ChoHlà một không gian Hilbert thực với tích trongh., .ivà chuẩnk.ktương ứng.
Định nghĩa 2.2. ChoC⊆ Hlà một tập con khác rỗng vàx∈ H. Nếu tồn tạiy ∈ Cthỏa mãn ky−xk ≤ kz−xk
với mọi z ∈ C thì y được gọi là phần tử chiếu mêtric của x lên C, được kí hiệu là PCx hay PCx = argmin{kz−xk : z ∈ C}. Véctơ s = PCx−x được gọi là hình chiếu của x lên C.
Nếu PCxtồn tại và xác định duy nhất với mọix ∈ H thì PC : H → Cđược gọi là phép chiếu mêtric lênC.
Từ định nghĩa ta thấy rằng vớiC ⊆ Hvà nếu x ∈ CthìPCx = x. Nếu x ∈/ Cvà tồn tạiPCxthìPCx ∈bdC. Thật vậy, nếuPCx ∈intCthì tồn tại hình cầuB(PCx,e)⊂Cvới e >0. Khi đó xét điểm
z :=x+
1− e
kPCx−xk
(PCx−x).
Dễ thấyz ∈ B(PCx,e) ⊂Cvìkz−PCxk =evàkz−xk <kPCx−xk. Điều này trái với định nghĩa củaPCx. Vậy PCx∈ bdC.
Tuy nhiên từ định nghĩa không suy ra được tính tồn tại và xác định duy nhất của toán tử chiếu PCxvới x ∈ HvàC ⊆ H. Ta thấy, nếuC là một tập compact thì toán tử PCx tồn tại. Ví dụ như a,b ∈ H là điểm chiếu mêtric của điểm x := a+b
2 của đoạn [a,b]trên tậpC ={a,b}. Do đó, một cách tự nhiên với giả thiết tính lồi củaCsẽ suy ra được tính xác đinh duy nhất củaPCx với bất kì x ∈ H. Mặt khác, PCx ∈bdC nên giả thiết tính đóng củaCcho ta tính tồn tại củaPCx với x ∈ H bất kì. Từ đó, ta có định lý về sự tồn tại và xác định duy nhất của toán tử chiếu mêtric.
Định lý 2.2. ChoC ⊆ H là một tập con lồi đóng và khác rỗng. Khi đó với mỗix ∈ Htồn tại phép chiếu mêtricPCxlênCvà phép chiếu này được xác định duy nhất.
Chứng minh. Giả sửx =0, ta đặtd :=inf{kyk : y ∈ C}và dãy {yk}∞k=0 ⊆Cthỏa mãn kykk → d. Ta sẽ chứng minh {yk} là dãy Cauchy. Thật vậy, theo định nghĩainf, ta có vớie >0,k0≥0thìkykk2 ≤d2+e vớik ≥k0.
Mặt khác, doClà tập lồi nên vớik,l ≥k0thì 12yk+12yl ∈ C.
Hơn nữa, 12kyk+ylk ≥ dnên theo quy tắc hình bình hành ta có kyk−ylk2=2kykk2+2kylk2− kyk+ylk2
≤2d2+2d2+ e 2 +e
2−4d2 =e.
Suy ra {yk} là dãy Cauchy. Do H là không gian đủ nên {yk} hội tụ đến một điểm y ∈ H. Hơn nữa do dãy{yk} ⊂ C vàClà tập đóng nêny ∈ C. Theo tính liên tục của chuẩn thìd =kyk. Do vậyPC0=y.
Lấyy1 ∈ Cmàky1k=d.Theo tính lồi củaCthì 12y+12y1∈ C. Ta có d≤ k1
2y+1
2y1k ≤ 1
2kyk+1
2ky1k=d.
Do đóky1+yk=2d. Mặt khác, theo quy tắc hình bình hành thì
ky−y1k2=2ky1k2+2kyk2− ky+y1k2 =2d2+2d2−4d2=0.
Suy ray =y1. Từ đó, ta cóPC0tồn tại và xác định duy nhất.
VìClà tập lồi đóng nênC−x ={z =y−x, y∈ C}cũng là tập lồi đóng vàPC−x0tồn tại và xác định duy nhất. Do vậy, với mỗix ∈ HthìPCx =x+PC0.
Định lý được chứng minh.
Tiếp theo là một vài tính chất đặc trưng của phép chiếu mêtric.
Mệnh đề 2.12. Cho x ∈ H, C ⊆ H là một tập con đóng khác rỗng và y ∈ C. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương:
(i) y =PCx,
(ii) hx−y,z−yi ≤ 0với mọiz∈ C,
(iii) hz−x,y−xi ≥ ky−xk2với mọiz ∈ C,
(iv) kz−yk2 ≤ kz−xk2− ky−xk2với mọiz ∈C.
Chứng minh. +) (i)⇔ (ii) Giả sử y = PCx,z ∈ C ta đặt zλ = y+λ(z−y), λ ∈ (0, 1). DoC là tập lồi nên zλ ∈ C. Mặt khác theo định nghĩa của phần tử chiếu mêtric ta có
kx−yk2 ≤ kx−zλk2 =kx−y−λ(z−y)k2
=kx−yk2+λ2kz−yk2−2λhx−y,z−yi, hay
2λhx−y,z−yi ≤λ2kz−yk2. Doλ ∈(0, 1)nên
hx−y,z−yi ≤ λ
2kz−yk2. Choλ→0, ta đượchx−y,z−yi ≤0.
Tiếp theo ta giả thiết có (ii). Khi đó
kz−xk2 =kz−y+y−xk2 =kz−yk2+2hz−y,y−xi
=kz−yk2+kx−yk2−22hz−y,y−xi
≥kx−yk2. Do vậy với mọiz∈ Cthì
ky−xk2 ≤ kz−xk2. Theo định nghĩa thìy=PCx.
+) (ii)⇔(iii) Ta có
hz−x,y−xi ≥ ky−xk2 ⇔ hz−x−y+x,y−xi ≥0
⇔ hz−y,y−xi ≥ 0.
Từ biến đổi trên ta suy ra (ii)⇔(iii).
+) (ii)⇔(iv) Ta có
kz−yk2+ky−xk2 =kz−xk2−2hz−y,y−xi.
Do đó,kz−yk2+ky−xk2 ≤ kz−xk2nếu và chỉ nếuhx−y,z−yi ≤0.
Vậy mệnh đề được chứng minh.
Tiếp theo ta xét một số tính chất sâu hơn của toán tử chiếu liên hệ với toán tử không giãn, toán tử không giãn vững, toán tử không giãn trung bình.
Mệnh đề 2.13. ChoC ⊆ Hlà một tập con lồi đóng và khác rỗng.PC là toán tử chiếu mêtric lênC. Khi đóPClà toán tử
(i) không giãn vững, (ii) không giãn trung bình.
Chứng minh. (i) Cố địnhx,y∈ Hta có
(hPCx−PCy,PCx−xi ≤0, hPCx−PCy,y−PCyi ≤0.
Do vậy,
hPCx−PCy,y−PCy−x+PCxi ≤0⇔ hPCx−PCy,PCx−PCy−(x−y)i ≤0
⇔ hPCx−PCy,PCx−PCyi ≤ hPCx−PCy,x−yi
⇔kPCx−PCyk2 ≤ hx−y,PCx−PCyi. Từ đó ta suy raPClà toán tử không giãn vững.
(ii) DoPC là toán tử không giãn vững nên theo Mệnh đề1.5thìN :=2PC−Id là toán tử không giãn. Khi đó,PC = 12(Id+N)là toán tử 12−không giãn trung bình.
Mệnh đề 2.14. Cho T1 : H → H và T2 : H → H là các toán tử không giãn vững. Đặt T = T1(2T2−Id) +Id−T2. Khi đó nếuT1là toán tử chiếu mêtric lên không gian con affine đóng củaHthì ta có FixT ={x∈ HT1x =T2x}.
Chứng minh. Giả sửT1 =PC vớiClà không gian con đóng affine củaHvàx ∈ H. Khi đóT =PC(2T2−Id) +Id−T2.
Lấyx ∈FixT, ta có
x=PC(2T2x−x) +x−T2x
⇔x=PC(2T2x+ (1−2)x) +x−T2x
⇔T2x =PC(2T2x) + (1−2)PCx∈ C, hay
PC(T2x) =2PC(T2x) + (1−2)PCx ⇔T2x =PCx.
Từ đó suy ra FixT ={x ∈ HT2x =T1x}.
Hệ quả 2.1. Cho T1là toán tử chiếu trên không gian con tuyến tính của H, T2 : H → Hlà toán tử không giãn vững vàT = T1T2+ (Id−T1)(Id−T2). Khi đóTlà toán tử không giãn vững và FixT ={x∈ HT1x =T2x}.
Chứng minh. Theo Mệnh đề 2.13, T1 là toán tử không giãn vững. Ta có T = T1T2+ (Id−T1)(Id−T2) = T1(2T2−Id) +Id−T2nên theo Mệnh đề 2.14 suy raTlà toán tử không giãn vững và FixT={x∈ HT1x= T2x}.