Các phép toán của số học khoảng

2.1. Lý thuyết về số khoảng

2.1.2. Các phép toán của số học khoảng

 Phép toán so sánh

Cho X  x x, và Y y y,  với X Y, Rthì:

X = Y khi x y & x  y

  ;

X < Y khi x  y



X Y khi yx & x  y

 Các phép toán số học

Bốn phép toán cơ bản của số thực (+ , − × ,÷ ) có thể mở rộng cho các số khoảng. Một phép toán bất kỳ ∈ (+ , − × ,÷ ) trên các khoảng đƣợc định nghĩa theo quy tắc chung nhƣ sau: X Y x y xX C, 

Tập hợp các kết quả của phép toán đối với x ∈ X và y ∈ Y tạo thành một khoảng đóng (nếu mẫu số ≠ 0) với các cận của khoảng xác định nhƣ sau:

min( ),max(x y)

X Y  x y

Cận dưới và cận trên của phép toán X Y được xác định từ bốn cặp số ,

x y x y, x y x, y

Phép cộng:X  Y xy x,  y Phép trừ:X Y x y x y, 

 

    

Phép nhân:X Y* minxy x y x y xy, , , ,maxxy x y x y xy, , , 

   

 

     

      

Phép chia: X/Y = X*(1/Y). Áp dụng phép nhân X*Y

 Các phép toán khác

Phép giao hoán: X+Y = Y+X; X.Y = Y.X

Phép kết hợp: (X + Y) + Z = X + (Y + Z); (X.Y).Z = X.(Y.Z);

(X Y Z). XYXZ

Bảng 1.1. Phép nhân khoảng hai số thực

Khoảng X có thể được biểu diễn dưới dạng:

 (X) rad(X),m(X) rad(X)

X  m  

Trong nhiều trường hợp, điểm giữa m(X) được xem là giá trị danh nghĩa của khoảng X. Khoảng có bán kính bằng 0 đƣợc gọi là khoảng hẹp hay khoảng suy biến.

Khoảng hẹp bao gồm chỉ một số thực. Khoảng có bán kính lớn hơn 0 đƣợc gọi là khoảng dày.

Nếu m(X) ≠ 0 thì X có thể phân tích thành hai thành phần: phần xác định (trung điểm) m(X) và phần khoảng 1 + ð

( ).(1 ) X m X 

Trong đó:

( ) 0

( ) 0

(X) ( )

( ) , ( )

( ) 1 (X) ( )

( ) , ( )

khi m X

khi m X rad rad X

m X m X X

m X rad rad X

m X m X



 

  

 



 

  

 





  



Với  gọi là nhân tử khoảng, là số đo sự biến thiên của X đối với điểm giữa m(X) của nó. Một khoảng X có 2% không chắc chắn (đối với điểm giữa) nghĩa là ð =

 0.01,0.01

   và X m X . 1    0.01, 0.01 .

Khái niệm hai toán tử đối nhau trong số học khoảng không tồn tại, nghĩa là:.

       

( ) , + , , ( ). 1,1 0

X  X  x x  x x  x x x x  X   2.1.3. Hàm số khoảng

 Khái niệm

Tác giả Trần Văn Liên – 2009 đã đƣa ra một số khái niệm về hàm số khoảng nhƣ sau:

Hàm số khoảng là hàm số có một hoặc nhiều biến là giá trị khoảng. Do đó, hàm số khoảng là phép ánh xạ giá trị của một hoặc nhiều biến khoảng lên một khoảng

 Miền giá trị của hàm f

Miền giá trị của hàm ƒ là miền giới hạn tập giá trị mà hàm ƒ có đƣợc.

Cho: ƒ : D → E thì Fƒ(ƒ, D):={ƒ( x)|x ∈ D}.

 Miền bao của hàm ƒ

Cho ƒ : D ⊆ R → R là một hàm liên tục thì hàm bao F (inclusion function) của ƒ là một hàm khoảng sao cho F: IR → IR là miền bao của ƒ với mọi khoảng đóng ⊆ D ; tức là: F(x) ⊇ Fƒ(ƒ, x) với mọi x ⊆ D

2.1.4. Véc tơ khoảng, ma trận khoảng

Một ma trận khoảng A ∈ # IR m×n là một ma trận mà các phần tử của nó là các khoảng Ajk = [ aij, aij] với i = 1, … , m; j = 1, … , n; IR m×n biểu thị tập của tất cả các ma trận khoảng có kích thước m × n.

Cận dưới, cận trên, điểm giữa, giá trị tuyệt đối của ma trận khoảng được định nghĩa tương tự như số học khoảng.

Ma trận khoảng kích thước m × 1 gọi là một véc tơ khoảng, biểu diễn bằng IR m Các phép toán trên ma trận khoảng đƣợc mở rộng từ các phép toán trên ma trận số thực tương ứng. Giả sử A ∈ # IR m×n, B ∈ # IR m×n thì:

ij ij 1 , A B A B   i j n

0 1 ,

A B n Aik Bkj

k i j n

 

 

 

   

  

Do đặc trƣng của số học khoảng, một vài luật đại số đúng cho các phép toán ma trận số thì chỉ đúng ở dạng yếu hơn cho các phép toán ma trận khoảng. Các luật đại số đƣợc Neumier đƣa ra nhƣ sau:

A( B) (AB) cho R ,AIR n p ,BIR p q

2.1.5. Đặc trưng cơ bản của lý thuyết phân tích khoảng

 Vấn đề phụ thuộc

Do không có khả năng nhân diện đƣợc sự lặp lại của các biến trong biểu thức tính toán nên phương pháp khoảng chịu ảnh hưởng rất lớn với sự ước lượng quá mức (overestimation) thường dẫn đến sai số không thể chấp nhận được. Đặc trưng này đƣợc gọi tên là vấn đề phụ thuộc.

Trong chương mở đầu, chúng ta đã có dịp đề cập đến nó. Nhìn chung, nó không dễ dàng bị loại bỏ. Vì vậy, để giảm bởt sự ước lượng quá mức, giá trị lựa chọn thường ở dạng trung tâm (centered form).

Dạng trung tâm Fc(X) là cách biểu diễn hàm khoảng Fc(X) có dạng bậc hai nhƣ sau:

Cho hàm ƒ(x) thì miền bao dạng trung tâm của ƒ(x) là:F Xc( ) f c( )g Y( ) Trong đó: cm X y( );     x c Y X c

( ) ( ) ( ) ( )

g Y g y  f x  f c

Dạng trung tâm cũng chính là một dạng của định lý trung bình trong toán học.

Định lý giá trị trung bình (mean-value theorem) phát biểu nhƣ sau:

Cho hàm số f x( ) và hai vector a,b. Tồn tại vector c sao cho a b c để

( ) ( ) ( )( )

f b  f a J c b a

Trong đó: J c( )là Jacobian của biểu thức f x( ), là đạo hàm bậc nhất đối với vector a và b.

Do vấn đề phụ thuộc, chỉ một số luật đại số của số thực vẫn còn đúng trong cho đại số khoảng. Các luật đại s ố khác chỉ giữ ở dạng yếu hơn. Nguyên tắc chung áp dụng đối với phép toán khoảng là:

Thứ nhất, hai biểu thức đại số tương đương trong đại số thực thì cũng tương đương trong đại số khoảng khi mà tất cả các biến xuất hiện chỉ một lần. Nếu

, ,

a b c thì:

;

a b  b a abba

a b c  a b c;  ab ca bc 

Thứ hai, nếu f và g là hai biểu thức số tương đương trong đại số thực thì hàm bao của khoảng có dạng F G nếu các biến chỉ xuất hiện một lần trong f

+ a b c(  ) ab ac (Luật phân bố phụ) + a b (a c  ) (b c) (Luật phân bố phụ) + a b/ ac bc (Luật giản ƣớc phụ) + 0 a a , 1a a/ (Luật giản ƣớc phụ)

Vấn đề phụ thuộc làm cho luật phân bố, luật giản ƣớc của đại số không còn phù hợp và gây nhiều khó khăn để có kết qu ả chính xác đối với các tính toán khoảng phức tạp. Thành công của phép tính phân tích khoảng phụ thuộc đáng kể vào việc giảm bớt sự phụ thuộc.

 Hiệu ứng bao phủ

Hiệu ứng bao phủ đƣợc minh họa qua ví dụ sau:

Xét hàm số: : ( , ) 2( , )

f x y  2 xy yx với ( , )x y    1,1 , 1,1 . Tìm ảnh của miền giá trị F x yf( , ) trên đồ thị

Giải

Về giá trị: f x y( , ) f  1,1 , 1,1   2, 2 ,   2, 2

Về hình ảnh, khi thay trực tiếp các giá trị ( , )x y     1, 1 , 1,1 , 1, 1 , 1,1      

vào f x y( , ) thì các điểm góc của 2 hình vuông sau đều thỏa mãn giá trị của hàm f.

Tuy nhiên:

Nếu xét hình vuông xoay nằm trong gồm các tọa độ đỉnh:

 2, 0 , 0, 2 ,  2, 0 , 0, 2

Q  M  N P

và hình vuông (không xoay) nằm ngoài gồm các tọa độ đỉnh:

 2, 2 ,  2, 2 ,  2, 2 ,  2, 2

A   B  C D 

Hình 2.3. Ảnh các miền bao của hàm f(x,y)

Kiểm tra bằng Monte-Carlo thấy rằng các điểm giá trị (x,y) đều nằm trong miền bao hình vuông xoay. Do đó, ảnh của miền giá trị F x yf( , ) là hình vuông xoay.

Hình 2.4. Biểu đồ tọa độ f(x+y,y-x) bằng pp. Monte-Carlo với 1500 lần thử Nhƣ vậy, hàm nhiều biến (n ≥ 2) luôn tồn tại ảnh của miền giá trị là một hình hộp xoay, gọi tên là hiệu ứng bao phủ. Đây là nguyên nhân thứ hai gây ra ƣớc lƣợng quá mức trong phương pháp phân tích khoảng. Nó xuất hiện khi các kết quả tính toán

trung gian là các giá trị khoảng. Hiệu ứng bao phủ đƣợc đề cập lần đầu tiên năm 1965 trong ấn phẩm của Moore và của Lohner năm 2001 khi thực hiện quan sát các kết quả trong quá trình tính toán.