CHƯƠNG 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT QUÁ TRÌNH TIỆN CÓ DAO ĐỘNG HỖ TRỢ
2.8 Khái niệm về khớp nối mềm
2.8.4 Mô hình cơ khí
- Với cơ chế khuếch đại góc vuông thường được sử dụng trong các thí nghiệm nghiên cứu khoa học, hướng dịch chuyển đầu ra của nó là hướng về phía bên trong như thể hiện trong hình 2.8.4 (a). Mặc dù cấu trúc này có thể đáp ứng nhu cầu dịch chuyển, có thể có một thiếu sót cho ứng dụng kỹ thuật nhất định. Ví dụ, công nghệ cần một lực đầu ra được áp dụng trên vòi phun để đạt được hiệu quả niêm phong, để một cơ chế với lạc hậu đầu ra không phù hợp. Do đó, chúng tôi đã thay
21
đổi hướng của đầu ra và chọn một bản lề uốn vòng tròn bên phải thay vì loại góc phải. Sơ đồ cấu trúc kết quả được hiển thị trong Hình 2.8.4 (b) [10]
Hình 2.8.4 (a) Kiểu khớp hình vuông
Hình 2.8.4 (b) Kiểu khớp hình cầu
- Hai điều quan trọng nhất đối với thiết kế khớp mềm là một công thức tỷ lệ
khuếch đại chính xác và biết làm thế nào các tham số ảnh hưởng đến tỷ lệ
khuếch đại.
- Có thể thấy rằng mô hình tỷ lệ khuếch đại của cơ chế kiểu cầu có một mối quan
hệ tốt với độ cứng xoay và độ cứng tịnh tiến của bản lề. Đối với một uốn cong vòng tròn bên phải bản lề Paros và Weisbord[11]đã thiết lập một mô hình tĩnh dựa trên giả định biến dạng nhỏ và dẫn xuất công thức phân tích có thể được đơn giản hóa khi tối thiểu độ dày nhỏ hơn nhiều so với bán kính cắt; và Wu [12]
đã phát triển một công thức tính toán ngắn gọn và chính xác hơn bằng cách sử
22
dụng công thức cơ bản của cơ học vật liệu và lấy góc cung tròn như biến tích phân. Như hình 2.8.5.
Hình 2.8.5: Tham số của khớp mềm
- Độ cứng xoay của bản lề uốn vòng tròn bên phải xung quanh trục z là:
𝐾𝛼 = 𝐸𝑏𝑅2
12𝑓1 (2.5)
𝑓1 = 2𝑠3(6𝑠2+ 4𝑠 + 1) (4𝑠 + 1)2(2𝑠 + 1) +12𝑠4(2𝑠 + 1)
(4𝑠 + 1)52
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛√4𝑠 + 1
- Độ cứng tịnh tiến của bản lề uốn cong vòng tròn bên phải trục x là:
𝐾𝑡 = 𝐸𝑏 𝑓2 (2.6)
𝑓2 = 2(2𝑠+1)
√4𝑠+1 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛√4𝑠 + 1 −𝜋
2
2.8.5.Mô hình hóa các phi tuyến hình học trong khớp mềm uốn cong.
- Công thức cơ học tiêu chuẩn cho dầm dài, mảnh, phẳng dựa trên Euler và Bernoulli giả định rằng các mặt cắt ngang của mặt phẳng vuông góc với chùm trục trung tâm trước khi biến dạng vẫn là mặt phẳng và vuông góc với trục trung tính sau khi biến dạng . Giả định này loại trừ biến dạng cắt ngay cả khi có mặt tải trọng cắt. Một công thức cơ học tiêu chuẩn dựa trên giả định này dẫn đến mối quan hệ chi phối sau đây đối với chùm tia được chỉ ra trong công thức dưới đây:
𝑀𝑧(𝑋) = 𝑀𝑍𝐿+ 𝐹𝑌𝐿(1 − 𝑋) (2.8)
23
- Điều này chỉ hợp lý khi các chuyển vị của chùm tia cực nhỏ Biểu thức chính xác nhất cho trạng thái cân bằng tải có được khi nó được áp dụng trong cấu hình biến dạng của chùm tia, như sau:
𝑀𝑧(𝑋) = 𝑀𝑍𝐿+ 𝐹𝑌𝐿(1 + 𝑈𝑋𝐿− 𝑋) − 𝐹𝑋𝐿(𝑈𝑌𝐿 − 𝑈𝑌(𝑋)) (2.9)
- Áp dụng cân bằng tải trong cấu hình chùm biến dạng là về mặt toán họcvà tương đương về mặt vật lý với việc nhận ra sự đóng góp của xoay vòng giây Tions cho biến dạng dọc trục hoặc công nhận tương đương bảo tồn chiều dài chùm tia, tất
cả đều là phi tuyến hình học quan trọng.
- Thứ hai, chùm cong ρ ( X ) phải được thể hiện bằng vị trítọa độ và biến số dịch chuyển của chùm tia. Đối với biến dạng trong vòng 10% của chiều dài chùm tia,
độ cong có thể xấp xỉ là:
1 𝜌(𝑋) = 𝑌′′(𝑋)(2.9)
- Tuy nhiên, biểu thức chính xác nhất về mặt toán học cho độ cong được đưa ra bởi:
1 𝜌(𝑋) = 𝑌′′(𝑋)
(1−𝑌′′(𝑋)2)1⁄2 (2.10)
- Phân tích các cơ chế uốn trong phạm vi dịch chuyển trung gian chùm U Y (0)
= U Y (0) = 0 để tạo ra các mối quan hệ chuyển vị tải trọng sau đây tại kết thúc tự
do của chùm tia
[
𝐹𝑌𝐿𝐿2
𝐸𝐼𝑍𝑍
𝑀𝑍𝐿𝐿
𝐸𝐼𝑍𝑍
] = [ 12 −6
−6 4 ] [
𝑈𝑌𝐿 𝐿
𝜃𝑍𝐿] 𝑊ℎ𝑒𝑟𝑒 𝜃𝑍𝐿 = 𝑈′𝑌𝐿 (2.11)
- Một cách riêng biệt, người ta có thể áp dụng Định luật Hooke trong Định
hướng X để tạo ra những điều sau đây
𝐹𝑋𝐿
𝐸𝐴 = 𝑈𝑋𝐿
𝐿 (2.12)
→ 𝐹𝑋𝐿.𝐿2
𝐸𝐼𝑍𝑍 = 12
(𝑇 𝐿⁄ )2
𝑈𝑋𝐿
𝐿 (2.13)
- Cùng với nhau, kết quả cuối cùng không thu được bất kỳ phi tuyến hình học nào trong độ uốn của từng chùm, và do đó không giúp dự đoán hướng dẫn chuyển
24
động hành vi của các cơ chế uốn được thảo luận trước đây. Đối với định hướng X , kết quả là chính xác chỉ khi chuyển vị ngang ( U YL và L * θ ZL ) là của thứ tự độ dày T của dầm. Theo hướng ngang hoặc uốn, các mối quan hệ chỉ chính xác khi tải trọng trục F XL không đáng kể và chuyển vị ngang ( U YL và L * θ ZL ) nằm trong 10% chiều dài chùm L . Ngoài ra, người ta có thể sử dụng biểu thức cân bằng tải phi tuyến chính xác và biểu thức độ cong. Thay thế những điều này vào phương trình tạo ra phương trình vi phân hoàn toàn chùm phi tuyến: (2.14)
𝐸𝐼𝑍𝑍𝑌′′(𝑋) (1 − 𝑌′(𝑋)2)1⁄2 =𝑀𝑍𝐿+ 𝐹𝑌𝐿(1 + 𝑈𝑋𝐿− 𝑋)− 𝐹𝑋𝐿(𝑈𝑌𝐿− 𝑈𝑌(𝑋))
- Giải phương trình phi tuyến này, cùng với ranh giới đã nêu trước đó ditions, cho tải cuối chung là không cần thiết về mặt toán học. Đối với tải cuối cùng cụ thể và tiết diện dầm đồng đều, quy trình giải pháp dựa trên tích phân elip được thảo luận chi tiết đáng kể. Tuy nhiên, các giải pháp cuối cùng cho chuyển vị cuối trong phương pháp này phải được lấy bằng số, làm cho nó cũng vậy phức tạp cho thiết kế cơ chế uốn. Giải pháp dịch chuyển cho mọi kết thúc chung tải cũng có thể thu được bằng cách sử dụng phân tích phần tử hữu hạn phi tuyến (FEA) mà kết hợp tất cả các phi tuyến hình học
ở trên. Cả hai giải pháp phi tuyến này phương pháp tiếp cận, mặc dù rất chính xác, cung cấp ít kiến thức thiết kế tham số. Mối quan tâm này được giải quyết, một phần, bởi mô hình cơ thể giả cứng (PRBM). PRBM đại diện cho một tham số gộp mô hình tiếp cận để nắm bắt hành vi dịch chuyển lớn của uốn cong chùm và được lấy từ một quá trình tối ưu hóa sử dụng giải pháp phi tuyến chính xác cho một độ uốn của chùm tia có thể thu được thông qua các tích phân elip hoặc các số khác phương pháp ical. Vì
lý do này, các tham số PRBM phải được tính toán lại cho mọi thay đổi trong điều kiện tải và ranh giới. Sau khi có được, PRBM chính xác nắm bắt các mối quan hệ dịch chuyển tải ngang hướng trên một phạm vi rất lớ phạm vi vị trí: U YL và L * θ ZL của trật tự của chiều dài chùm L . Hơn nữa, n ghi lại sự cứng lại của các hướng DoF khi có tải DoC cũng nh các thành phần động học hoặc hình học thuần túy của các chuyển động lỗi trong direc DoC-tions. Tuy nhiên, giả định tuân thủ gộp vốn có của một loại trừ PRBM bất kỳ biến đổi độ cứng nào theo hướng DoC khi tăng chuyển vị DoF và chuyển động lỗi DoC nhất định. Những quan sát này có nguồn gốc định lượng và minh họa bằng đồ họa sau này trong chương này. Để khắc phục những hạn chế này, cách tiếp cận được trình bày trong chương này là thực hiện
ra một tuyến tính hóa một phần của phương trình điều khiển chùm tia, tức là sử dụng tuyến tính hóa biểu thức gần đúng cho độ cong nhưng biểu thức chính xác phi tuyến cho cân bằng tải. Vì cơ chế uốn thường sử dụng thanh mảnh dài các chùm tia trải qua các chuyển vị DoF nằm trong phạm vi 10% tương ứng chiều dài chùm tia, độ phi tuyến cong của chùm tia không có nhiều ý nghĩa ( < 1% sai số xấp xỉ). Tuy nhiên, sự hiện diện của một lực dọc trục F XL tương đương tải trọng ngang ( F YL và M ZL / L) tạo ra đóng góp lớn tới 10% đến thời điểm uốn tại một mặt cắt nhất định, và do đó
có thể không được bỏ qua. Ngoài ra, như đã lưu ý trước đó, tính phi tuyến hình học
25
liên quan đến cân bằng tải là hoàn toàn tương đương với phi tuyến bảo tồn chiều dài chùm tia, đó là quan trọng để nắm bắt các động học của biến dạng uốn-chùm
Nắm bắt các mối quan hệ dịch chuyển tải ngang hướng trên một phạm vi rất lớn phạm
vi vị trí: U YL và L * θ ZL của trật tự của chiều dài chùm L . Hơn nữa, nó ghi lại sự cứng lại của các hướng DoF khi có tải DoC cũng như các thành phần động học hoặc hình học thuần túy của các chuyển động lỗi trong direc DoC-tions. Tuy nhiên, giả định tuân thủ gộp vốn có của một loại trừ PRBM bất kỳ biến đổi độ cứng nào theo hướng DoC khi tăng chuyển vị DoF và chuyển động lỗi DoC nhất định. Những quan sát này có nguồn gốc định lượng và minh họa bằng đồ họa sau này trong chương này.
Để khắc phục những hạn chế này, cách tiếp cận được trình bày trong chương này là thực hiện ra một tuyến tính hóa một phần của phương trình điều khiển chùm tia, tức
là sử dụng tuyến tính hóa biểu thức gần đúng cho độ cong nhưng biểu thức chính xác phi tuyếncho cân bằng tải. Vì cơ chế uốn thường sử dụng thanh mảnh dài các chùm tia trải qua các chuyển vị DoF nằm trong phạm vi 10% tương ứng chiều dài chùm tia,
độ phi tuyến cong của chùm tia không có nhiều ý nghĩa ( < 1% sai số xấp xỉ). Tuy nhiên, sự hiện diện của một lực dọc trục F XL tương đương tải trọng ngang ( F YL và M ZL / L) tạo ra đóng góp lớn tới 10% đến thời điểm uốn tại một mặt cắt nhất định, và do đó có thể không được bỏ qua. Ngoài ra, như đã lưu ý trước đó, tính phi tuyến hình học liên quan đến cân bằng tải là hoàn toàn tương đương với phi tuyến bảo tồn chiều dài chùm tia, đó là quan trọng để nắm bắt các động học của biến dạng uốn-chùm.
2.8.6.Mô hình rang buộc của khớp mềm
- Tầm quan trọng của việc áp dụng cân bằng tải trong cấu hình biến dạng của chùm tia là trong khi tải hướng trục F XL tìm thấy một vị trí trong vi sai này phương trình, chính phương trình và các điều kiện biên liên quan vẫn tuyến tính trong tải hướng ngang ( F YL và M ZL ) và chuyển vị ( U Y ( X ) và dẫn xuất của nó-cơn giận). Do
đó, việc giải phương trình này dẫn đến mối quan hệ tuyến tính giữa các tải cuối và chuyển vị cuối ( U YL và θ ZL = U YL ). Các điều khoản độ cứng liên quan, tuy nhiên, không còn đơn thuần là các thuật ngữ đàn hồi, mà là các chức năng siêu việt của trục tải F XL . Các chức năng này được mở rộng thành một chuỗi vô hạn trong F XL và
bị cắt cụt công suất đầu tiên, với sai số nhỏ hơn 1% khi F XL tương đương với tải ngang F YL và M ZL / L , để mang lại mối quan hệ dịch chuyển tải ngang cuối sau:
𝑬𝑰𝒁𝒁𝑼𝒀𝒏(𝑿) = 𝑴𝒁𝑳+ 𝑭𝒀𝑳(𝟏 + 𝑼𝑿𝑳− 𝑿) − 𝑭𝑿𝑳(𝑼𝒀𝑳 − 𝑼𝒀(𝑿)) (2.15)
- Tiếp theo, có thể nắm bắt được các ràng buộc hình học được áp đặt bởi chiều dài cung tin thông qua tích phân sau, để xác định sự phụ thuộc của chuyển vị dọc
trục UXL trên các chuyển vị ngang
𝑳 + 𝟏
𝒌𝟑𝟑
𝑭𝑿𝑳𝑳𝟑
𝑬𝑰𝒁𝒁 = ∫ {𝟏 +𝟏
𝟐(𝑼′𝒀(𝑿))𝟐}
𝑳+𝑼𝑿𝑳
𝟎 𝒅𝒙 (2.16)
26
- Phía bên trái và bên phải của phương trình này biểu thị độ dài chùm trước và sau độ lệch uốn tương ứng. Chiều dài chùm không biến dạng được tăng cường với bất kỳ độ
co giãn nào do tải trọng trục F XL được áp dụng ở phía bên trái. Trong trường hợp này, điều quan trọng là bao gồm thuật ngữ bậc hai trong U Y ( X ) ở bên phải-phía bên để nắm bắt các động học liên quan đến hình học lệch chùm, và phù hợp với việc
áp dụng cân bằng tải trong điều kiện biến dạng (3.3). Sử dụng giải pháp U Y ( X ) cho phương trình. Phương trình cũng có thể được giải quyết ở dạng kín để tiết lộ một thành phần của U XL có sự phụ thuộc bậc hai vào U YL và θ ZL . Như có thể được dự kiến, các hệ số trong mối quan hệ bậc hai này cũng siêu việt chức năng của tải trọng trục F XL . Một loạt mở rộng và cắt ngắn cho sức mạnh đầu tiên trong sản lượng F XL
𝑼𝑿𝑳
𝑳 = 𝟏
𝒌𝟑𝟑
𝑭𝑿𝑳𝑳𝟐
𝑬𝑰𝒁𝒁 + [𝑼𝒀𝑳
𝑳 𝜽𝒁𝑳] [𝜹𝟏𝟏(𝟎) 𝜹𝟏𝟐(𝟎)
𝜹𝟏𝟐(𝟎) 𝜹𝟐𝟐(𝟎)] [
𝑼𝒀𝑳 𝑳
𝜽𝒁𝑳] (2.17)
+𝑭𝑿𝑳𝑳𝟐
𝑬𝑰𝒁𝒁 [𝑼𝒀𝑳
𝑳 𝜽𝒁𝑳] [𝜹𝟏𝟏(𝟎) 𝜹𝟏𝟐(𝟎)
𝜹𝟏𝟐(𝟎) 𝜹𝟐𝟐(𝟎)] [
𝑼𝒀𝑳
𝑳
𝜽𝒁𝑳]
- Phương trình tạo thành mô hình ràng buộc chùm tia (BCM) và cung cấp quan hệ chính xác, nhỏ gọn, dạng đóng và tham số giữa các tải cuối và chuyển vị cuối của một chùm đơn giản. Hơn nữa, trong định dạng này, tất cả các tải, chuyển vị, và các điều khoản độ cứng được tự nhiên hóa bình thường đối với các tham số chùm tia: chuyển vị và chiều dài được chuẩn hóa bởi chiều dài chùm L , lực bằng EI ZZ / L 2,
và những khoảnh khắc bởi EI ZZ / L . Do đó, người ta có thể định nghĩa:
𝐹𝑋𝐿𝐿2
𝐸𝐼𝑍𝑍 ≜ 𝑓𝑥1 ; 𝐹𝑌𝐿𝐿2
𝐸𝐼𝑍𝑍 ≜ 𝑓𝑦1 ; 𝑀𝑋𝐿𝐿
𝐸𝐼𝑍𝑍 ≜ 𝑚𝑧1(2.18)
𝑈𝑋𝐿𝐿2
𝐿 ≜ 𝑢𝑥1 ; 𝑈𝑌𝐿
𝐿 ≜ 𝑢𝑦1 ; 𝜃𝑍𝐿 ≜𝜃𝑍1; 𝑇
𝐿≜ 𝑡 ; 𝑋
𝐿 ≜ 𝑥 (2.19)
- Thành phần elastokinical của dịch chuyển DoC, trong khi nhỏ đối với với thành phần hoàn toàn động học, có thể so sánh với thành phần hoàn toàn đàn hồi và làm cho việc tuân thủ hướng DoC tăng bậc hai (và độ cứng thành giảm) từ giá trị đàn hồi tuyến tính danh nghĩa của nó với các chuyển vị DoF tăng. Do đó, BCM không chỉ làm nổi bật hành vi ràng buộc phi âm của chùm tia uốn cong, nó cũng cho thấy sự phụ thuộc lẫn nhau và sự đánh đổi cơ bản giữa DoF chất lượng (phạm vi lớn, độ cứng thấp) và chất lượng DoC (độ cứng cao, lỗi ký sinh thấp). Các hệ số đặc trưng của chùm tia đóng vai trò là tham số tối ưu hóa hình dạng chùm tia trong thiết kế cơ chế uốn. Hơn nữa, BCM chứa bất kỳ tổng quát điều kiện tải cuối và chuyển vị cuối trong
27
một quy mô độc lập, nhỏ gọn và định dạng tham số. Như đã thấy ở trên, ứng dụng cân bằng tải trong cấu hình biến dạng bao gồm sự đóng góp của lực dọc trục chứng
tỏ là rất quan trọng trong các ràng buộc đặc tính của một chùm tia. Trong trường hợp chùm tia kẹp, kết quả của nó có ý nghĩa ngay cả đối với các chuyển vị DoF, u y 1 và θ z 1 , nhỏ hơn 0,1. Mặc dù bao gồm hiệu ứng phi tuyến này, phương trình vi phân điều khiển chùm tia vẫn tuyến tính trong tải trọng ngang và chuyển vị, dẫn đến tương đối đơn giản mô hình toán học. Mặt khác, thư giãn tuyến tính hóa độ cong của chùm tia giả định không cung cấp cái nhìn sâu sắc bổ sung trong hành vi ràng buộc, cũng không ảnh hưởng của no trở nên quan trọng cho đến khi chuyển vị DoF lớn hơn 0,1. Tuy nhiên, nó làm cho phương trình chùm tia phi tuyến và do đó không thể sử dụng để phân tích dạng đóng. Các giả định BCM được lựa chọn cẩn thận sao cho chúng chỉ nắm bắt được các liên quan phi tuyến, do đó cung cấp độ chính xác trong một tải trọng và chuyển vị thực tế phạm vi, nhưng không làm cho mô hình khó sử dụng.
2.8.7.Nghiên cứu về cơ chế khớp mềm song song
- Tiếp theo, hiệu quả của BCM trong việc dự đoán chính xác hướng dẫn chuyển động các thuộc tính của cơ chế uốn được làm nổi bật bằng cách sử dụng cơ chế uốn cong hình bình hành Anism (Hình 2.8.7), bao gồm hai chùm tia đơn giản giống hệt nhau.
Hình 2.8.7 Mô hình uống song song
- Sử dụng quy ước chuẩn hóa được giới thiệu trước đó, mô hình tuyến tính cho điều này cơ chế uốn có thể được hiển thị là:
𝑢𝑦 = 𝑓𝑦
24 ; 𝑢𝑥 = 𝑡2
24𝑓𝑥 ; 𝜃𝑧 = 𝑡2
24𝑤2[𝑚𝑧 +𝑓𝑦
2] (2.20)
- Có thể rút ra kết quả chuyển vị tải trọng phi tuyến cho cơ chế uốn này dựa trên BCM, sử dụng phương pháp rõ ràng hoặc năng lượng
𝒖𝒚 = 𝒇𝒚
(𝟐𝒌𝟏𝟏(𝟎)+𝒌𝟏𝟏(𝟎)𝒇𝒙) (2.21)
28
ux = t2
24fx +δ11(0)uy2 +δ11
(1)
2 uy2fx(2.22)
θz = 1
2w2( 1
k33 + δ11(1)uy2) [mz − fy(2k12
(0)+k12(0)fx)
(2k11(0)+k11(1)fx)] (2.23)
- Trong các mối quan hệ trên, tất cả các tải và chuyển vị được chuẩn hóa theo
phương trình. Độ dày chùm và kích thước khoảng cách chùm được chuẩn hóa
là: t = T / L và w =W / L . Thay thế các giá trị của hệ số đặc trưng của chùm tia cho một chùm tia đơn giản từ các mối quan hệ này giảm xuống
𝑢𝑥 = 1
2𝑘33𝑓𝑥 −3
5𝑢𝑦2 + 1
1400𝑢𝑦2𝑓𝑥 (2.24)
𝑢𝑦 = 𝑓𝑦
(24+1.2𝑓𝑥) (2.25)
𝜽𝒛 = 𝟏
𝟐𝒘𝟐(𝒕𝟐
𝟏𝟐+ 𝒖𝒚𝟐
𝟕𝟎𝟎) [𝒎𝒛+ 𝒖𝒚(𝟏𝟐 + 𝟎. 𝟏 𝒇𝒙)] (2.26)
- Vì các điều kiện tải thực tế của các chùm riêng lẻ thay đổi khi mecha-nism bị thay thế, các thông số PRBM nên được cập nhật một cách lý tưởng với mỗi incre-bước dịch chuyển tinh thần. Tuy nhiên, sự thay đổi này trong các tham số mô hình được giả định là không đáng kể. Rõ ràng, định hướng Y (ngang) đại diện cho một DoF, trong khi X (trục) và Z (ngang) - các hướng dẫn đại diện cho DoC, trong trường hợp này. Dự đoán hành vi ràng buộc chính-Tions được thực hiện bởi ba mô hình trên cùng với kết quả từ FEA phi tuyến là vẽ trong hình 3.6 xăng3.8 trong phạm vi u y là 0.1 0.1 . Hình 3.6 vẽ đồ thị phi tuyến sự phụ thuộc của u x ( chuyển động lỗi ký sinh X DoC) vào u y ( chuyển vị Y DoF) và minh họa rằng cả PRBM và BCM đều thu được hiệu ứng động học trong dầm chính xác Hình 3.7 vẽ đồ thị độ biến thiên của độ cứng X DoC với u y ( Y DoF dis-vị trí). Mặc dù PRBM không nhận ra bất kỳ sự tuân thủ nào theo hướng DoC này.
2.8.8.Kết luận:
- Nghiên cứu trường hợp trên cho thấy khả năng ứng dụng và độ chính xác của BCM. Trongnđặc biệt, đáng chú ý là mô hình nắm bắt được độ cứng và chuyển động lỗi kết hợp với cơ chế uốn được xem xét ở dạng kín và tham số cách cho bất kỳ tải chung ở giai đoạn chuyển động cứng nhắc. Hơn nữa, tải cuối cùng quan hệ chuyển vị vẫn còn hiệu lực bất kể hình dạng chùm thực tế. Nếu dầm giả định bất kỳ hình dạng nào khác với trường hợp độ dày đồng đều được xem xét ở đây, sự khác biệt duy nhất