Mô hình với biến đầu ra là nồng độ sản phẩm 2.5.1
Mô hình không gian trạng thái của tháp T-2101 với 33 biến trạng thái đƣợc viết theo tài liệu [1 ,5] nhƣ sau:
{
Với [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
Tuyến tính hóa xung quanh điểm làm việc để đưa phương trình trạng thái về dạng:
Áp dụng phép triển khai Taylor để tuyến tính hóa phương trình cân bằng pha
̅ Các phương trình cân bằng thành phần viết cho cấu tử dễ bay hơi:
- Nồi tái đun:
̇ Tuyến tính hóa phương trình:
̇
̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅
̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅
- Từ đĩa
̇ Tuyến tính hóa phương trình (2.9):
̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅
̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅
̅ ̅ - Đĩa cấp liệu:
̇ Tuyến tính hóa phương trình (2.11):
̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅
̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅
- Từ đĩa
̇ Tuyến tính hóa phương trình (2.13):
̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ (2.14)
- Thiết bị ngƣng tụ
Tuyến tính hóa phương trình (2.15):
̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅
Từ các phương trình các phương trình (2.6), (2.8), (2.10), (2.12), (2.14), (2.16), ta có ma trận A, B, E với :
Các phần tử ma trận A:
̅ ̅ ̅ ̅
̅ ̅
Từ đĩa thứ 2 đến đĩa thứ 11:
̅
̅ ̅ ̅
̅ ̅
̅
̃ ̅ ̅
̅
Từ đĩa thứ 11 đến đĩa thứ 32:
̅
̅ ̅
̅
̅
̅
- Các phần tử của ma trận B:
̅ ̅
̅ ̅
̅ ̅
̅ ̅
̅ ̅
̅ ̅
̅ ̅
̅ ̅
̅ ̅ - Các phần tử của ma trận E:
̅ ̅
̅ ̅
̅ ̅
̅
Các tham số cần để xác định đƣợc ma trận A, B, E bao gồm các số liệu vận hành L, D, V, B, và các giá trị xác lập của nồng độ thành phẩm sản phẩm đỉnh tại mỗi đĩa. Các giá trị xác lập này đƣợc cho trong bảng 2-5.
Bảng 2-5 Giá trị thành phần cấu tử nhẹ tại trạng thái xác lập [phụ lục 3]
Đĩa Đĩa Đĩa Đĩa
1 0,014 11 0,1309 21 0,1358 31 0,9935
2 0,015 12 0,1312 22 0,1411 32 0,9948
3 0,015 13 0,1315 23 0,1594 33 0,9957
4 0,016 14 0,1320 24 0,2193
5 0,0163 15 0,1325 25 0,3786
6 0,0173 16 0,1329 26 0,6428
7 0,0245 17 0,1342 27 0,8615
8 0,0262 18 0,1338 28 0,9605
9 0,1283 19 0,1346 29 0,9816
10 0,1307 20 0,1348 30 0,9931
Từ kết quả chương trình tính toán ma trận A, B, E, G [phụ lục 2], ta dễ dàng nhận thấy để có thể điều khiển được nhiệt độ của tháp thì cần phải điều khiển được lưu lượng hồi lưu đáy tháp thông qua điều khiển lượng hơi cấp nhiệt đáy tháp và lưu lượng hồi lưu đỉnh tháp.
Dựa trên dữ liệu thiết kế của tháp T-2101 thì dòng lưu lượng hồi lưu đỉnh tháp sẽ được đưa về đĩa số 6 và dòng lưu lượng hồi lưu đáy tháp sẽ quay về tháp ở đĩa số 30. Để đơn giản cho mô hình toán học của tháp T-2101với đầu ra là nồng độ sản phẩm ta chọn cặp biến giá trị của ma trận GLV ứng với vị trí đĩa số 6 và 30, do đó ta có:
[ ]
Tương tự ta có mô hình của nhiễu với đầu ra là nồng độ sản phẩm sẽ là:
[ ] Mô hình với đầu ra là nhiệt độ đáy tháp
2.5.2
Với điều khiển phản hồi, một mô hình chính xác của đối tƣợng là không cần thiết, vì thế mô hình tuyến tính thường được sử dụng thay vì mô hình phi tuyến trong việc tính toán thiết kế bộ điều khiển cho tháp chƣng cất.
Để khảo sát ảnh hưởng của các yếu tố như sự thay đổi lưu lượng hay việc điều khiển mức tới nhiệt độ đỉnh và đáy tháp, ta sử dụng các phương trình cân bằng năng lượng và phương trình cân bằng vật chất [1, 5].
Đĩa thứ i: Phương trình cân bằng năng lượng
̇
̇ Trong đó: ∑ (∑ )
: Nhiệt dung riêng của cấu tử i trên đĩa j (J/kmolK)
: Phần mol của cấu tử i trong hỗn hợp tại đĩa j. Với (∑ ) Tuyến tính hóa phương trình:
̅( ) ( ̅ ) ̅( ) ( ̅ ̅)
̅ ( ̅ ) ̅ ( ̅ ̅) ( ̅ ̅)
Đĩa cấp liệu i=12:
( ) ( )
̇ [ ]
Tuyến tính hóa
̅( ) ( ̅ ̅ ) ̅( )
( ̅ ̅ ̅ ̅ )
̅ ( ̅ ̅ ) ̅ ( ̅ ̅ ) ( ̅ ̅ ) ̅
Bình ngƣng: i=NT
Với:
̇
̅( ) ( ̅ ̅ ) ̅ ̅
( ̅ ̅ ) ̅ ( ̅ ̅ )
Nồi tái đun: i=1
̇ ( ) ( )
̅( ) ( ) ̅ ̅( ) ( ̅ ̅ )
̅ [ ̅ ̅( )] ̅ ( ̅ ̅ ) ( ) ̅
Tuyến tính hóa mô hình: (33 biến trạng thái) {
( ) ( )
Ma trận A’:
[ ̅ ̅( )]
̅
Từ đĩa thứ 2 đến đĩa thứ 11:
̅
[ ̅ ̅ ]
̅
Tại đĩa cấp liệu i=12
̅
[ ̅ ̅ ̅ ]
̅
Từ đĩa thứ 13 đến đĩa thứ 33:
̅
̅ ̅
Ma trận B’:
̅ ̅
( ) ̅
̅ ̅
̅ ̅
̅
̅ ̅
Ma trận E’:
̅
[ ]
Theo số liệu vận hành của tháp T-2101 ta có giá trị nhiệt độ tại mỗi đĩa đƣợc trình bày ở bảng 2-6 nhƣ sau:
Bảng 2-6 Giá trị nhiệt độ tháp tại trạng thái xác lập [phụ lục 3]
Đĩa T( ) Đĩa T( ) Đĩa T( )
1 326,1 12 343 23 365
2 327,79 13 345 24 366,9
3 329,48 14 347 25 368,8
4 331,17 15 349 26 370,7
5 332,86 16 351 27 372,6
6 334,55 17 353 28 374,5
7 336,24 18 355 29 376,4
8 337,93 19 357 30 378,3
9 339,62 20 359 31 380,2
10 341,31 21 361 32 382,1
11 342,95 22 363 33 383
Tiến hành mô phỏng quá trình chƣng cất của tháp T-2101 bằng phần mềm ASPEN ta đƣợc kết quả nhƣ bảng 2-7
Bảng 2-7 Kết quả của pha lỏng và pha hơi trên từng đĩa dựa trên mô hình Aspen
TT Sl [J/kmol] Sv [J/kmol]
1 0,004560656 0,00414519900000000
2 0,004562998 0,00414737600000000
3 0,004564301 0,00414970700000000
4 0,004567010 0,00415180700000000
5 0,004568034 0,00415359300000000
6 0,004569871 0,00413617100000000
7 0,00456998800000000 0,00404833300000000
8 0,00457187400000000 0,00410051300000000
9 0,00457273600000000 0,00429098400000000
10 0,00457488300000000 0,00432112700000000
11 0,00457891000000000 0,00432647100000000
12 0,00458166900000000 0,00453156300000000
13 0,00458358800000000 0,00467594900000000
14 0,00458396000000000 0,00414543300000000
15 0,00458517600000000 0,00414818400000000
16 0,00451466700000000 0,00414973000000000
17 0,00459927700000000 0,00415258200000000
18 0,00471900000000000 0,00415391300000000
19 0,00479974400000000 0,00409929400000000
20 0,00482389600000000 0,00393518100000000
21 0,00498278700000000 0,00413506500000000
22 0,00497513800000000 0,00431712700000000
23 0,00493888900000000 0,00430747100000000
24 0,00494197200000000 0,00438181800000000
25 0,00490804600000000 0,00457594900000000
26 0,00490904600000000 0,00477594900000000
27 0,00501515200000000 0,00414640400000000
28 0,00506790100000000 0,00415120800000000
29 0,00507812500000000 0,00415001200000000
30 0,00511392400000000 0,00402725000000000
31 0,00511392400000000 0,00431583300000000
32 0,00711392400000000 0,00448919800000000
33 0,00811392400000000 0,00438594900000000
Hệ số khuếch đại tĩnh của hàm truyền là: G(0)= -A-1B
Thực hiện phép nhân này trong MATLAB ta đƣợc giá trị G(0) nhƣ sau:
Ma trận khuếch đại tĩnh giữa hai biến vào L, V và nhiệt độ tại các đĩa
Việc xác định cặp đôi biến vào/ra đƣợc thực hiện thông qua phép phân tích SVD (singular value decomposition):
Bất cứ ma trận nào cũng có thể phân tích thành dạng:
Trong đó: [ ] [ ] { } { } ̅
: Giá trị suy biến, là các số thực không âm, sắp xếp theo thứ tự giảm dần.
Vector cột của V là vector giá trị đơn biến của đầu vào và vector cột của U (bên trái) là vector giá trị đơn biến của đầu ra.
Ứng dụng của SVD trong lựa chọn các biến vào/ra:
- Lựa chọn biến đầu ra: Lựa chọn các biến ra đo được tương ứng với hàng của phần tử có giá trị tuyệt đối lớn nhất trong mỗi cột của ma trận U.
- Loại bớt số biến vào/ra: Có thể loại bớt một số cặp biến vào/ra tương ứng với giá trị suy biến quá nhỏ.
- Lựa chọn tập biến vào/ra: Lựa chọn tập tương ứng với những giá trị lớn nhất mà hệ không cho đáp ứng ngƣợc.
- Đánh giá tính bền vững của một sách lƣợc/cấu trúc điều khiển - Xác định cấu hình điều khiển phi tập trung tốt nhất.
Lựa chọn biến đầu ra có giá trị lớn nhất trong mỗi cột của U Các biến quá trình của tháp chƣng cất C3/C4:
- Biến cần điều khiển: Nhiệt độ đỉnh, đáy tháp
- Biến điều khiển: Lưu lượng hồi lưu L, lưu lượng hơi cấp nhiệt V
- Sử dụng phép phân tích SVD để lựa chọn nhiệt độ tại đĩa phần đỉnh và phần đáy làm biến đƣợc điều khiển
Tỷ số giữa sai lệch của nhiệt độ và L, V tại các đĩa đáy tháp trong bảng sau:
Bảng 2-8 Tỉ số giữa sai lệch nhiệt độ và L, V tại các đĩa đáy tháp
Đĩa i
26 -12,52405822 2,629068251
27 -13,36313306 3,689025273
28 -12,74956337 2,775799712
29 -12,43996309 2,277853261
30 -12,29549041 2,005624953
31 -12,04631844 1,591941784
32 -12,02728044 1,491487299
33 -12,09942446 1,554232209
Kết quả phân tích SVD cho các đĩa đáy tháp cho thấy, phần tử lớn nhất (theo giá trị tuyệt đối) của cột thứ 2 là 13,36313306 ứng với đĩa thứ 27 (đĩa thứ 33 từ dưới lên). Nhƣ vậy, biến V sẽ đƣợc sử dụng để điều khiển nhiệt độ đáy tháp tại đĩa thứ 33 thay cho điều khiển nồng độ sản phẩm đáy.
Kết quả phép phân tích SVD cho các đĩa đáy tháp:
[
]
; [ ];
[
]
Tỷ số giữa sai lệch của nhiệt độ và L, V tại các đĩa đỉnh tháp trong bảng sau:
Bảng 2-9 Tỉ số giữa sai lệch nhiệt độ và L, V tại các đĩa đỉnh tháp
Đĩa
8 -4,15553 -0,38383
7 -4,14295 -0,25702
6 -4,09816 -0,14929
5 -4,043 0,127872
4 -3,98283 0,882105
3 -3,90981 2,813244
2 -3,80695 7,644939
1 - 3,6290 19,628
Kết quả phép phân tích SVD cho các đĩa đỉnh tháp:
[
]
; [ ];
[
]
Kết quả phép phân tích SVD cho thấy, phần tử lớn nhất (theo giá trị tuyệt đối) của cột thứ 2 là 3,6290 ứng với đĩa thứ 1 (từ dưới lên). Như vậy, biến L sẽ được sử dụng để điều khiển nhiệt độ đáy tháp tại đĩa thứ 1 thay cho điều khiển nồng độ sản phẩm đỉnh.
Mô hình tĩnh của tháp T-2101 với đầu ra là nhiệt độ đỉnh, đáy tháp:
[ ]
Nhƣ đã phân tích ở trên, việc điều khiển nhiệt độ đáy tháp để qua đó điều khiển nồng độ sản phẩm đỉnh và đáy sẽ gặp nhiều khó khăn do quá trình điều khiển nhiệt độ là một quá trình có độ trễ lớn và bị ảnh hưởng bởi các nhiễu quá trình do đó cần phải sử dụng mô hình với biến điều khiển trực tiếp là nồng độ sản phẩm đầu ra thì mới có thể đạt đƣợc chất lƣợng sản phẩm nhƣ mong muốn.
2.6 Xây dựng mô hình tuyến tính tháp T-2101 trong miền trạng thái
Trên cơ sơ kết quả tính toán mô hình toán học của tháp T-2101 với đầu ra là nồng độ sản phẩm ở mục 2.4 ta có đƣợc mô hình tuyến tính 33 bậc của tháp T-2101 với 4 đầu vào , và nhiễu và 2 đầu ra ( có thể biểu diễn trong miền s [1] nhƣ sau:
[ ]
[ ]
[ ]
Trong đó là hằng số thời gian và ; là các ma trận hệ số khuếch đại ở trạng thái xác lập.
[ ]
[ ] [
] Hằng số thời gian có thể tính dựa theo công thức [14]:
Trong đó là tổng trữ lƣợng chất lỏng trong tháp:
∑
là tổng lƣợng không tinh khiết:
S là hệ số phân tách:
Ta tính đƣợc hằng số thời gian: [ ]
Thay vào phương trình (3.24) ta có mô hình giảm bậc [
]
[ ] [ ] [ ] [
]
Từ đó ta có mô hình hàm truyền đạt của tháp T-2101 theo cấu trúc LV với biến đầu ra là nồng độ sản phẩm là:
Và mô hình hàm truyền đạt của nhiễu theo cấu trúc LV với biến đầu ra là nồng độ sản phẩm là:
Với [
] [
] [ ] Và thời gian trích mẫu đƣợc chọn T = 0,1 (s)