5.2.1. Phương pháp biểu diễn điểm trong không gian 3 chiều.
Việc biểu diễn và hiển thị đối tƣợng trong không gian 3 chiều là cơ sở nền tảng cho việc hiểu và nắm bắt đƣợc hình dạng của đối tƣợng. Qua phép biểu diễn chúng ta có thể quan sát đƣợc đối tƣợng từ tất cả các góc, cũng nhƣ thao tác một cách dễ dàng lên các đối tượng này. Việc tương tác như quay, tịnh tiến, tỉ lệ... lên các đối tƣợng phức tạp có thể chỉ đơn giản bằng cách nhấn chuột lên các đối tƣợng và kết quả đƣợc hiển thị ngay trên màn hình.
Các đối tƣợng trong đồ họa 3D đƣợc mô tả nhƣ tập các điểm trong một mặt phẳng. Các điểm được biểu diễn thông qua tọa độ của chúng viết dưới dạng các ma trận hay còn được gọi là các vector vị trí. Có 2 phương pháp biểu diễn các ma trận mà các phép biến đổi đồ họa trên đó là như nhau bao gồm phương pháp biểu diễn tọa độ theo ma trận 1 hàng 3 cột và ma trận 3 hàng 1 cột.
hoặc là
z y x
Tập các điểm được lưu trữ trong máy tính dưới dạng các ma trận hay chuỗi điểm mà vị trí của chúng quyết định hình dạng của đường thẳng, đường cong hay ảnh sẽ dễ dàng kiểm soát thông qua các phép biến đổi. Phép biến đổi đồ họa được mô tả dưới dạng các ma trận tương ứng cho phép thể hiện các sự biến đổi tọa độ của các điểm qua các phép toán nhân ma trận. Điều đó tạo điều kiện thuận lợi cho người sử dụng hình dung cũng như thao tác với các đối tƣợng hình học một cách dễ dàng và đó cũng là một trong những tính năng mạnh của đồ họa máy tính.
129
5.2.2. Phương pháp biểu diễn sử dụng hệ tọa độ đồng nhất.
Phép biểu diễn thông qua ma trận 3x3 thỏa mãn với mọi phép biến đổi nhƣ quay, tỉ lệ, đối xứng, biến dạng. Điều đó có nghĩa chúng ta luôn có thể xây dựng đƣợc một ma trận tổng hợp từ các phép biến đổi thành phần. Tuy nhiên các phép tịnh tiến trong mặt phẳng 3 chiều được mô tả bởi 3 phương trình sau:
x‘= x + tx
y‘= y + ty
z‘= z + tz
thì không thể biểu diễn thông qua ma trận biến đổi 3x3. Nhƣ vậy với quá trình biến đổi mà trong đó tồn tại phép tịnh tiến thì khả năng đƣa ra một ma trận biến đổi tổng hợp duy nhất là không thể. Điều đó buộc chúng ta phải tìm ra một giải pháp mới hữu hiệu hơn mà trong đó phép biểu diễn điếm thông qua các ma trận đồng nhất là một giải pháp tối ƣu.
Phương pháp biểu diễn mở rộng thông qua tọa độ đồng nhất của các vector vị trí không đồng nhất [x y z] là ứng dụng của phép chiếu hình học
mà ở đó tọa độ điểm được mô tả dưới dạng ma trận
[hx hy hz h] và h là một số thực tùy ý. Để đơn giản chọn h = 1. Vậy một điểm trong mặt phẳng ở hệ tọa độ đồng nhất sẽ có 4 thành phần là
[x y z 1]. Các phép biến đổi trong mặt phẳng được biểu diễn dưới dạng
[ X‘ ] = [X ] * [ T ]
trong đó [ X‘] = [x‘ y‘ z‘ 1], [ X] = [x y z 1], [T] là ma trận vuông cấp 4.
Có thể cải tiến các ma trận vuông cấp 3 trong các phép biến đổi thành ma
trận vuông cấp 4 mà không làm thay đổi đến các phép biến đổi bằng cách thêm
1 hàng, 1 cột vào ma trận.
130
5.2.3. Công thức biến đổi Affine.
Phép biến đổi affine là phép biến đổi tuyến tính tọa độ điểm đặc trưng của đối tượng thành tập tương ứng các điểm mới để tạo ra các hiệu ứng cho toàn đối tƣợng.
[ X‘ ] = [ X ] * [ M ]
Với M4x4 là ma trận biến đổi .
] 1 [
] 1 ' ' '
[x y z x y z *
s n m l
r j i g
q f e d
p c b a
Một số tính chất của các phép biến đổi ba chiều :
- Tính chất đường thẳng được bảo toàn. Nghĩa là, một đường thẳng trong không gian ba chiều khi biến đổi sẽ thành một đường thẳng.
- Tính song được bảo toàn. Nghĩa là, hai đường thẳng song khi biến đổi cũng sẽ thành hai đường thẳng song.
- Tính tỉ lệ về khoảng cách đƣợc bảo toàn. Nghĩa là, ảnh của một điểm P chia đoạn thẳng AB theo tỉ lệ f, sẽchia đoạn thẳng A‘B‘ theo tỉ lệ f, với A‘B‘ là ảnh
của đoạn thẳng AB.
Hình 5.4 Một cảnh ba chiều được tạo nhờ các phép biến đổi
131
5.2.4. Các hệ trục tọa độ theo quy ƣớc bàn tay phải và bàn tay trái
Hệ tọa độ Descartes ba chiều có thể định nghĩa theo quy ƣớc bàn tay trái hoặc bàn tay phải.
Hình 5.5(a)Các hệ tọa độ theo quy ước bàn tay phải, (b) quy ước bàn tay trái Định nghĩa:
- Hệ tọa độ theo quy ƣớc bàn tay phải là hệ tọa độ với các trục x, y, z thỏa điều kiện: Nếu để bàn tay phải sao cho ngón cái hướng cùng chiều với trục z, khi nắm tay
lại, chiều các ngón tay chuyển động theo hướng từ trục x đến trục y.
- Hệ tọa độ theo quy ƣớc bàn tay trái là hệ tọa độ với các trục x, y, z thỏa điều
kiện: Nếu để bàn tay trái sao cho ngón cái hướng cùng chiều với trục z, khi nắm tay
lại, chiều các ngón tay chuyển động theo hướng từ trục x đến trục y.