CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP TƯƠNG QUAN ẢNH SỐ VÀ PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
2.2. Phương pháp phần tử hữu hạn
2.2.1. Lý thuyết về phương pháp phần tử hữu hạn
Phương pháp phần tử hạn (Finite Element Method) là một công cụ số mạnh mẽ để giải quyết các phương trình vi phân dạo hàm riêng cũng như là các phương trình tích phân. Phương pháp này dựa trên việc rời rạc hóa miền khảo sát thành các miền con,có hình dạng tùy ý, được liên kết thông qua các nút của phần tử.
Phương pháp này xuất phát từ việc cần thiết để tìm các lời giải cho các bài toán phức tạp của đàn hồi và phân tích cấu trúc. Sự phát triển của phương pháp này bắt nguồn từ những nghiên cứu của Alexander Hrennikoff (1941) và Richard Courant (1942). Hai ông đã cùng đưa ra khái niệm : Chia lưới, rời rạc hóa miền liên tục thành những miền con gọi là phần tử
Sự phát triển của phương pháp này bắt đầu nghiêm túc từ giữa đến cuối thập niên 50 từ việc nghiên cứu khung máy bay, phân tích cấu trúc và động lượng tập trung tại Đai học Stuttgart thông qua nghiên cứu của John Argyris và tại Berkeley với nghiên cứu của Ray W. Clough trong thập kỷ 60. Tiếp sau là những đóng góp của các nhà nghiên cứu như : O.C.Zienkiewicz, R.L Taylor, G.Strang, J.N. Reddy, S.S. Rao, E.L.
Wilson…Ngày nay cùng với sự phát triển mạnh mẽ của máy tính phương pháp này được sử dụng rộng rãi để giải quyết các bài toán trong kỹ thuật.
Các vấn đề liên quan đến kỹ thuật, thông thường có 3 phương pháp để giải quyết bao gồm: phương pháp phân tích toán học, phương pháp phần tử hữu hạn và phương pháp thử nghiệm thực tiễn.
+ Phương pháp phân tích toán học: Có tính khách quan nhất và kết quả chính xác 100% và thường áp dụng cho các bài toán đơn giản, mô hình không phức tạp.
+ Phương pháp phần tử hữu hạn: Áp dụng các quy luật vật lý, hàm toán học…vào các phần mềm mô phỏng để tính toán. Kết quả tính toán xấp xỉ chính xác, phụ thuộc vào khối lượng tính toán và cách xây dựng mô hình tính trên phần mềm.
+ Phương pháp thử nghiệm thực tiễn: Thực hiện bằng các phương pháp đo, thử nghiệm, quan sát. Kết quả tính toán xấp xỉ chính xác do các yếu tố chủ quan, cách thử nghiệm, thiết bị đo đạc…
Hình 2.7. Các phương pháp giải quyết vấn đề kỹ thuật a) Phân tích toán học; b) Phần tử hữu hạn; c) Thử nghiệm thực tiễn.
Phương pháp phần tử hữu hạn là phương pháp số đặc biệt có hiệu quả để tìm dạng gần đúng của một hàm chưa biết trong miền xác định V. Phương pháp phần tử hữu hạn không tìm dạng xấp xỉ của hàm trên toàn miền xác định V mà chỉ trong những miền con Ve thuộc miền xác định của hàm.
Trong phương pháp phần tử hữu hạn miền V được chia thành một số hữu hạn các miền con gọi là phần tử. Các miền này liên kết với nhau tại các điểm định trước trên biên của phần tử được gọi là node. Các hàm xấp xỉ này được biểu diễn thông qua các
giá trị của hàm tại các điểm node trên các phần tử. Các giá trị này được gọi là bậc tự do của phần tử và được xem là ẩn số cần tìm của bài toán. Phương pháp phần tử hữu hạn là phương pháp rất tổng quát và hữu hiệu cho lời giải số nhiều lớp bài toán kỹ thuật khác nhau từ việc phân tích trạng thái ứng suất, biến dạng trong các kết cấu.
Quy tắc chia miền V thành các phần tử ve phải thoả mãn hai quy tắc sau:
+ Hai phần tử khác nhau chỉ có thể có những điểm chung nằm trên biên của chúng, điều này loại trừ khả năng giao nhau giữa hai phần tử. Biên giới giữa các phần tử có thể là các điểm, đường hay mặt.
+ Tập hợp tất cả các phần tử ve phải tạo thành một miền càng gần với miền V cho trước càng tốt. Tránh không được tạo lỗ hổng giữa các phần tử.
Hình 2.8. Các dạng biên chung của các phần tử
Các dạng phần tử hữu hạn: Có nhiều dạng phần tử hữu hạn như phần tử một chiều, hai chiều và ba chiều. Trong mỗi dạng đó, đại lượng khảo sát có thể biến thiên bậc nhất (gọi là phần tử bậc nhất), bậc hai hoặc bậc ba… Dưới đây, chúng ta làm quen với một số dạng phần tử hữu hạn hay gặp:
+ Phần tử một chiều
Hình 2.9 Phần tử một chiều
+ Phần tử hai chiều
Hình 2.10. Phần tử hai chiều.
+ Phần tử ba chiều
Hình 2.11. Phần tử ba chiều.
2.2.2. Các giai đoạn của bài toán phần tử hữu hạn
Phương pháp phần tử hữu hạn được thực hiện trong ba giai đoạn: tiền xử lý, xử lý và hậu xử lý.
+ Tiền xử lý (Pre Processing): Trước khi xử lý là giai đoạn chuẩn bị (chia lưới) một chi tiết để phân tích. Dạng hình học phức tạp được chia nhỏ thành các dạng hình học đơn giản (phần tử) trong quá trình chia lưới. Các phần tử sau khi chia lưới sẽ được định nghĩa cho các loại, độ dày, vật liệu và sau đó là thêm các lực.
+ Xử lý (Solving): Phần xử lý thực hiện phân tích phần tử hữu hạn. Kết quả thu được có thể là chuyển vị, ứng suất, biến dạng hoặc là gia tốc.
+ Hậu xử lý (Post Processing): Sau xử lý, kết quả của các trường hợp xử lý được xem lại.