ X và đặt R = (1−λ)Id+λT với λ = 1
α hay
T = (1−α)Id+αRvà
kRx−Ryk2 =k(1−λ)(x−y) +λ(Tx−Ty)k2
=(1−λ)kx−yk2+λkTx−Tyk2−λ(1−λ)k(Id−T)x−(Id−T)yk2
=kx−yk2− 1
αkx−yk2+ 1
αkTx−Tyk2
− 1 α
1− 1
α
k(Id−T)x−(Id−T)yk2. Do đó
kx−yk2− kRx−Ryk2 =kx−yk2− kTx−Tyk2
−1−α
α k(Id−T)x−(Id−T)yk2. Từ biến đổi trên suy ra (i)⇔(ii).
+) Tiếp theo ta chứng minh (ii)⇔(iii). VớiRlà toán tử không giãn thì với mọix,y ∈ X ta có
kRx−Ryk2 ≤ kx−yk2. Do vậy
kx−yk2− kRx−Ryk2 ≥0⇔ kx−yk2−1−α
α k(Id−T)x−(Id−T)yk2 ≥0.
Từ đó có (iii).
+) Chứng minh (iii)⇔(iv). Ta có
k(Id−T)x−(Id−T)yk2 =kx−yk2+kTx−Tyk2−2hx−y,Tx−Tyi. Suy ra
kTx−Tyk2 ≤kx−yk2−1−α
α kx−yk2−1−α
α kTx−Tyk2 +21−α
α hx−y,Tx−Tyi, hay
αkTx−Tyk2+ (1−α)kTx−Tyk2 ≤αkx−yk2−(1−α)kx−yk2
−2(1−α)hx−y,Tx−Tyi.
Tiếp theo ta có mệnh đề về sự bảo toàn tính không giãn trung bình của toán tử.
Mệnh đề 2.2. Cho toán tử T : X → H, các hằng sốα ∈ (0, 1) vàλ ∈ 0,1
α
. Khi đó Tlà toán tửα−không giãn trung bình nếu và chỉ nếu (1−λ)Id+λTlà toán tử λα−không giãn trung bình.
Chứng minh. DoTlà toán tử không giãn trung bình nên tồn tạiRlà toán tử không giãn sao choT = (1−α)Id+αR. Khi đó
(1−λ)Id+λT =(1−λ)Id+λk(1−α)Id+αRk
=(1−λα)Id+λαR.
Doλ∈ 0,1α
nênλα∈ (0, 1). Từ đó suy ra(1−λ)Id+λTlà toán tử không giãn trung bình với hệ sốλα.
Mệnh đề 2.3. Cho X là tập con khác rỗng của không gian Hilbert thực H và(Ti)i∈I là một họ hữu hạn các toán tử. Giả sử với mỗi i ∈ I,(αi)i∈I ⊂ (0, 1) thì Ti : X → H là toán tử αi−không giãn trung bình. Khi đó với(wi)i∈I ⊂(0, 1]thỏa mãn ∑
i∈I
wi =1, đặtT = ∑
i∈I
wiTi vàα = ∑
i∈I
wiαithì Tlà toán tửα−không giãn trung bình.
Chứng minh. DoTilàαi−không giãn trung bình nên tồn tại toán tử không giãnRisao cho Ti = (1−αi)Id+αiRi với mọi i ∈ I. Đặt R = 1
α ∑
i∈I
wiαiRi. Dễ thấy R là toán tử không giãn. Ta có
T =∑
i∈I
wiTi =∑
i∈I
wi
(1−αi)Id+αiRi
=∑
i∈I
wiId−∑
i∈I
wiαiId+∑
i∈I
wiαiRi
=Id−αId+αR= (1−α)Id+αR.
Từ đó suy raTlà toán tửα−không giãn trung bình.
Như ta đã biết trong Chương 1, hợp của một số hữu hạn các toán tử không giãn cũng là toán tử không giãn. Mệnh đề dưới đây cho ta tính bảo toàn về tích của một số hữu hạn các toán tử không giãn trung bình.
ĐặtT1 = (1−α)I+αR là toán tử không giãn trung bình thì toán tử tích T = T1T2 có dạngT= (1−α)T2+αRT2. Ta có mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.4. ChoT1 : X → Hlà toán tửα1−không giãn trung bình vàT2 : X → Hlà toán tửα2−không giãn trung bình, vớiα1,α2 ∈(0, 1). Đặt
T =T1T2 và α = α1+α2−2α1α2
1−α1α2 . Khi đóα ∈ (0, 1)vàT là toán tửα−không giãn trung bình.
Chứng minh. Ta cóα1(1−α2)<(1−α2)nênα1+α2 <1+α1α2. Do đóα ∈ (0, 1). Vớix,y ∈ Xta đặt
τ = 1−α1 α1
+1−α2 α2
. Theo Mệnh đề 2.1 ta có
kT1T2x−T1T2yk2 ≤kT2x−T2yk2−1−α1
α1 k(Id−T1)T2x−(Id−T1)T2yk2
≤kx−yk2−1−α2
α2
k(Id−T2)x−(Id−T2)yk2
−1−α1
α1
k(Id−T1)T2x−(Id−T1)T2yk2. Hơn nữa, với mọix,y ∈ Hvàα ∈ Rthì
kαx+ (1−α)yk2+α(1−α)kx−yk2=αkxk2+ (1−α)kyk2. Do đó ta có
1−α1 τα1
k(Id−T1)T2x−(Id−T1)T2yk2+1−α1 τα2
k(Id−T2)x−(Id−T2)yk2
=
1−α1 τα1
[(Id−T1)T2x−(Id−T1)T2y] +1−α2 τα2
((Id−T2)x−(Id−T2)y)
2
+(1−α1)(1−α2) τ2α1α2
k(x−y)−(T1T2x−T1T2y)k2
≥(1−α1)(1−α2) τ2α1α2
k(Id−T1T2)x−(Id−T1T2)yk2. Cuối cùng ta có
kT1T2x−T1T2yk2 ≤kx−yk2− (1−α1)(1−α2) τα1α2
k(Id−T1T2)x−(Id−T1T2)yk2
=kx−yk2−1−α1−α2+α1α2
α1+α2−2α1α2
k(Id−T1T2)x−(Id−T1T2)yk2
=kx−yk2−1−α
α k(Id−T1T2)x−(Id−T1T2)yk2. Theo Mệnh đề2.1, suy raTlà toán tửα−không giãn trung bình.
Tiếp theo ta có kết quả cho phép hợp củamtoán tử không giãn trung bình vớim ≥2 là một số nguyên dương.
Mệnh đề 2.5. Cho X là tập con khác rỗng của không gian Hilbert thựcHvà cho số nguyên dươngm≥2. Đặt
φ: (0, 1)m →(0, 1); (α1, . . . ,αm) 7→ 1
1+ m 1
i∑=1
αi
1−αi
.
Với mỗii ∈ {1, . . . ,m}thì αi ∈ (0, 1)vàTi : X → X là toán tửαi−không giãn trung bình.
Đặt
T =T1ã ã ãTm và α =φ(α1, . . . ,αm). Khi đóTlà toán tửα−không giãn trung bình.
Chứng minh. Ta chứng minh bằng phép quy nạp theok ∈ {2, . . . ,m}. Vớik = 2, theo Mệnh đề2.4và lưu ý hệ sốαtrong Mệnh đề 2.3 có thể được viết lại thành
α = 1
1+ 1
α1
1−α1 + α2 1−α2
.
Do đó, với trường hợpk=2thì mệnh đề đúng. Ta đặt βm =h1+
∑m i=1
αi
(1−αi)−1 i−1
.
Giả thiết mệnh đề đỳng vớik=m−1, tức làT0:= T1ã ã ãTm−1là toỏn tửβm−1−khụng gión trung bỡnh. Ta cần chứng minh T = T1ã ã ãTm là toỏn tử βm−khụng gión trung bình. Thật vậy theo Mệnh đề2.3thì toán tửT =T0Tmlà toán tử không giãn trung bình với hệ số
1
1+ 1
βm−1
1−βm−1 + αm 1−αm
= 1
1+ 1
m−1 i∑=1
αi 1−αi
+ αm 1−αm
= 1
1+ m 1
i∑=1
αi
1−αi
= βm.
Vậy định lý được chứng minh.
Tiếp theo là một số mệnh đề về mối quan hệ giữa toán tử không giãn, toán tử không giãn vững, toán tử đơn điệu mạnh ngược và toán tử không giãn trung bình.
Mệnh đề 2.6. Cho X là tập con khác rỗng của không gian Hilbert thực H và một số thực dương β. Khi đó, nếu T : X → H là toán tửβ−đơn điệu mạnh ngược thì vớiγ ∈ (0, 2β) ta có Id−γTlà toán tử 2βγ −không giãn trung bình.
Chứng minh. Ta có T là toán tửβ−đơn điệu mạnh ngược nên βT là toán tử 12−không giãn trung bình. Theo định nghĩa, tồn tại toán tử không giãnRsao choβT = 12Id+12R.
Suy ra
Id−γT = Id− γ
2βId− γ 2βR =
1− γ
2β
Id+ γ
2β(−R).
VìRlà toán tử không giãn nên−Rcũng là toán tử không giãn. Vậy Id−γTlà toán tử
γ
2β−không giãn trung bình.
Mệnh đề 2.7. NếuT : X → Hlà một toán tửα−không giãn trung bình thì với mọi x ∈ X\ FixTvà y ∈FixTthìkTx−yk2<kx−yk2. Do đó,Tlà toán tử tựa không giãn chặt. Hơn nữa, nếuα ∈ 0,12i
thìTlà toán tử không giãn vững.
Chứng minh. Từ Mệnh đề 2.1 ta có kTx−Tyk2≤ kx−yk2−1−α
α k(Id−T)x−(Id−T)yk2, ∀x,y ∈ X.
Vớix ∈ X\FixTvày ∈FixT, ta được
kTx−yk2 <kx−yk2.
Do đóTlà một toán tử không giãn chặt. Mặt khác, cũng theo Mệnh đề 2.1 thì kx−yk2≥1−α
α k(Id−T)x−(Id−T)yk2+kTx−Tyk2
=kTx−Tyk2+1
αk(Id−T)x−(Id−T)yk2− k(Id−T)x−(Id−T)yk2
≥kTx−Tyk2+2k(Id−T)x−(Id−T)yk2− k(Id−T)x−(Id−T)yk2
=kTx−Tyk2+k(Id−T)x−(Id−T)yk2, hay
kTx−Tyk2+k(Id−T)x−(Id−T)yk2 ≤ kx−yk2. Do đó,Tlà toán tử không giãn vững.
Xét toán tửTvàId−T, ta có hệ thức liên hệ
kx−yk2− kTx−Tyk2 =2h(Id−T)x−(Id−T)y,x−yi − k(Id−T)x−(Id−T)yk2. Từ đó dễ dàng thấy rằng T là toán tử không giãn nếu và chỉ nếu Id−T là toán tử
1
2−đơn điệu mạnh ngược.
Mệnh đề 2.8. Toán tửT : X → Hlà toán tử không giãn trung bình nếu và chỉ nếu Id−Tlà toỏn tửà−đơn điệu mạnh ngược vớià > 12.
Chứng minh. Giả sử T là toán tử α−không giãn trung bình. Theo định nghĩa, tồn tại toán tử không giãn N sao cho T = (1−α)Id+αN hay Id−T = α(Id−N). Mặt khác, do N là toán tử không giãn nên Id−N là toán tử 12−đơn điệu mạnh ngược và α(Id−N)là toán tử 2α1 −đơn điệu mạnh ngược. Dễ thấy doα ∈ (0, 1)nên 2α1 >1.
Ngược lại, giả sử Id−T là toỏn tửà−đơn điệu mạnh ngược vớià > 12. Đặtα = 2à1 vàT = (1−α)Id+αN, với N = Id− 1
α(Id−T). Suy ra Id−N = 1α(Id−T) là toán tửαà−đơn điệu mạnh ngược hay 12−đơn điệu mạnh ngược. Do đúNlà toỏn tử khụng giãn thìTlà toán tử không giãn trung bình.
Mệnh đề 2.9. ChoT: X→ Hlà toán tử không giãn trung bình. Giả sửT = (1−α)A+αN vớiα ∈ (0, 1). Khi đó nếuAlà toán tử không giãn trung bình và Nlà toán tử không giãn thì T là toán tử không giãn trung bình.
Chứng minh. Đặt A = (1−β)Id+βM với β ∈ (0, 1) và M là toán tử không giãn.
Đặt1−γ = (1−α)(1−β). Khi đó T = (1−γ)Id+γ[(1−α)βγ−1M+αγ−1N]. Do K := (1−α)βγ−1M+αγ−1N là tổ hợp lồi của hai toán tử không giãn nên K cũng là toán tử không giãn. VậyTlà toán tử không giãn trung bình.
Mệnh đề 2.10. ChoT1, T2 là các toán tử không giãn trung bình và FixT1∩ FixT2 6= ∅. Khi đó FixT1∩FixT2 =FixT1T2 =FixT2T1.
Chứng minh. Với T1,T2là các toán tử không giãn trung bình nên theo Mệnh đề 2.4 thì T1T2vàT2T1cũng là toán tử không giãn trung bình. Ta sẽ chứng minh FixT1∩FixT2 = FixT2T1.Trường hợp FixT1∩FixT2 =FixT1T2là tương tự.
Giả sử Id−T1là toỏn tửà−đơn điệu mạnh ngược và Id−T2là toỏn tửν−đơn điệu mạnh ngược vớià,ν ∈ (12,+∞). Khi đú với mọiz ∈ FixT1∩Fix T2⊂FixT2T1 6=∅ và với mọix∈FixT2T2ta có
h(Id−T1)z−(Id−T1)x,z−xi ≥ àk(Id−T1)z−(Id−T1)xk
⇔ hT1x−x,z−xi ≥ àkT1x−xk
⇔ − 1
2{kAx−x−(z−x)k2− kAx−xk2− kz−xk2} ≥àkT1x−xk2
⇔kx−zk2 ≥ kz−T1xk2+ (2à−1)kT1x−xk2. Mặt khác
kz−T1xk2≥ kz−T2T1xk2+ (2ν−1)kT2T1x−T1xk2. Suy ra
kx−zk2 ≥ kz−xk2+ (2ν−1)kT2T1x−T1xk2+ (2à−1)kT1x−xk2.
Từ điều kiện củaà,νta đượckT1x−xk =0vàkT2T1x−T1xk=kT2x−xk =0.Do đú T1x =xvàT2x =xhayx∈FixT1∩ FixT2.
Vậy mệnh đề được chứng minh.
Mệnh đề 2.11. ChoXlà tập con khác rỗng của không gian Hilbert thựcH,mlà một số nguyên dương và I = {1, . . . ,m}. Giả sử (Ti)i∈I là một họ các toán tử không giãn trung bình từ X vàoXsao cho T
i∈I
FixTi 6=∅. ĐặtT:=T1ã ã ãTm. Khi đú FixT = T
i∈I
FixTi.
Chứng minh. Theo Mệnh đề 2.5 thì T là toán tử không giãn trung bình. Ta có T
i∈I
Fix Ti ⊂FixT. Ta sẽ chứng minh bao hàm thức ngược lại. Thật vậy, vớiTilà toán tử không gión trung bỡnh ta giả sử Id−Tilàài−đơn điệu mạnh ngược với mọii∈ I.
Lấyx ∈FixTvàz ∈ T
i∈I
FixTi ⊂FixTta có
h(Id−Ti)z−(Id−Ti)x,z−xi ≥ àik(Id−Ti)z−(Id−Ti)xk
⇔ hTix−x,z−xi ≥ àikTix−xk
⇔1 m∑
i∈I
hTix−x,z−xi ≥ 1 m∑
i∈I
àikTix−xk2.
Do đó
0=h(Id−T)x,x−zi ≥ 1 m∑
i∈I
àikTix−xk2. Suy rax ∈FixTivới mọii∈ I. Mệnh đề được chứng minh.
Ta đã biết nếuTlà một toán tử co trong không gian Hilbert thựcHvàx ∈ Hthì dãy quỹ đạo{Tkx,k = 0, 1, . . .} sẽ hội tụ đến điểm bất động của toán tử T. Còn nếu N là toán tử không giãn trong không gian Hilbert thựcH thì dãy{Nkx}chưa chắc đã hội tụ. Tuy nhiên trong trường hợpTlà toán tử không giãn trung bình, ta có định lý sau.
Định lý 2.1. ChoT : X → H là toán tửα−không giãn trung bình trong không gian Hilbert thựcHthỏa mãn FixT 6=∅.Khi đó, dãy{Tkx}hội tụ yếu đến một điểm bất động của toán tử T với mọix ∈ H.
Chứng minh. Để đơn giản ta chứng minh định lý trong trường hợp không gian thực HilbertH hữu hạn chiều. Khi đó, ta có sự hội tụ yếu của dãy cũng là sự hội tụ mạnh của dãy.
Giả sử N là một toán tử không giãn, zlà một điểm bất động của N vàα ∈ (0, 1). Khi đóT = (1−α)Id+αNlà toán tửα−không giãn trung bình. Ta xét phép lặp
xk+1= Txk = (1−α)xk+αNxk. DoNz=znênTz =zhay(Id−T)z =0. ĐặtG = Id−Tta có
kz−xkk2− kTz−xk+1k2 =2DGz−Gxk,z−xkE
− kGz−Gxkk2. Mặt khác ta cóGlà toán tử 2α1 −đơn điệu mạnh ngược nên
kz−xkk2− kz−xk+1k2≥ 1
α −1
kxk−xk+1k2.
Do đó ta có dãy{xk} là dãy bị chặn, dãy số{kz−xkk}đơn điệu giảm và bị chặn dưới nên có giới hạn hữu hạn. Suy ra dãy{kxk−xk+1k}hội tụ về0.
Đặtx∗ là điểm giới hạn của{xk}, ta cóTx∗ =x∗.