CHƯƠNG 3. PHỤ THUỘC BOOLEAN DƯƠNG THEO NHÓM BỘ
3.3. Phụ thuộc Boolean dương đa trị theo nhóm bộ trong mô hình dữ liệu dạng khối
3.3.1. Phép gán trị Định nghĩa 3.7
Cho lược đồ khối R = (id; A1,A2,...,An ), r(R) là một khối trên R, mỗi miền trị di của thuộc tính Ai (cũng là của thuộc tính chỉ số x(i), x id), 1 i n, có chứa ít nhất p (p 2) phần tử. Khi đó, với mỗi miền trị di ta xét ánh xạ: i:(di)p B thỏa các tính chất sau:
- Tính phản xạ: a (di)p: i(a) = 1, nếu trong a có ít nhất hai thành phần giống nhau.
- Tính giao hoán: a (di)p: i(a) = i(a’), trong đó a’ là một hoán vị của a.
- Tính bộ phận: m B, a (di)p: i(a) = m.
Như vậy, ta thấy các ánh xạ i chính là phép đánh giá trên p giá trị của di
thỏa các tính chất phản xạ và giao hoán. Quan hệ đẳng thức là một trường hợp riêng của quan hệ này.
3.3.2. Khối chân lý đa trị theo nhóm bộ của khối dữ liệu Định nghĩa 3.8
Cho R = (id; A1,A2,...,An ), r(R) là một khối trên R, mỗi miền trị di của thuộc tính Ai (cũng là của thuộc tính chỉ số x(i), x id,1 i n), có chứa ít nhất p phần tử, i là các phép đánh giá trên p (p 2) giá trị ứng với mỗi miền trị di,của thuộc tính chỉ số x(i), x id, 1 i n. Với mỗi nhóm p phần tử: u1, u2, ..., up tùy ý (không nhất thiết phân biệt) trên khối, ta gọi (u1, u2, ..., up) là phép gán trị:
(u1, u2, ..., up) = (tx1, tx2, ..., txn) trong đó txi = i(u1.x(i), u2.x(i), ..., up.x(i)),
x id, 1 i n. Khi đó, với mỗi khối r ta kí hiệu khối chân lý đa trị theo nhóm bộ của khối r là Tr:
Tr = {(u1, u2, ..., up) | uj r, 1 j p}.
Trong trường hợp tập id ={x}, khi đó khối suy biến thành quan hệ và khái niệm khối chân lý đa trị theo nhóm bộ của khối lại trở thành khái niệm bảng chân lý đa trị theo nhóm bộ của quan hệ trong mô hình dữ liệu quan hệ. Nói một cách khác, khối chân lý đa trị theo nhóm bộ của khối là mở rộng khái niệm bảng chân lý đa trị theo nhóm bộ của quan hệ trong mô hình dữ liệu quan hệ.
Ví dụ 3.3: Cho khối dữ liệu R = ({1, 2, 3}; A1, A2, A3), r là một khối trên R, trong đó id ={1, 2, 3} là thuộc tính chỉ số tương ứng là Mùa hè, Mùa xuân, Mùa đông. Tập trị B ={0, 0.3, 0.7, 1}, m B. Ta kí hiệu A1: Bánh mì, A2: Bơ, A3: Sữa là các thuộc tính của khối được gán trị như sau:
r: Ban_hang_DTNB
Hình 3.3: Khối dữ liệu r: Ban_hang_DTNB
Mùa đông (3)
L2 L2
CC L2
CC CC
L1 L1
CC CC
L2 L2
L2 null
CC CC
CC null
Bánh mì (A1)
Bơ (A2)
Mùa xuân (2) Mùa hè (1)
t1
t2
t3
L2 L2
L2 null
null
CC
t4
CC
L2
L2 L2 L2
null CC CC
null
null
null Sữa (A3)
L2
L2 L1
L2 L2
tn CC
L2 null L1
L1 …
… … …
… …
… …
…
…
Xét p = 3, với miền trị di, xét ánh xạ i: (di)3 {0, 0.3, 0.7, 1}, i = 1, 2, 3.
Khi đó a (di)3 ta quy ước phép gán trị:
- i(a) = 1 nếu trong a có ít nhất 2 giá trị giống nhau;
- i(a)= 0.7 nếu trong a có ít nhất 2 giá trị đôi một khác nhau;
- i(a)= 0.3 nếu trong a có 1 giá trị;
- i(a)= 0 nếu trong a toàn giá trị null.
Khi đó, kết quả phép gán trị trên khối Tr_dtnb như sau:
Tr_dtnb:
Hình 3.4: Khối chân lý Tr_dtnb
Nhận xét: Qua khối chân lý Tr_dtnb, mối quan hệ mức tiêu thụ giữa bánh mì, bơ và sữa như sau:
- Mùa hè: cứ 6 nhóm mua bánh mì (có ít nhất 2 người cùng mua loại hàng CC hoặc L1 hoặc L2 - gọi tắt là cùng loại) thì có 4 nhóm mua kèm bơ (cùng loại), 2 nhóm mua bơ (khác loại CC hoặc L1, hoặc L2 - gọi tắt là khác loại) và 3 nhóm mua kèm sữa (cùng loại), 3 nhóm mua kèm sữa (khác loại).
Mùa đông (3) Bánh mì
(A1)
Bơ (A2)
Mùa xuân (2) Mùa hè (1)
(t1, t2, t3)
Sữa (A3)
1 1
1 0.3
0.7
1 0.3 0.7 1 …
… … …
… …
… …
…
…
1 1
1 1
1 0.7
0.7 0.7
1 0.3
1 1
1 0
1 1
1 0.7
1
0.7
1 0.3
1
1
1
1
1 0 0.7 0.7
1 1
0.3
0
0.3
0.7
1 1
0.7 0.7
1 0.3 1
1 0
(t1, t2, t4)
(t1, t2, tn)
(t2, t3, t4)
(t2, t3, tn)
(t3, t4, tn)
- Mùa xuân: cứ 6 nhóm mua bánh mì thì có 3 nhóm mua kèm bơ (cùng loại), 3 nhóm mua kèm bơ (khác loại) và 3 nhóm chỉ có 1 người mua kèm sữa, 3 nhóm không người nào mua kèm sữa.
- Mùa đông: cứ 6 nhóm (3 người) mua bánh mì thì chỉ có 1 nhóm mua kèm bơ (khác loại), 4 nhóm chỉ có 1 người mua kèm bơ, 1 nhóm không mua kèm bơ nhưng cả 6 nhóm cùng mua kèm sữa (cùng loại).
Căn cứ vào số liệu trên, ta thấy: vào mùa hè các nhóm khách hàng thường xuyên mua bánh mì cùng loại thì thường có xu hướng mua kèm kèm bơ (cùng loại) nhiều hơn so với mua kèm sữa, vào mùa xuân nhóm khách hàng có xu hướng mua bánh mì kèm bơ vẫn nhiều hơn mua kèm sữa nhưng giảm hơn so với mùa hè. Tuy nhiên, vào mùa đông thì ngược lại, nhóm khách hàng có xu hướng mua bánh mì kèm sữa nhiều hơn so với mua kèm bơ. Do đó, việc theo dõi theo nhóm khách hàng và theo mùa rất có ích cho các nhà quản lý trong việc chăm sóc khách hàng và sắp xếp các mặt hàng cho phù hợp hơn đối với từng nhóm khách hàng.
3.3.3. Phụ thuộc Boolean dương đa trị theo nhóm bộ của khối dữ liệu Định nghĩa 3.9
Cho lược đồ khối R = (id; A1,A2,...,An ), r(R) là một khối trên R, mỗi miền trị di của thuộc tính Ai (cũng là của thuộc tính chỉ số x(i), x id,1 i n), có chứa ít nhất p (p 2) phần tử, i là các phép đánh giá trên p giá trị ứng với mỗi miền trị di. Với các phép đánh giá i trên miền trị của thuộc tính chỉ số x(i), xid, 1 i n, thì một phụ thuộc Boolean dương đa trị theo nhóm bộ là một công thức Boolean dương đa trị trong MVP(U) với ( )
1 n
i i
U id
.
Cho trị m B, ta nói khối r là m-thỏa phụ thuộc Boolean dương đa trị theo nhóm bộ (PTBDĐTTNB) f và kí hiệu r(f,m) nếu Tr Tf, m.
Khối r là m-thỏa tập PTBDĐTTNB F và kí hiệu r(F,m) nếu khối r là m-thỏa mọi phụ thuộc f trong F:
r(F,m) f F: r(f,m) Tr TF,m .
Nếu có r(F,m) ta cũng nói tập PTBDĐTTNB F là m-đúng trong khối r.
Cho tập PTBDĐTTNB F và một PTBDĐTTNB f:
- Ta nói F là m-dẫn ra được f theo khối và kí hiệu F├(m) f nếu:
r: r(F,m) r(f,m).
- Ta nói F là m-dẫn ra được f theo khối có không quá p phần tử rp và kí hiệu F├ p(m) f nếu:
rp : rp(F,m) rp(f,m).
Ví dụ 3.4:
Cho khối dữ liệu R = ({1, 2, 3}; A1, A2, A3), r là một khối trên R đã cho ở ví dụ 3.3.
r: Ban_hang_DTNB
Yêu cầu: Tìm phụ thuộc dữ liệu trên các thuộc tính A1, A2, A3 (cũng là của thuộc tính chỉ số x(i), xid).
Với quy ước phép gán trị các cặp các phần tử đã cho ở như ví dụ 3.3:
Xét p = 3, với miền trị di, xét ánh xạ i: (di)3 {0, 0.3, 0.7, 1}, i = 1, 2, 3.
Khi đó a (di)3:
Mùa đông (3)
L2 L2
CC L2
CC CC
L1 L1
CC CC
L2 L2
L2 null
CC CC
CC null
Bánh mì (A1)
Bơ (A2)
Mùa xuân (2) Mùa hè (1)
t1
t2
t3
L2 L2
L2 null
null
CC
t4
CC
L2
L2 L2 L2
null CC CC
null
null
null Sữa (A3)
L2
L2 L1
L2 L2
tn CC
L2 null L1
L1 …
… … …
… …
… …
…
…
Khi đó a (di)3 ta quy ước phép gán trị:
- i(a) = 1 nếu trong a có ít nhất 2 giá trị giống nhau;
- i(a)= 0.7 nếu trong a có ít nhất 2 giá trị đôi một khác nhau;
- i(a)= 0.3 nếu trong a có 1 giá trị;
- i(a)= 0 nếu trong a toàn giá trị null.
Giả sử, xét các công thức trên các thuộc tính A1, A2, A3 (cũng là của thuộc tính chỉ số x(i), x(i) = (x, Ai), xid): f1: x(1)p x(2); f2: x(1)px(2)x(3); f3: x(1)p,0.7x(2)x(3).
Ta lập khối chân lý Tf,m gồm các thuộc tính A1, A2, A3 (cũng là của thuộc tính chỉ số x(i), xid) và các thuộc tính thỏa các công thức f1: x(1)p x(2); f2: x(1)px(2)x(3); f3: x(1)p,0.7x(2)x(3)
Ta được khối chân lý Tf_dtnb, m như sau Tf_dtnb, m:
Hình 3.5: Khối chân lý Tf_dtnb,m
- Xét công thức: f1: x(1)px(2): Áp dụng định nghĩa phụ thuộc Boolean dương theo nhóm bộ ta có:
Mùa đông (3) Bánh mì
(A1)
Bơ (A2)
Mùa xuân (2) Mùa hè (1)
(t1, t2, t3)
Sữa (A3)
1 1
1 0.3
0.7
1 0.3 0.7 1 …
… … …
… …
… …
…
…
1 1
1 1
1 0.7
0.7 0.7
1 0.3
1 1
1 0
1 1
1 0.7
1
0.7
1 0.3
1
1
1 1
1 0
0.7 0.7
1 1
0.3
0
0.3 0.7
1 1
0.7 0.7
1 0.3 1
1 0
(t1, t2, t4)
(t1, t2, tn)
(t2, t3, t4)
(t2, t3, tn)
(t3, t4, tn)
x(1)px(2)
x(1)px(2)x(3)
x(1)p,0.7x(2)x(3)
1 1
1 1
1
1 1 1 …
… … …
… …
…
… …
1 1
0 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
0 1
1 1
0 1
0
1 1 1
1 1 1 1
1
1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1 1 1
+ Với lắt cắt 1: Do có nhóm p phần tử(t1, t2, tn) = 0.
+ Với lắt cắt 3: Do có nhóm p phần tử(t1, t2, tn) = 0, (t2, t3, tn) = 0.
Do đó Tr Tf1 nên công thức x(1)px(2) không là công thức Boolean dương theo nhóm bộ. Nói cách khác r không thỏa phụ thuộc Boolean dương theo nhóm bộ trên f1.
- Xét công thức: f2: x(1)px(2)x(3):
+ Với lắt cắt 1: Do có nhóm p phần tử:(t2, t3, tn) = 0.
Do đó Tr Tf2 nên công thức x(1)px(2)x(3) không là công thức Boolean dương theo nhóm bộ. Nói cách khác r không thỏa phụ thuộc Boolean dương theo nhóm bộ trên f2.
- Xét công thức Boolean: f3: x(1)p,0.7x(2) x(3) :
Do có tất cả các nhóm p phần tử tùy ý có phép gán trị đều bằng 1 trên mọi lắt cắt. Do đó Tr Tf3. Theo Định nghĩa 3.3, tồn tại phụ thuộc Boolean dương đa trị theo nhóm bộ f3: x(1)p,0.7x(2) x(3) trên khối. Nói cách khác r thỏa phụ thuộc Boolean dương đa trị theo nhóm bộ f3.
Trong trường hợp đặc biệt, khi x = 2, khối suy biến thành quan hệ, các công thức f1: x(1)p x(2); f2: x(1)px(2)x(3); f3: x(1)p,0.7x(2)x(3) có tất cả các nhóm p phần tử tùy ý có phép gán trị đều bằng 1, do đó, các công thức f1, f2 lại trở thành phụ thuộc Boolean dương theo nhóm bộ trên mô hình dữ liệu quan hệ và , f3 lại trở thành phụ thuộc Boolean dương đa trị theo nhóm bộ trên mô hình dữ liệu quan hệ.
Ta có định lý tương đương sau:
Định lý 3.3
Cho R = (id; A1,A2,...,An ), r(R) là một khối trên R, mỗi miền trị di của thuộc tính Ai (cũng là của thuộc tính chỉ số x(i), x id,1 i n), có chứa ít nhất p (p 2) phần tử, i là các phép đánh giá trên p giá trị ứng với mỗi miền trị di của thuộc tính chỉ số x(i), x id, 1 i n, tập PTBDĐTTNB F và một PTBDĐTTNB f . Khi đó ba mệnh đề sau là tương đương:
(i). F╞ (m) f (suy dẫn logic), (ii). F├ (m) f (suy dẫn theo khối),
(iii). F├ p (m) f (suy dẫn theo khối có không quá p phần tử).
Chứng minh
(i) (ii): Ta cần chứng minh: F ╞ (m) f F ├ (m) f .
Thật vậy, theo giả thiết ta có F ╞ (m) f TF,m Tf,m . (1) Giả sử r là một khối bất kì m-thỏa F: r(F,m), khi đó theo định nghĩa:
Tr,m TF,m (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra: Tr,m Tf,m , do đó: r(f,m).
Như vậy từ r(F,m) ta suy ra r(f,m): r(F,m) r(f,m) nghĩa là: F ├(m) f.
Vậy ta có: F ╞ (m) f F ├ (m) f.
(ii) (iii): Ta cần chứng minh: F├ (m) f F├ p (m) f.
Hiển nhiên, vì suy dẫn theo khối có không quá p phần tử là trường hợp đặc biệt của suy dẫn theo khối.
(iii) (i): Ta cần chứng minh: F├ p (m) f F╞ (m) f.
Thật vậy, từ giả thiết F├ p (m) f nghĩa là với mọi khối rp có không quá p phần tử ta có: rp(F,m) rp(f,m), ta cần chứng minh F╞ (m) f nghĩa là TF,m Tf,m.
Giả sử t = (tx1, tx2, ..., txn)xid , t TF,m, ta chứng minh t Tf,m.
Nếu t = e thì ta có ngay tTf,m vì như ta đã biết f là công thức Boolean dương đa trị.
Nếu t e, ta xây dựng khối r gồm p phần tử như sau:
Từ tính chất bộ phận của ánh xạ i: (di)p B thì với mỗi thuộc tính chỉ số x(i), xid, 1 i n ta có:
axi(di)p: axi = (axi1, axi2, ..., axip) sao cho i(axi) = txi. Khi đó, với mỗi thuộc tính chỉ số x(i) trong ( )
1 n
i i
U id
, ta điền vào cột thuộc tính chỉ số này của khối r các giá trị axi1, axi2, ..., axip. Theo cách xây dựng khối r đó, ta có: Tr = {e, t} TF,m với e là phép gán trị đơn vị. Như vậy r là khối có p phần tử và m-thỏa tập PTBDĐTTNB F.
Theo giả thiết nếu r là m-thỏa F thì r sẽ m-thỏa f, điều này có nghĩa là:
Tr = {e, t} Tf,m, suy ra: t Tf,m.
Trong trường hợp tập chỉ số id = {x}, khi đó khối suy biến thành quan hệ và định lý tương đương ở trên lại trở thành định lý tương đương trong mô hình dữ liệu quan hệ. Cụ thể, ta có hệ quả sau:
Hệ quả 3.5
Cho R = (id; A1,A2,...,An ), r(R) là một khối trên R, mỗi miền trị di của thuộc tính Ai (cũng là của thuộc tính chỉ số x(i), x id,1 i n), có chứa ít nhất p (p 2) phần tử, i là các phép đánh giá trên p giá trị ứng với mỗi miền trị di, 1 i n, tập PTBDĐTTNB F và một PTBDĐTTNB f. Khi đó nếu id = {x} thì khối r suy biến thành quan hệ và ba mệnh đề sau là tương đương:
(i) F ╞ (m) f (suy dẫn logic),
(ii) F ├ (m) f (suy dẫn theo quan hệ),
(iii) F ├ (m)p f (suy dẫn theo quan hệ có không quá p phần tử).
Đây chính là một kết quả đã được chứng minh trong mô hình dữ liệu quan hệ.
3.3.4. Bao đóng tập phụ thuộc Boolean dương đa trị theo nhóm bộ Định nghĩa 3.10
Cho R = (id; A1,A2,...,An ), r(R) là một khối trên R, ( )
1 n
i i
U id
, m B, mỗi miền trị di của thuộc tính Ai (cũng là của thuộc tính chỉ số x(i), xid,1 i n), có chứa ít nhất p (p2) phần tử, i là các phép đánh giá trên p giá trị ứng với mỗi miền trị di, 1 i n. Với là tập con các PTBDĐTTNB trên U, ta kí hiệu (,m)+ là tập tất cả các PTBDĐTTNB được m-suy dẫn từ , nói một cách khác:
(,m)+ = { f | f MVP(U), ╞ m f } = { f | f MVP(U), T,m Tf,m }.
Định nghĩa 3.11
Cho R = (id; A1,A2,...,An ), r(R) là một khối trên R, ( )
1 n
i i
U id
, m B, mỗi miền trị di của thuộc tính Ai (cũng là của thuộc tính chỉ số x(i), x id,1 i n), có
chứa ít nhất p (p 2) phần tử, i là các phép đánh giá trên p giá trị ứng với mỗi miền trị di, 1 i n. Khi đó ta kí hiệu NMBDĐT(r, m) là tập các PTBDĐTTNB m- thỏa trong khối r, nghĩa là:
NMBDĐT(r,m) = {f | fMVP(U), r(f,m)}.
Mệnh đề 3.3
Cho R = (id; A1,A2,...,An ), r(R) là một khối trên R, ( )
1 n
i i
U id
, m B, mỗi miền trị di của thuộc tính Ai (cũng là của thuộc tính chỉ số x(i), x id,1 i n), có chứa ít nhất p (p 2) phần tử, i là các phép đánh giá trên p giá trị ứng với mỗi miền trị di, 1 i n. Khi đó ta có:
(NMBDĐT(r,m),m)+ = NMBDĐT(r,m).
Chứng minh:
Theo định nghĩa, ta có:
(NMBDĐT(r,m),m)+ = { f | f MVP(P), NMBDĐT(r,m,)╞ m f }
= { f | f MVP(U), T(NMBDĐT(r,m),m) Tf,m }.
Suy ra: (NMBDĐT(r,m),m)+ NMBDĐT(r,m) (3)
Mặt khác, giả sử ta có: g (NMBDĐT(r,m),m)+ , ta cần chứng minh g NMBDĐT(r,m).
Thật vậy, từ giả thiết:
g (NMBDĐT(r,m),m)+ = { f | f MVP(U), T(NMBDĐT(r,m),m) Tf,m }
g MVP(U), T(NMBDĐT(r,m),m) Tg,m.
Mà theo định nghĩa của NMBDĐT(r,m) Tr,m Tg,m khối r là m-thỏa PTBDĐTTNB g.
Từ đó ta có: g (NMBDĐT(r,m).
Suy ra: (NMBDĐT(r,m),m)+ NMBDĐT(r,m) (4) Từ (3) và (4) ta suy ra: (NMBDĐT(r,m),m)+ = NMBDĐT(r,m).
Hệ quả 3.3
Cho R = (id; A1,A2,...,An ), r(R) là một khối trên R, ( )
1 n
i i
U id
, m B, mỗi miền trị di của thuộc tính Ai (cũng là của thuộc tính chỉ số x(i), x id,1 i n), có chứa ít nhất p (p 2) phần tử, i là các phép đánh giá trên p giá trị ứng với mỗi miền trị di, 1 i n. Khi đó, nếu id = {x} thì khối r suy biến thành quan hệ và ta có trong mô hình dữ liệu quan hệ: (NMBDĐT(r,m),m)+ = NMBDĐT(r,m).
Mệnh đề 3.4
Cho R = (id; A1,A2,...,An ), r(R) là một khối trên R, ( )
1 n
i i
U id
, m B, mỗi miền trị di của thuộc tính Ai (cũng là của thuộc tính chỉ số x(i), x id,1 i n), có chứa ít nhất p (p 2) phần tử, i là các phép đánh giá trên p giá trị ứng với mỗi miền trị di, 1 i n. Khi đó ta có: Tr = T(NMBDĐT(r,m),m).
Chứng minh:
Theo định nghĩa của tập các PTBDĐTTNB là NMBDĐT(r,m) ta có:
nếu f NMBDĐT(r,m) khối r là m-thỏa PTBDĐTTNB f Tr Tf,m.
Theo tính chất về tương quan giữa các công thức Boolean và khối chân lý, từ khối chân lý Tr ta tìm được một công thức Boolean đa trị h sao cho: Th,m = Tr. Mặt khác, vì e Tr = Th,m nên h là công thức Boolean dương đa trị.
Từ đẳng thức: Tr = Th,m ta suy ra khối r là m-thỏa PTBDĐTTNB h, nghĩa là h NMBDĐT(r,m).
Vậy suy ra: NMBDĐT(r,m)╞m h .
Do đó ta có: T(NMBDĐT(r,m),m) Th,m = Tr T(NMBDĐT(r,m),m) Tr (5) Từ định nghĩa của NMBDĐT(r,m) ta có: Tr T(NMBDĐT(r,m),m) (6) Kết hợp (5) và (6) ta suy ra: Tr = T(NMBDĐT(r,m),m).
Hệ quả 3.4
Cho R = (id; A1,A2,...,An ), r(R) là một khối trên R, ( )
1 n
i i
U id
, m B, mỗi miền trị di của thuộc tính Ai (cũng là của thuộc tính chỉ số x(i), x id,1 i n), có chứa ít nhất p (p 2) phần tử, i là các phép đánh giá trên p giá trị ứng với mỗi
miền trị di, 1 i n. Khi đó, nếu id = {x} thì khối r suy biến thành quan hệ và ta có trong mô hình dữ liệu quan hệ:
Tr = T(NMBDĐT(r,m),m). 3.3.5. Thể hiện, thể hiện chặt
Định nghĩa 3.12
Cho R = (id; A1,A2,...,An ), r(R) là một khối trên R, ( )
1 n
i i
U id
, m B, mỗi miền trị di của thuộc tính Ai (cũng là của thuộc tính chỉ số x(i), xid,1 i n), có chứa ít nhất p (p 2) phần tử, i là các phép đánh giá trên p giá trị ứng với mỗi miền trị di, 1 i n. Ta nói khối r là m-thể hiện tập PTBDĐTTNB nếu NMBDĐT(r,m) (,m)+ và khối r là m-thể hiện chặt tập PTBDĐTTNB nếu NMBDĐT(r,m) = (,m) +.
Nếu khối r là m-thể hiện chặt tập PTBDĐTTNB thì ta nói r là khối m- Armstrong của tập PTBDĐTTNB .
Định lý 3.5
Cho R = (id; A1,A2,...,An ), r(R) là một khối trên R, ( )
1 n
i i
U id
, m B, mỗi miền trị di của thuộc tính Ai (cũng là của thuộc tính chỉ số x(i), x id,1 i n), có chứa ít nhất p (p 2) phần tử, i là các phép đánh giá trên p giá trị ứng với mỗi miền trị di, 1 i n. Khi đó khối r là m-thể hiện chặt tập PTBDĐTTNB nếu và chỉ nếu Tr = T,m.
Chứng minh:
Sử dụng kết quả của các mệnh đề 3.4 và mệnh đề 3.5 về các PTBDĐTTNB ta có:
(NMBDĐT(r,m),m)+ = NMBDĐT(r,m) và Tr = T(NMBDĐT(r,m),m). Khi đó r là m-thể hiện chặt tập PTBDĐTTNB khi và chỉ khi:
NMBDĐT(r,m) = (,m)+ NMBDĐT(r,m)(m)
T(NMBDĐT(r,m),m) = T,m
Tr =T,m .
Do đó: r là m-thể hiện chặt tập PTBDĐTTNB Tr = T,m.
Hệ quả 3.6
Cho R = (id; A1,A2,...,An ), r(R) là một khối trên R, ( )
1 n
i i
U id
j, m B, mỗi miền trị di của thuộc tính Ai (cũng là của thuộc tính chỉ số x(i), x id,1 i n), có chứa ít nhất p (p 2) phần tử, i là các phép đánh giá trên p giá trị ứng với mỗi miền trị di, 1 i n. Khi đó, nếu id = {x} thì khối r suy biến thành quan hệ và ta có trong mô hình dữ liệu quan hệ: r là m-thể hiện chặt tập PTBDĐTTNB khi và chỉ khi Tr = T,m.