CHƯƠNG 2. HỘI SUY DẪN VÀ PHỤ THUỘC BOOLEAN DƯƠNG ĐA TRỊ
2.4. Phụ thuộc Boolean dương đa trị trong mô hình dữ liệu dạng khối
Định nghĩa 2.4
Cho R id A A; , 1 2,..., An, r(R) là một khối trên R, ( )
1 n
i i
U id
, id s, ta gọi mỗi vector các phần tử vvi1, vi2, ..., vin i1..s trong không gian
n s
B là một phép gán trị.
Như vậy, với mỗi CTBĐT f MVL U ta có f v f v v i1, i2,...,vin i1..t là trị của công thức f đối với phép gán trị v.
Ví dụ 2.6:
ChoR 1, 2 , , A A1 2, A3, khi đó U 1 , 1 , 1 , 2 , 2 , 2( )1 ( )2 (3) ( )1 ( )2 ( )3,
0, 0.5, 1 .
B
Cho 0.5 1 0.5
1 0.5 0.5
v
, f 1 1 2 2 1 2( ) ( )1 2 ( )1 ( )2 (3) ( )3 , khi đó ta có
1 0.5, 1, 1, 0.5 , 0.5, 0.5
f v max min min .
Suy ra : f v 0.5.
Ta có hai phép gán trị đặc biệt:
Phép gán trị đơn vị:
1 1 1 . . . 1 1 1 e
, và phép gán trị 0:
0 0 0
. . .
0 0 0
z
Định nghĩa 2.5
Cho m 0 ;1 , khối chân lý ngưỡng m của f hoặc khối m-chân lý của f, kí hiệu Tf m, là tập các phép gán trị v sao cho f(v) nhận giá trị không nhỏ thua m:
Tf m, {vBn s |f v m}
Khi đó, khối m-chân lý TF m, của tập hữu hạn các công thức F trên U, chính là giao của các khối m-chân lý của mỗi công thức thành viên f trong F.
F m, f m, f F
T T
.
Ta có: v T F m, khi và chỉ khi f F f v: m.
Với |B|k thì khi đó |Bn s | =kn s , ta có định lý sau:
Ví dụ 2.7. Để so sánh các tập tài liệu được thu thập vào các thời điểm khác nhau xem chúng giống nhau hay khác nhau như thế nào, có phải là cùng được in từ nhà xuất bản hay không, ta phân loại như sau:
A1: Loại giấy in (T: Tốt; M: Trung Bình; S: Kém) A2: Mực in (T: Tốt; M: Trung Bình; S: Kém)
A3: Nội dung in (T: giống nhau 100%; M: chỉ khoảng 50%; S: không giống nhau).
Ta xây dựng khối R và định nghĩa phép gán trị như sau:
Cho R 1, 2 , , A A1 2, A3, U = {1(1), 1(2), 1(3), 2(1), 2(2), 2(3)}, B ={0, 0.5, 1}.
Với thuộc tính A1, nếu loại giấy in tốt ta gán là 1, trung bình ta gán là 0.5, kém ta gán là 0 tương ứng với các mức trong tập trị B;
Với thuộc tính A2, nếu loại mực in tốt ta gán là 1, trung bình ta gán là 0.5, kém ta gán là 0 tương ứng với các mức trong tập trị B;
Với thuộc tính A3, nếu nội dung giống nhau ta gán là 1, nội dung chỉ xem được khoảng 50% thì ta gán là 0.5, nội dung khác nhau ta gán là 0 tương ứng với các mức trong tập trị B;
Cho phép gán trị 0.5 1 0.5
1 0.5 1
v
, khi đó ta có:
Với F(v): 1(1) 1(2) 1(3) 2(1) 2(2) 2(3)= 0.5, như vậy các tài liệu này chỉ được đánh giá giống nhau 50%, có nghĩa là chúng giống nhau ở mức độ 0.5. Khi đó công thức 1(1) 1(2) 1(3) 2(1) 2(2) 2(3) là công thức Boolean đa trị trong mô hình dữ liệu dạng khối.
Với F(v) : 1(2) ( 2(3)) = 0, khi đó công thức 1(2) ( 2(3)) không phải là công thức Boolean đa trị trong mô hình dữ liệu dạng khối.
Định lý 2.4
Với mỗi khối T t1, , t2 , tdBn s và mỗi dãy trị m m1, 2,,md trong B , 1 d kn s , tồn tại một CTBĐT f thỏa hai tính chất sau:
(i) ti T f t: i =mi , (ii) t Bn s \T: f t 0.
Chứng minh:
Với mỗi i : i ij1, ij2, ..., ijn 1..
j s
t T t t t t
, 1 i d, ta xây dựng công thức:
(j1), (j2), , (jn) 1 .. 1 (j1) , 2 (j2) , , (jn) , 1..
i j s tij tij tijn i j s
h x x x I x I x I x m
khi đó nếu 1 2 1. 1 2 1..
) (
.
( ) ( )
, , , , , ...,
j j jn
i ij ij ijn j s
j s
x x x t t t t
thì h ti i mi,
0
h ti với t ti, 1 i d.
Do vậy, nếu ta đặt: f x (j1), x(j2),, x(jn)j1..s h1 h2 hd thì f chính là công thức cần tìm.
Thật vậy, ta có:
i ( 1 2 d) i 1 i 2 i i i d i
f t h h h t h t h t h t h t
Mà theo tính chất của hi:
1, 2, ..., 1.. ( 1 1 , 2 2 , , , ) 1..
i i ij ij ijn j s tij ij tij ij tijn ijn i j s i
h t h t t t I t I t I t m m
0
h ti với tti, 1 i d .
Vậy suy ra: f t i mi, 1 i d và t Bn s \ : T f t 0 f chính là CTBĐT cần tìm.
Hệ quả 2.3:
Với mỗi khối T Bn s , T và mỗi trị m>0 trong B, tồn tại một CTBĐT f nhận T làm khối m-chân lý, tức là Tf m, T.
Chứng minh:
Sử dụng kết quả của định lý 3.1 với trường hợp đặc biệt:
1 2 d
m m m m ta thu được CTBĐT f thỏa mãn hai điều kiện:
(i) tiT: f t i mi, (ii) t Bn s \T: f t 0.
Từ đó suy ra: Tf m, T .
2.4.2. Công thức Boolean dương đa trị Định nghĩa 2.6
Cho R id A A; , 1 2,..., An, r(R) là một khối trên R, ( )
1 n
i i
U id
, mỗi CTBĐT f MVL(U) được gọi là công thức Boolean dương đa trị (CTBDĐT) nếu f(e) = 1, với e là phép gán trị đơn vị. Ở đây:
1 1 1 . . . 1 1 1 e
Ví dụ 2.8:
Cho R 1, 2 , , A A1 2, A3, U = {1(1), 1(2), 1(3), 2(1), 2(2), 2(3)}, B ={0, 0.5, 1}.
Khi đó: với phép gán trị đơn vị e ta có:
- Các công thức: 1(1) 1(2) 2(1) 2(2), 1(1) 1(2) 2(1) 2(2) là các CTBDĐT.
- Các công thức: 1(2) (2(3)), (1(3)) (2(1)) không phải là các CTBDĐT.
Định nghĩa 2.7
Cho R id A A; , 1 2,..., An, r(R) là một khối trên R, ta kí hiệu di là miền trị của thuộc tính Ai (cũng là của thuộc tính chỉ số x(i), xid), 1 i n. Khi đó, với mỗi miền trị di ta xét ánh xạ: i : di di B thỏa các điều kiện sau:
(i) Tính phản xạ: a di :i a a, 1,
(ii) Tính đối xứng: a b, di :ia b, i b a, , (iii) Tính đầy đủ: m B, a, b di: i(a,b) = m.
Như vậy, ta thấy các ánh xạ i chính là các quan hệ trên di thỏa các tính chất phản xạ, đối xứng và đầy đủ. Quan hệ đẳng thức với logic hai trị B 0,1 là
trường hợp riêng của quan hệ trên.
2.4.3. Phép gán trị
Định nghĩa 2.8
Cho R id A A; , 1 2,..., An, r(R) là một khối trên R, u,v r, các ánh xạ
i xác định trên mỗi miền trị di, 1 i n. Ta gọi (u,v) là phép gán trị:
u v, 1u x. ( )1 , .v x( )1 ,2 u x. ( )2 , .v x( )2 ,..., nu x. ( )n , .v x( )n x id.
Khi đó, với mỗi khối r ta kí hiệu khối chân lý của khối r là Tr: Tr u v, | u v, r.
Nếu khối r có chứa ít nhất một phần tử u nào đó thì: u u, e e Tr.
Trong trường hợp tập id = {x}, khi đó khối suy biến thành quan hệ và khái niệm khối chân lý của khối lại trở thành khái niệm bảng chân lý của quan hệ trong mô hình dữ liệu quan hệ. Nói một cách khác, khối chân lý của khối là mở rộng khái niệm bảng chân lý của quan hệ trong mô hình dữ liệu quan hệ.
Ví dụ 2.9: Cho khối dữ liệu R = ({1, 2, 3}; A1, A2, A3), r là một khối trên R, trong đó id ={1, 2, 3} là thuộc tính chỉ số tương ứng là Mùa hè, Mùa xuân, Mùa đông. Tập trị B ={0, 0.3, 0.7, 1}. Ta kí hiệu A1: Bánh mì, A2: Bơ, A3: Sữa là các thuộc tính của khối được gán trị như hình 2.8:
r: Ban_hang_DT
Hình 2.5: Khối dữ liệu Ban_hang_DT
Đặt phép gán trị các cặp phần tử: (a, b); với a, b là giá trị của loại hàng (CC, L1, L2). Ta quy ước phép gán trị:
(a, b) = 1 nếu a = b;
(a, b) = 0.7 nếu a và b có đôi 1 khác nhau;
(a, b) = 0.3 nếu hoặc có a hoặc có b;
(a, b) = 0 nếu a = null và b = null.
Mùa đông (3)
L2 L2
CC L2
CC CC
CC null
L2 L2
L2 L2
CC CC
CC CC
CC L2
Bánh mì (A1)
Bơ (A2)
Mùa xuân (2) Mùa hè (1)
t1
t2
t3
L2 L2
L2 null
null
L2
t4
CC
null
L2 null L2
L2 CC
null CC
L2
L2
Sữa (A3)
L2
L2 L2
L2 null
null tn
L1 null L1
L1 …
… … …
… …
… …
…
…
Khi đó, kết quả phép gán trị trên khối Tr thu được như hình 2.10:
Tr
Hình 2.6: Khối chân lý Tr
Nhận xét: Qua khối chân lý Tr, mối quan hệ mức tiêu thụ giữa bánh mì, bơ và sữa trong Mùa hè như sau:
- Cứ 4 cặp mua bánh mì (cùng loại hàng CC hoặc L1 hoặc L2) thì có 1 cặp mua bơ hoặc sữa (cùng loại hàng CC hoặc L1 hoặc L2).
- Cứ 10 cặp mua bánh mì (không phân biệt loại hàng) thì có 3 cặp mua bơ
Mùa đông (3)
0.7 0.3
0.7 0.7
1 0.7
1 0.3
0.7 1
0.7 0.3
1 0.3
0.7 0.3
0.7 0.7
Bánh mì (A1)
Bơ (A2)
Mùa xuân (2) Mùa hè (1)
(t1, t2)
0.7 0.7
1 0.3
0.3
0.7
0.3
1
0.7 0.3 0.3
0.3 0.3 0.3
0.7
0.7
0.3 Sữa (A3)
0.3
1 1
1 0
0
0.7 0
0.7 0.7 …
… … …
… …
… …
…
…
1 0.3
0.7 0.3
0.7 0.3
0.7 0.7
0.7 0.3
1 1
0.7 0.3
0.7 0.7
0.7 0.3
1 1
0.7 0.3
0.3
0.7
0.7
0.3
0.3 0.3 0.7 1
0.7 0.7
0.3
0.3
0.3
0.7
0.7 1
0.7 0.7
1 0.7 0.3
0.7 1
(t1, t3)
(t1, t4)
(t1, tn)
(t2, t3)
(t2, t4)
(t2, tn)
(t3, t4)
(t3, tn)
(t4, tn)
(không phân biệt loại hàng CC, L1, L2), 6 cặp mua sữa (không phân biệt loại hàng CC, L1, L2).
Căn cứ vào số liệu trên, ta thấy vào mùa hè khách hàng có xu hướng mua bánh mì kèm theo sữa nhiều hơn so với mua kèm bơ,… tương tự như vậy với mùa xuân và mùa đông khách hàng có xu hướng mua bánh mì kèm bơ nhiều hơn so với mua kèm sữa.
Với kết quả trên, sẽ là cơ sở để giúp nhà quản lý biết được mức tiêu thụ và tỉ lệ mua hàng của khách hàng ứng với từng mùa, để từ đó cân đối việc nhập hàng và sắp xếp hàng hóa được hợp lý.
2.4.4. Phụ thuộc Boolean dương đa trị trên khối Định nghĩa 2.9
Cho Rid A A; , 1 2,..., An, r(R) là một khối trên R, ( )
1 n
i i
U id
, ta gọi mỗi công thức Boolean dương đa trị trong MVP(U) là một phụ thuộc Boolean dương đa trị (PTBDĐT) trên khối.
Ta nói khối r m-thỏa phụ thuộc Boolean dương đa trị f và kí hiệu r(f,m) nếu
,
r f m
T T .
Khối r m-thỏa tập phụ thuộc Boolean dương đa trị F và kí hiệu r(F,m) nếu khối r thỏa mọi PTBDĐT f trong F:
, : , r F m,
r F m f F r f m T T . Nếu có r f m , ta cũng nói PTBDĐT f m-đúng trong khối r.
Ví dụ 2.10:
Cho khối dữ liệu R = ({1, 2, 3}; A1, A2, A3), r là một khối trên R đã cho ở ví dụ 2.9.
r:
Yêu cầu: Tìm phụ thuộc dữ liệu trên các thuộc tính A1, A2, A3 (cũng là của thuộc tính chỉ số x(i), xid).
Với quy ước phép gán trị các cặp các phần tử đã cho ở như ví dụ 2.9:
(a, b) = 1 nếu a = b;
(a, b) = 0.7 nếu a và b có đôi 1 khác nhau;
(a, b) = 0.3 nếu hoặc có a hoặc có b;
(a, b) = 0 nếu a = null và b = null.
Giả sử, xét các công thức trên các thuộc tính A1, A2, A3 (cũng là của thuộc tính chỉ số x(i), xid): x(1)x(2); x(1)x(2)x(3); x(1)x(2)x(3).
Mùa đông (3)
L2 L2
CC L2
CC CC
CC null
L2 L2
L2 L2
CC CC
CC CC
CC L2
Bánh mì (A1)
Bơ (A2)
Mùa xuân (2) Mùa hè (1)
t1
t2
t3
L2 L2
L2 null
null
L2
t4
CC
null
L2 null L2
L2 CC
null CC
L2
L2
Sữa (A3)
L2
L2 L2
L2 null
null tn
L1 null L1
L1 …
… … …
… …
… …
…
…
Ta lập khối chân lý Tf,m gồm các thuộc tính A1, A2, A3 (cũng là của thuộc tính chỉ số x(i), xid) và các thuộc tính là công thức: x(1)x(2); x(1)x(2)x(3); x(1)x(2)x(3), với m = 0.7.
Ta được khối chân lý Tf,m như hình 2.10:
Tf,m :
Hình 2.7: Khối chân lý Tf,m
Mùa đông (3)
0.7 0.3
0.7 0.7
1 0.7
1 0.3
0.7 1
0.7 0.3
1 0.3
0.7 0.3
0.7 0.7
Bánh mì (A1)
Bơ (A2)
Mùa xuân (2) Mùa hè (1)
(t1, t2)
0.7 0.7
1 0.3
0.3
0.7
0.3
1
0.7 0.3 0.3
0.3 0.3 0.3
0.7
0.7
0.3 Sữa (A3)
0.3
1 1
1 0
0
0.7 0
0.7 0.7 …
… … …
… …
… …
…
…
1 0.3
0.7 0.3
0.7 0.3
0.7 0.7
0.7 0.3
1 1
0.7 0.3
0.7 0.7
0.7 0.3
1 1
0.7 0.3
0.3
0.7
0.7
0.3
0.3 0.3 0.7 1
0.7 0.7
0.3
0.3
0.3
0.7
0.7 1
0.7 0.7
1 0.7 0.3
0.7 1
(t1, t3)
(t1, t4)
(t1, tn)
(t2, t3)
(t2, t4)
(t2, tn)
(t3, t4)
(t3, tn)
(t4, tn)
1 1
1 1
0 0
0 0
0 1
1 1
0 1
1 1
1 1
x(1)x(2
)
x(1)x(2) x(3)
1 1
0 0
1
1
1
1
1 1 1
1 1
1 1
1
1
x(1)x(2) x(3)
1
1 1
1 1
1
1 1 1 1 …
… … …
… …
…
… …
0 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
0 0
1 1
0
1
1
1
1 1 1
1 1
1 1
1
1
0
0 1
1 1
0 0 1
1 1
- Xét công thức: f: x(1)x(2) :
+ Với lắt cắt 1: Do có các cặp phần tử:(t1, t2) = 0, (t2, t3) = 0, (t3, t4) = 0,
(t3, tn) = 0;
+ Tương tự các lát cắt 2 và lát cắt 3, tồn tại cặp phần tử có phép gán trị = 0.
Do đó Tr Tf. Suy ra không tồn tại phụ thuộc hàm từ x(1) x(2) hay
(1) not (2)
x x . Nói cách khác r không thỏa phụ thuộc hàm f.
- Xét công thức Boolean: f: x(1)x(2) x(3) :
+ Với lắt cắt 1: Do có các cặp phần tử:(t1, t2) = 0, (t3, tn) = 0;
+ Tương tự các lát cắt 2 và lát cắt 3, tồn tại cặp phần tử có phép gán trị = 0.
Do đó Tr Tf. Suy ra không tồn tại phụ thuộc Boolean dương x(1) x(2) x(3) hay x(1)not x(2)x(3). Nói cách khác r không thỏa phụ thuộc Boolean dương f.
- Xét công thức Boolean: f: x(1)x(2) x(3):
+ Với lắt cắt 1: Phép gán trị các cặp phần tử tùy ý đều bằng 1
+ Tương tự như vậy với các lát cắt 2 và lát cắt 3 cũng tồn tại các cặp phần tử với phép gán trị = 1.
Do đó Tr Tf. Theo Định nghĩa 2.9 thì tồn tại phụ thuộc Boolean dương đa trị x(1)x(2) x(3) trên khối. Nói cách khác rthỏa phụ thuộc Boolean đa trị f trên khối theo ngưỡng m = 0.7 hay r m-thỏa phụ thuộc Boolean dương đa trị f, m = 0.7.
Nhận xét: Với khối dữ liệu đã cho ở ví dụ 2.9, luận án chỉ ra rằng, không tồn tại Phụ thuộc hàm trên khối, cũng không tồn tại phụ thuộc Boolean dương trên khối, mà tồn tại phụ thuộc Boolean dương đa trị trên khối (thông qua việc mở rộng phép sánh trị các cặp phần tử). Hay nói cách khác, với phụ thuộc hàm và phụ thuộc Boolean dương trên khối mà các nghiên cứu trước đó không tìm được ràng buộc dữ liệu giữa các mặt hàng bánh mì, bơ và sữa. Bằng việc mở rộng phép sánh trị mà luận án đề xuất, các mặt hàng bánh mì, bơ và sữa lại tồn tại ràng buộc dữ liệu. Kết quả đạt được, giúp các nhà quản lý bán hàng có thể theo dõi được xu hướng khách hàng mua hàng theo mùa và thường mua kèm mặt hàng nào, với tỉ lệ nào.
Từ các khái niệm được đề xuất ở trên, ta có định lý tương đương sau:
Định lý 2.5
Cho tập PTBDĐT F và một PTBDĐT f , Rid A A; , 1 2,..., An, r(R) là một khối trên R, mB. Khi đó ba mệnh đề sau là tương đương:
(i)
F m f (suy dẫn logic), (ii)
F m f (suy dẫn theo khối), (iii)
F 2,m f (suy dẫn theo khối có không quá 2 phần tử).
Chứng minh:
(i) (ii): Theo giả thiết ta có F m, f m,
F m f T T (1) . Giả sử r là một khối bất kì và r F m , , khi đó theo định nghĩa: Tr TF m, (2). Từ (1) và (2) ta suy ra: Tr Tf m, , vậy ta có: r f m , .
(ii) (iii): Hiển nhiên, vì suy dẫn theo khối có không quá 2 phần tử là trường hợp đặc biệt của suy dẫn theo khối.
(iii) (i): Giả sử t x(1), x(2), ..., x( )n x id , tTF m, , ta cần chứng minh tTf m, .
Thật vậy, nếu t = e thì ta có ngay tTf m, vì như ta đã biết f là công thức Boolean dương. Nếu t e , ta xây dựng khối r gồm 2 phần tử u và v như sau:
( )1 , (2),..., (n)y id
u y y y
, vz( )1,z( )2 ,...,z( )n z id sao cho a u v , t
(nghĩa là a yi ( )i ,z( )i ti,1 i n). Sự tồn tại của các phần tử u và v như trên là do tính chất của các ánh xạ i đã nói tới ở trên. Như vậy r là khối có 2 phần tử và
, ,
r F m
T e t T , với e là phần tử của khối mà mọi giá trị thành phần đều bằng 1.
Từ đó suy ra r F m , . Theo giả thiết thì từ r F m , r f m , , do đó
,
r f m
T T (1) . Từ bao hàm thức (1) ta suy ra tTf m, .
Trong trường hợp tập id { }x , khi đó khối suy biến thành quan hệ và định lý m-tương đương ở trên lại trở thành định lý tương đương trong mô hình dữ liệu quan hệ. Cụ thể, ta có hệ quả sau:
Hệ quả 2.4
Cho tập PTBDĐT F và một PTBDĐT f , Rid A A; , 1 2,..., An, r(R) là một khối trên R, m B. Khi đó nếu id { }x thì khối r suy biến thành quan hệ và ba mệnh đề sau là tương đương:
(i) F m f (suy dẫn logic), (ii)
F m f (suy dẫn theo quan hệ), (iii)
F 2,m f (suy dẫn theo quan hệ có không quá 2 phần tử).
2.4.5. Bao đóng tập phụ thuộc Boolean dương đa trị Định nghĩa 2.10
Cho Rid A A; , 1 2,..., An, r(R) là một khối trên R, ( )
1 n
i i
U id
, mB,
là tập con các PTBDĐT trên U, ta kí hiệu (,m)+ là tập tất cả các PTBDĐT được m-suy dẫn từ , nói một cách khác:
, ,
(,m) {gMVP U | m g} {gMVP U |Tm Tg m}. Định nghĩa 2.11
Cho Rid A A; , 1 2,..., An, r(R) là một khối trên R, ( )
1 n
i i
U id
,mB ta kí hiệu MBDĐT(r,m) là tập tất cả các PTBDĐT m-đúng trong r, nói một cách khác:
, | ,
MBDĐT r m g MVP U r g m
Như vậy, ta có: gMBDĐT r m , g MVP U Tr Tg m, . Định lý 2.6
Cho Rid A A; , 1 2,..., An, r(R) là một khối trên R, ( )
1 n
i i
U id
,mB. Khi đó ta có: MBDĐT r m m , , MBDĐT r m , .
Chứng minh:
Theo định nghĩa, ta có:
MBDĐT r m m, , {g MVP U MBDĐT r m | , mg} (1) Áp dụng kết quả của định lý ba mệnh đề tương đương cho PTBDĐT, ta lại có:
gMVP U |MBDĐT r m, mgg MVP U MBDĐT r m | ( , )mg(2) Từ (1) và (2) ta suy ra: MBDĐT r m m , , MBDĐT r m , .
Vậy hai tập MBDĐT r m m , , và MBDĐT r m , là hai tập PTBDĐT m-tương đương trên khối.
Hệ quả 2.5
Cho Rid A A; , 1 2,..., An, r(R) là một khối trên R, mB. Khi đó, nếu
id x thì khối r suy biến thành quan hệ và ta có trong mô hình dữ liệu quan hệ:
MBDĐT r m m, , MBDĐT r m , .
2.4.6. Thể hiện và thể hiện chặt tập phụ thuộc Boolean dương đa trị Định nghĩa 2.12
Cho Rid A A; , 1 2,..., An, r(R) là một khối trên R, ( )
1 n
i i
U id
,mB ,
là tập con các PTBDĐT trên U.
Ta nói khối r là m-thể hiện tập nếu MBDĐT r m , ( ,m) và khối r là m-thể hiện chặt tập nếu MBDĐT r m , ( ,m).
Nếu khối r là m-thể hiện chặt tập PTBDĐT thì ta nói r là khối m- Armstrong của tập PTBDĐT .
Định lý 2.7
Cho Rid A A; , 1 2,..., An, mB. Khi đó, với mọi khối r(R) khác rỗng trên R ta có: Tr TMBDĐT r m m , , .
Chứng minh:
Giả sử gMBDĐT r m , r là m-thỏa g Tr Tg m, . Từ khối Tr và giá trị m, theo định lý 2.1 ta tìm được một công thức Boolean đa trị f thỏa điều kiện:
1
f e và Tf m, Tr. Như vậy: e T r Tf m, nên f là một CTBDĐT và hơn nữa do Tr Tf m, r là m-thỏa f, nghĩa là: f MBDĐT r m , .
Ta kí hiệu: F MBDĐT r m , , từ chứng minh trên ta có:
, r g m, r g m, g F
g MBDĐT r m T T T T
(3)
, : r f m, r g m, g F
f MBDĐT r m T T T T
(4)
Từ (3) và (4) ta suy ra: r g m, F m,
g F
T T T
Vậy: Tr TMBDĐT r m m , , .
Hệ quả 2.6
Cho Rid A A; , 1 2,..., An, r(R) là một khối trên R, m B. Khi đó, nếu
id x thì khối r suy biến thành quan hệ và ta có trong mô hình dữ liệu quan hệ: Tr TMBDĐT r m m , , .
Định lý 2.8
Cho Rid A A; , 1 2,..., An, ( )
1 n
i i
U id
, m B, là tập con các PTBDĐT trên U. Khi đó, với mọi khối r(R) khác rỗng trên R ta có: r là m-thể hiện chặt tập PTBDĐT khi và chỉ khi Tr T,m.
Chứng minh:
Theo định nghĩa, ta có: r là m-thể hiện chặt
, ( , ) , m
MBDĐT r m m MBDĐT r m
.
Mặt khác: MBDĐT r m , m TMBDĐT r m m , , T,m (5)
Áp dụng kết quả của định lý 2.4 ta được: Tr TMBDĐT r m m , , (6) Vậy từ (5) và (6) ta suy ra: Tr T,m.
Do đó: r là m-thể hiện chặt tập Tr T,m. Hệ quả 2.7
Cho Rid A A; , 1 2,..., An, r(R) là một khối trên R, ( )
1 n
i i
U id
,mB ,
là tập con các PTBDĐT trên U. Khi đó, nếu id x thì khối r suy biến thành quan hệ và ta có trong mô hình dữ liệu quan hệ: mọi quan hệ r khác rỗng trên R là m-thể hiện chặt tập PTBDĐT khi và chỉ khi Tr T,m.
Hệ quả này chính là kết quả mà ta đã biết trong mô hình dữ liệu quan hệ.