CHƯƠNG 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT TÍNH TOÁN TÁC ĐỘNG CỦA NHIỆT THỦY HÓA
2.5. Cơ sở phân tích bằng phần tử hữu hạn
Phương pháp phần tử hữu hạn có từ rất sớm, xuất hiện từ năm 1940 và phát triển mạnh vào những năm 60 của thế kỉ này. Được lập trình trên máy tính nên cho kết quả có tính chính xác cao, phương pháp phân tử hữu hạn được sử dung rộng rãi trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật công trình, cơ khí, truyền nhiệt, thấm, trường điện thế, điện từ, cơ chất lỏng.
Với phương pháp này phần tử liên tục sẽ được xem là tập hợp các phần tử hữu hạn và kết nối nối với nhau tại một số vị trí (nút). Các nút thường nằm ở vị trí biên các phần tử liền kề nhau. Sự biến thiên thực sự của biến trường (ứng suất, chuyển vị, nhiệt độ, áp suất…) bên trong vật thể (môi trường liên tục) chưa biết trước, nên biến thiên của biến trường bên trong một phần tử hữu hạn được giả thiết xấp xỉ với một hàm đơn giản. Hàm xấp xỉ (hay hàm nội suy) được xác định theo biến trường tại các nút. Khi phương trình của biến trường được viết cho toàn bộ miền tính toán, các ẩn số mới sẽ là giá trị tại các nút của biến trường. Bằng cách giải hệ phương trình này ta xác định
được giá trị của biến trường tại các nút và từ hàm nội suy đã giả thuyết ta xác đinh được sự biến thiên của biến trường trong miền tính toán.
Cơ sở của phương pháp này là làm rời rạc hóa miền xác định của bài toán, bằng cách chia nó thành nhiều miền con (phần tử). Các phần tử này được liên kết với nhau tại các điểm nút chung. Trong phạm vi của mỗi phần tử nghiệm được chọn là một hàm số nào đó được xác định thông qua các giá trị chưa biết tại các điểm nút của phần tử gọi là hàm xấp xỉ thoả mãn điều kiện cân bằng của phần tử. Tập tất cả các phần tử có chú ý đến điều kiện liên tục của sự biến dạng và chuyển vị tại các điểm nút liên kết giữa các phần tử. Kết quả dẫn đến một hệ phương trình đại số tuyến tính mà ẩn số chính là các giá trị của hàm xấp xỉ tại các điểm nút. giải hệ phương trình này sẽ tìm được các giá trị của hàm xấp xỉ tại các điểm nút của mỗi phần tử, nhờ đó hàm xấp xỉ hoàn toàn được xác định trên mỗi một phần tử.
Nói như vậy, để tính toán một kết cấu với cấu tạo bất kỳ thì ta chia kết cấu thành một số hữu hạn các phần tử riêng lẻ và nối với nhau bởi một số hữu hạn các điểm nút riêng lẻ.
Sự biến dạng tổng thể của kết cấu thông qua biến dạng của lưới nút hay tập hợp các chuyển vị của từng nút riêng biệt .Tính liên tục của các cấu kiện và sự liên kết giữa các cấu kiện với nhau thể hiện qua sự liên kết giữa các phần tử thông qua các nút. Liên kết giữa kết cấu và nền được thể hiện bởi điều kiện biên của các nút hay độ tự do của các nút. Các tác động đều thông qua và quy đổi về các nút. Việc chia lưới phần tử và nút , mô tả liên kết, các điều kiện biên cần tương thích với kết cấu thực tế. Nếu đảm bảo được điều này thì mô hình PTHH sẽ làm việc giống hoặc gần giống kết cấu thực tế. Việc tính toán mô hình PTHH là trước hết phân tích trạng thái làm việc tổng thể của kết cấu từ đó theo điều kiện liên kết tìm được trạng thái làm việc của từng PTHH.
Trạng thái làm việc của từng phần tử phụ thuộc vào quan hệ ứng suất – biến dạng và cũng là quan hệ giữa nội lực và chuyển vị nút của phần tử. Quan hệ đó biểu hiện ở độ cứng của phần tử. Do vậy từ điều kiện cân bằng giữa các nút ta thiết lập được phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các chuyển vị nút với các lực tác dụng tại nút. Trong hệ phương trình biểu diễn quan hệ sẽ có những thành phần đã biết như lực nút hay chuyển vị nút , từ đó tìm ra những thành phần còn lại chưa biết.
Vấn đề quan trọng trong việc giải bài toán bằng phương pháp phần tử hữu hạn là xây dựng ma trận độ cứng cho phần tử. Từ đó lắp ghép các phương trình phần tử dựa vào các điều kiện liên tục, điều kiện biên để tạo phương trình cho hệ và giải các hệ phương trình này [12]. Các bước tiến hành chung của phương pháp phần tử hữu hạn như sau:
Bước 1: Rời rạc hóa kết cấu: miền tính toán được chia nhỏ thành E miền con hoặc phần tử các miền con liên kết với nhau tại điểm nút nhằm mục đích xây dựng lưới phần tử hữu hạn, xây dựng hệ tọa độ địa phương và toàn cục, xây dựng số nút và số phần tử, và xác định tính chất hình học cho bài toán.
Bước 2: Chọn một hàm nội suy hay một mô hình chuyển vị thích hợp.
Mô hình nên đơn giản (thường có mode đa thức) nhưng phải thỏa mãn một số yêu cầu về hội tụ.
Mô hình chuyển vị bên trong phần tử được giả thiết là:
(2.9)
Trong đó [N] là ma trận hàm hình dạng, là vecto chuyển vị nút của phần tử (e). Xây dựng ma trận độ cứng và vecto tải của từng phần tử bằng cách sử dụng nguyên lý thế năng cực tiểu. Phiến hàm thế năng của toàn bộ vật thể (chỉ xét lực thể tích và lực mặt) có thể được viết như sau:
(2.10) Trong đó là thế năng của phần tử (e) được xác định theo:
(2.11) Trong đó là thể tích của phần tử (e); là phần diện tích bề mặt của phần tử (e) có lực phân bố tác dụng lên một đơn vị diện tích bề mặt; và có là lực phân bố tác dụng lên một đơn vị thể tích vật thể. Vectơ biến mode có thể được biểu diễn theo vectơ chuyển vị nút bằng cách lấy đạo hàm (2.9) một cách thích hợp và ta được:
(2.12)
Trong đó: (2.13)
Ứng suất có thể được xác định từ biến mode như sau:
(2.14)
Lưu ý rằng để tổng quát cả ba thành phần chuyển vị, sáu ứng suất và sáu biến mode được xem xét trong các phương trình trên.Thay các phương trình (2.9) và (2.12) vào phương trình (2.11) ta được thế năng của phần tử như sau:
(2.15) Trong các phương trình (2.11) và (2.15) chỉ xét lực cắt và lực thể tích. Nhưng tổng quát còn có một số ngoại lực tập trung tác dụng vào các nút khác nhau. Nếu là vectơ lực nút (tác dụng theo phương vectơ chuyển vị nút của toàn bộ kết cấu) tổng thế năng của kết cấu có thể được viết như sau:
(2.16)
Trong đó là vectơ chuyển vị nút của toàn bộ công
trình và M là tổng số chuyển vị nút hay bậc tự do.
Cần lưu ý rằng mỗi thành phần của vectơ , e =1, 2, 3, 4…..E, xuất hiện trong vectơ chuyển vị nút chung của toàn bộ công trình. Một cách tương ứng, của mỗi phần tử có thể thay thế bởi nếu các ma trận phần tử còn lại và các vectơ (như ) trong biểu thức của được mở rộng bằng cách thêm các giá trị zero tại các nơi cần thiết. Nói cách khác dấu tổng trong phương trình (2.10) muốn nói việc mở rộng các ma trận phần tử thành kích thước của toàn bộ công trình và cộng các giá trị xếp chồng nhau. Như vậy phương trình (2.9) và (2.10) cho ta:
(2.17) Phương trình (2.11) biểu diễn thế năng của toàn bộ kết cấu theo chuyển vị nút . Trạng thái cân bằng của kết cấu có thể được xác định bằng cách giải các điều kiện cần thiết sau (để cực tiểu thế năng):
(2.18)
Hay
(2.19)
=> (2.20)
Trong đó là ma trận độ cứng phần tử
là ma trận độ cứng của toàn bộ cấu kiện là vectơ chuyển vị nút của toàn bộ cấu kiện là vectơ tải tập trung
Bước 3: Tập hợp các phương trình phần tử để được hệ phương trình cần bằng tổng thể cho hệ:
Xây dựng điều kiện liên tục giữa các biên phần tử với các biến cơ sở (quan hệ giữa bậc tự do địa phương và bậc tự do toàn cục, thiết lập quan hệ kết nối giữa các phần tử) bằng quan hệ giữa nút địa phương với nút toàn cục.
Xây dựng điều kiện cân bằng.
Lắp ghép các phương trình phần tử dựa vào các bước trên, kết quả là hệ thống phương trình : . Trong đó ma trận độ cứng của toàn hệ là
Và vectơ tải nút tổng thể là:
là vectơ lực nút phần tử do biến mode ban đầu gây ra là vectơ lực nút phần tử do lực bề mặt gây ra
là vectơ lực nút phần tử do lực bề khối gây ra
là vectơ lực nút tổng cộng
Bước 4: Dựa vào bài toán các điều kiện biên:
Xác định bậc tự do toàn cục của biến sơ cấp.
Xác định bậc tự do toàn cục của biến thứ cấp.
Giải tìm giá trị của ẩn số chuyển vị nút sau khi đã kết hợp điều kiện biên để được hệ phương trình có mode:
Đối với bài toán tuyến tính, hệ phương trình có thể giải một cách dễ dàng.
Bước 5: Tính toán ứng suất và biến mode của phần tử
Giải hệ phương trình đã lắp ghép, phân tích và đánh giá kết quả:
Tính các đại lượng dẫn xuất.
Tính sai số và tốc độ hội tụ bài toán.
So sánh với lời giải giải tích nếu có.
CHƯƠNG 3