Phân bố ứng suất dưới đáy móng dựa theo lý thuyết đàn hồi

2.6 PHÂN BỐ ỨNG SUẤT DƯỚI ĐÁY MÓNG

2.6.2 Phân bố ứng suất dưới đáy móng dựa theo lý thuyết đàn hồi

Theo Bousinespq, đối với tải trọng tập trung tác dụng lên nền đất, chuyển

vị tại điểm M(x,y,z) trong nền đất là:

P(1 )  z 3 2(1 ) 

w(x, y, z) = 2E  R 3  

Đối với các điểm nằm trên mặt đất thì:

w(x, y, z) = P ( 1    2  )

ER

a. Phân bố ứng suất dưới đáy móng cứng

Các giả thiết:

- Móng luôn tiếp xúc với mặt nền, do đó chuyển vị theo chiều thẳng đứng của một điểm trên mặt nền (trong phạm vi đáy móng) đều bằng độ lún của điểm tương ứng tại đáy móng.

R

hm

Q

- Giữa tải trọng bên ngoài và phản lực toàn bộ của đất nền đối với móng có

sự căn bằng tĩnh học. Phản lực của đất nền có độ lớn bằng áp lực đáy móng nhưng ngược chiều.

Dưới tác dụng của áp lực đáy móng trên diện tích dF là p(,).d.d chuyển vị thẳng đứng dw của một điểm M(x,y) nào đó trên mặt đất nền (z=0) là:

dw  p ( , ) .d.d 1   2

.E.R

dw  p ( , ) .d .d

.C.R

đặt C = dw  E

1   2  ta có

Dưới tác dụng của toàn bộ áp lực đáy móng trên diện tích dF, chuyển vị của M:

w  1

.C F p (  ,  ) . d  . d 

x  2  y  2

(1)

sau: Đối với móng cứng chuyển vị w của điểm M sẽ có dạng đường thẳng như

w = A.x + B.y + D (2) Ngoài ra điều kiện căn bằng tĩnh học cho ta các phương trình sau:

 p(, ).d.d  P;

F

 .p(, ).d.d  M y

;

F

 .p(, ).d.d  M

x ;

F

(3) (4) (5)

Giải hệ các phươgn trình (1); (2); (3); (4); (5) trên sẽ xác định được áp lực đáy móng p(x,y).

. Đối với móng tròn chịu tải trọng trung tâm: P

p(x, y)  p

 2 2 1  

Trong đó:

 r 

p - tải trọng trung bình tác dụng trên móng

 - khoảng cách từ điểm đang xét tới tâm đáy móng

r - bán kính đáy móng.

Khi  = 0  po = p/2

Khi  = r  p = ∞

Điều này là không thể có trong thực tế, vì khi áp

lực vượt quá cường độ tiêu chuẩn của đất nền thì Z

đất bị phá hoại  phát sinh biến dạng dẻo  áp

lực sẽ nhỏ hơn rất nhiều so với giá trị tính toán.

. Đối với móng tròn chịu tải trọng lệch tâm P:



3 e.x

 1 p(x, y)  r 2 P

2r r 2  x 2  y yứ

Trong đó: e - độ lệch tâm của tải trọng

x, y - toạ độ của điểm tính ứng suất đáy móng Góc nghiêng của móng:

3(1 2 ).P.e

tg  4Er 3

. Đối với móng cứng hình băng chịu tải trọng trung tâm:

p(x, y)  2 .p

2. x 2

1  

  

 b 

Trong đó: p - tải trọng trung bình tác dụng trên móng

x - toạ độ của điểm tính ứng suất đáy móng

. Đối với móng cứng hình băng chịu tải trọng lệch tâm:

p(x, y)  p 1  2ex 

 b 2  x 2  b1 2

Trong đó : e - độ lệch tâm của tổng hợp các tải trọng P

x - toạ độ của điểm tính ứng suất đáy móng

b1 = b/2

Khi tính toán công trình thực tế đối với các móng cứng để tính toán một cách gần đúng và dễ dàng, Ap lực đáy móng p(x,y) được xác định như sau:

- Đối với móng chịu tải trọng trung tâm:

p(x,y) = P  Q

F

Trong đó: P, Q – tải trọng tập trung tác dụng trên móng, TLBT móng

F – diện tích đáy móng

- Đối với móng chịu tải trọng lệch tâm:

p(x,y) = P Q  P.e x . x  P.e y . y

F J y J x

Trong đó: P - tải trọng lệch tâm tác dụng trên móng

F - diện tích đáy móng

ex - độ lệch tâm của tải trọng P so với trục y

ey - độ lệch tâm của tải trọng P so với trục x

Jx - moment quán tính của tiết diện móng đ/v trục x

Jy - moment quán tính của tiết diện móng đ/v trục y

b. Phân bố ứng suất dưới đáy móng có độ cứng hữu hạn

Dưới tác dụng của toàn bộ áp lực đáy móng trên diện tích dF, chuyển vị w của M:

w  1

.C F p (  ,  ) . d  . d 

x 2 y 2

(1)

Đối với móng có độ cứng hữu hạn ta coi móng như dầm chịu uốn, phương

1



trình vi phân độ võng của dầm có dạng:

4

EJ d z

 b(q

dx 4 x p x ) (2)

Trong đó: qx - tải trọng bên ngoài, phân bố theo chiều rộng b của móng; px

- phản lực ở đáy móng (chưa biết).

Giải 2 phương trình (1) và (2) ta sẽ xác định được áp lực đáy móng p(x).

Các phương pháp giải hệ phương trình trên bao gồm lời giải của các tác giả

như : Gorbunov Pôxadov; Jêmoskin và Ximvulidi (chi tiết tham khảo các tài liệu

cơ học đất).

c. Phân bố ứng suất dưới đáy móng dựa theo mô hình nền Winkler

p(x) = k . y(x) (1) Trong đó: p - áp lực trên đơn vị diện tích

z - chuyển vị đàn hồi theo chiều thẳng đứng

k - hệ số nền.

Phương trình vi phân trục võng của dầm móng :

EJ y(4) = p (x) thay (1) vào ta được:

EJ y(4) = k*  y(x), với k* = kB1 (kN/m2)

EJ y(4) + k*  y(x) = 0 Chia hai vế cho EJ và đặt  4 k *

4EJ (1/m)

Phương trình vi phân cơ bản của móng băng trên nền đàn hồi là:

y( 4) ( x)  44 y( x)  0

Nghiệm tổng quát:

y( x) 

ex

(C1 cos x  C2 sin  x)  e

x(C3 cos x  C4 sin  x)

Phân loại móng băng theo độ cứng

l Loại dầm móng

< /4 Dầm móng ngắn

/4  Dầm móng dài hữu hạn

>  Dầm móng dài vô hạn

. Dầm móng dài vô hạn

Ở hai đầu xa của dầm móng không bị ảnh hưởng của tải đặt tại gốc tọa độ :

x ; y  0  C1 = C2 =0

Do đó: y= C3 e-xcos x + C4 e-xsinx

C3 và C4 được xác định theo các điều kiện biên khác

1. Tải P tập trung tại gốc trục tọa độ O

P

O x Tại gốc O : y

- Góc xoay triệt tiêu  = y’=0  C3 = C4 = C

- Lực cắt V =-E Iy’’’= -P/2  C = P/83EI

Phương trình trục võng của dầm dài vô hạn chịu tải tập trung:

y  1 P

EI 8 3 e

x

(cosx  sin x)  P

2k * A(x )

Từ q(x)=k*y(x) và k*/EI=44

 q(x)= 44EI q( x)  P 

ex (cosx  sin x)  P

2 2 (Ax )

Phương trình góc xoay:   y'  1 P

e EI 4 2

 x

sin x  1 P

EI 4 2 (Bx )

Phương trình moment: M EIy' '  P e x cosx  e x sin x   P C

Phương trình lực cắt: V=-EIy’’’= 

Trong đó:

4

P e x

2

cosx P

2D(x ) 4 (x )

A(x)= e-xcos x + e-xsin x

B(x)= e-xsin x

C(x)= e-xcos x - e-xsin x

D(x)= e-xcos x

2. Moment M0 tập trung tại gốc trục tọa độ O

M0

x

Phương trình trục võng vẫn là:y

y= C3 e-xcos x + C4 e-xsinx Tại gốc O, x=0, y=0  C3 = 0  y= C4 e-xsinx

Và – E Iy’’= M0/2  – E Iy’’x=0 =E I 2C42=M0/2  C4= 0 M

42 EI

Do vậy phương trình trục võng của dầm dài vô hạn chịu moment M0 tập trung tại gốc O:

Phản lực nền

y  M 0

4 2 EI B(x )

q( x) 



M 0 B(x )

Phương trình moment: M  M 0

2

D(x )

2

Trang

5 1 5 1

Phương trình lực cắt: V 

3. Tải phân bố đều

M 0

2

A(x )

Điểm C dưới tải

A C B

a b

Điểm C bên trái tải

C A p a

Điểm C bên phải tải

A p

B

b a

. Dầm móng dài bán vô hạn

Đầu dầm tự do, tải tập trung P1 đầu dầm

Đầu dầm tự do, Moment tập trung M1

đầu dầm

Bảng giá trị các hàm A(x); B(x); C(x) và D(x).

(x) A(x) B(x) C(x) D(x) (x) A(x) B(x) C(x) D(x)

0 1 0 1 1 3.6 -0.0366 -0.0121 -0.0124 -0.0245

0.1 0.9907 0.0903 0.8100 0.9003 3.7 -0.0341 -0.0131 -0.0079 -0.0210

0.2 0.9651 0.1627 0.6398 0.8024 3.8 -0.0314 -0.0137 -0.0040 -0.0177

0.3 0.9267 0.2189 0.4888 0.7077 3.9 -0.0286 -0.0139 -0.0008 -0.0147

0.4 0.8784 0.2610 0.3564 0.6174 4 -0.0258 -0.0139 0.0019 -0.0120

0.5 0.8231 0.2908 0.2415 0.5323 4.1 -0.0231 -0.0136 0.0040 -0.0095

0.6 0.7628 0.3099 0.1431 0.4530 4.2 -0.0204 -0.0131 0.0057 -0.0074

0.7 0.6997 0.3199 0.0599 0.3798 4.3 -0.0179 -0.0124 0.0070 -0.0054

0.9 0.5712 0.3185 -0.0657 0.2527 4.4 -0.0155 -0.0117 0.0079 -0.0038

1 0.5083 0.3096 -0.1108 0.1988 4.5 -0.0132 -0.0109 0.0085 -0.0023

1.1 0.4476 0.2967 -0.1457 0.1510 4.6 -0.0111 -0.0100 0.0089 -0.0011

1.2 0.3899 0.2807 -0.1716 0.1091 4.7 -0.0092 -0.0091 0.0090 -0.0001

1.3 0.3355 0.2626 -0.1897 0.0729 4.8 -0.0075 -0.0082 0.0089 0.0007

1.4 0.2849 0.2430 -0.2011 0.0419 4.9 -0.0059 -0.0073 0.0087 0.0014

1.5 0.2384 0.2226 -0.2068 0.0158 5 -0.0045 -0.0065 0.0084 0.0019

1.6 0.1959 0.2018 -0.2077 -0.0059 5.1 -0.0033 -0.0056 0.0079 0.0023

1.7 0.1576 0.1812 -0.2047 -0.0235 5.2 -0.0023 -0.0049 0.0075 0.0026

1.8 0.1234 0.1610 -0.1985 -0.0376 5.3 -0.0014 -0.0042 0.0069 0.0028

1.9 0.0932 0.1415 -0.1899 -0.0484 5.4 -0.0006 -0.0035 0.0064 0.0029

2 0.0667 0.1231 -0.1794 -0.0563 5.5 0.0000 -0.0029 0.0058 0.0029

2.1 0.0439 0.1057 -0.1675 -0.0618 5.6 0.0005 -0.0023 0.0052 0.0029

2.2 0.0244 0.0896 -0.1548 -0.0652 5.7 0.0010 -0.0018 0.0046 0.0028

2.3 0.0080 0.0748 -0.1416 -0.0668 5.8 0.0013 -0.0014 0.0041 0.0027

2.4 -0.0056 0.0613 -0.1282 -0.0669 5.9 0.0015 -0.0010 0.0036 0.0025

2.5 -0.0166 0.0491 -0.1149 -0.0658 6 0.0017 -0.0007 0.0031 0.0024

2.6 -0.0254 0.0383 -0.1019 -0.0636 6.1 0.0018 -0.0004 0.0026 0.0022

2.7 -0.0320 0.0287 -0.0895 -0.0608 6.2 0.0019 -0.0002 0.0022 0.0020

2.8 -0.0369 0.0204 -0.0777 -0.0573 6.3 0.0019 0.0000 0.0018 0.0018

2.9 -0.0403 0.0132 -0.0666 -0.0534 6.4 0.0018 0.0002 0.0015 0.0017

3 -0.0423 0.0070 -0.0563 -0.0493 6.5 0.0018 0.0003 0.0011 0.0015

3.1 -0.0431 0.0019 -0.0469 -0.0450 6.6 0.0017 0.0004 0.0009 0.0013

3.2 -0.0431 -0.0024 -0.0383 -0.0407 6.7 0.0016 0.0005 0.0006 0.0011

3.3 -0.0422 -0.0058 -0.0306 -0.0364 6.8 0.0015 0.0006 0.0004 0.0010

3.4 -0.0408 -0.0085 -0.0237 -0.0323 6.9 0.0014 0.0006 0.0002 0.0008

3.5 -0.0389 -0.0106 -0.0177 -0.0283 7 0.0013 0.0006 0.0001 0.0007

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

x

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

A(x)-B(x)-C(x)-D(x)

A(ax) B(ax) C(ax) D(ax)