Nền tảng nhận dạng hệ thống phi tuyến

Chương 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT

2.2. Mô hình hoá vi mạch khuếch đại siêu cao tần

2.2.2. Nền tảng nhận dạng hệ thống phi tuyến

Để hình thành một khung lý thuyết phân tích những phương pháp khác nhau về mô hình hành vi mạch PA, một cách thuận lợi là xem lại những nguyên tắc cơ bản của lý thuyết nhận dạng hệ thống.

Trong khung lý thuyết này[8], PA được mô tả bằng một hàm phi tuyến hoặc là một toán hạng hệ thống, nó được giả định là động hay là tĩnh. Trong trường hợp là tĩnh thì ngõ ra y(t) có thể được xác định duy nhất như là một hàm tức thời theo thời gian của tín hiệu vào x(t),

y(t)=f(x(t)) (2.1)

hay là y=f(x) (2.2) Khi PA có hiệu ứng nhớ ở tín hiệu cao tần được biến điệu hay biến điệu bao hình thì nó được coi là động. Tín hiệu ra không còn là duy nhất được xác định từ ngõ vào tức thời mà nó còn phụ thuộc vào quá khứ của ngõ vào và tình trạng của hệ thống. Mối quan hệ giữa y(t) và x(t) không thể được mô hình một cách đơn giản

bằng một hàm mà trở thành một toán tử mà toán tử này ánh xạ một hàm theo thời gian x(t) thành một hàm khác theo thời gian y(t). Vì vậy, ánh xạ tín hiệu vào/ra của PA được biểu diễn bằng một phương trình vi phân phi tuyến bằng không:

0 )) ,..., ( ) ), ( ( ), ,..., (

) ), ( (

( r 

r p

p

dt t x d t

t t dx dt x

t y d t

t t dy y

f (2.3)

Mô hình hành vi PA dựa trên công thức (2.3) phải được ước tính thành số (digital), nghĩa là rời rạc, điều đó thuận tiện trong môi trường thời gian rời rạc, trong đó biến thời gian trở thành một chuỗi mẫu thời gian đồng nhất tương ứng với chu kỳ lấy mẫu TS; thật vậy, thời gian và tín hiệu thời gian liên tục có thể được chuyển thành tsTS, x(t) x(s) và y(t)  y(s), s ∈Z. Theo cách này, giải pháp cho phương trình vi phân phi tuyến trong phương trình (2.3) có thể được biểu diễn như sau:

)) (

),..., 1 ( ), ( ), (

),..., 1 ( ( )

(s f y s y s Q1 x s x s x s Q2

y  R     (2.4)

Trong đó, y(s): ngõ ra hiện tại tại thời điểm tức thời sTS (phụ thuộc một cách phi tuyến) được quyết định bởi hàm phi tuyến (.) trong hệ thống, ở đây được diễn đạt bởi ( − ), với q=1,…,Q1.

x(s): tín hiệu vào hiện tại, x(s-q): tín hiệu vào quá khứ. Sự mở rộng phi tuyến này của bộ lọc đáp ứng xung vô hạn ( nonlinear IIR – Infinite Impulse Response) được cho là khái niệm tổng quát của mô hình hành vi PA đệ qui.

Những kết quả của nhận dạng hệ thống cho thấy rằng một hệ thống cũng có thể được trình bày như phương trình (2.5) với tín hiệu ra không cần hồi tiếp:

)) ( ),..., 1 ( ), ( ( )

(s f x s x s x s Q

y  D   (2.5) Trong đó: (.) là một hàm phi tuyến đa chiều với nhiều đối số. Sự mở rộng phi tuyến này với mạch lọc số đáp ứng xung hữu hạn (nonlinear FIR – Finite Impulse Response) là một mô hình tổng quát mà mô hình hành vi hồi tiếp hay không hồi tiếp nên quan tâm.

Khá nhiều các mô hình khác nhau đã áp dụng các hàm đa biến (.) và (.), hai hàm này đã nhận nhiều sự quan tâm đặc biệt trong nhận dạng hệ thống phi tuyến. Điều này là do sự hỗ trợ về toán học của hai biểu thức và bởi vì nó trực tiếp đưa đến một cách thực thi cổ điển xây dựng mô hình cho mạch phi tuyến. Hai hàm

(2.4) và (2.5) có thể biểu diễn bằng những mạch lọc đa thức và mạng neural nhân tạo (artificial neural networks – ANNs).

Trong hàm (.) có thể thay thế bằng một hàm đa biến tương đương như sau:

y( ) = ( ), ( −1), … , ( − )

= a ( ) ( − ) + ( , ) ( − ) ( − )

+⋯+ … ( , … , ) ( − ) … ( − ) (2.6)

Phương trình (2.6) cho thấy rằng một hệ thống phi tuyến được xem như tương đương với một chuỗi những số hạng nhiều biến. Mặc dù đơn giản trong khái niệm nhưng kiến trúc mô hình đa thức FIR được biết đến với một số lượng lớn các tham số.

Hàm (.) cũng có thể thay thế bằng một đa thức đa chiều để đưa đến cấu trúc đa thức IIR đệ quy. Mô hình này cung cấp ít tham số hơn mô hình trực tiếp.

Tuy nhiên, điều đáng quan tâm là cấu trúc đa thức IIR đệ quy khó mà chính xác hơn cấu trúc trực tiếp, cho nên nó khó được ứng dụng trong lĩnh vực mô hình hoá mạch PA. Với đa thức FIR thì có nhiều lợi thế đặc biệt trong việc xây dựng mô hình hoá mạch PA vì ngõ ra là tuyến tính trong việc truy tìm các thông số, chẳng hạn như: hệ số hay còn gọi là nhân (kernels) ( , … , )và hàm chỉ phụ thuộc vào ngõ vào bị trì hoãn, bên cạnh đó nó cũng có thể được tính toán theo một cách có hệ thống bằng cách sử dụng phương pháp nhận dạng tuyến tính thông thường.

Nếu hàm (.) và (.) được xem như tương đương với chuỗi Taylor thì mạch lọc FIR được xem như chuỗi Volterra hay mạch lọc Volterra. Chuỗi Volterra tương ứng được quan tâm một cách đặc biệt vì nó tạo ra một sự tối ưu tương ứng với mô hình hành vi PA. Nó thể hiện được những tính chất của sự mô hình khá tốt trong tín hiệu nhỏ, và sự phi tuyến vừa và nhỏ. Tuy nhiên, chuỗi Volterra không đáp ứng được với mô hình hoạt động trong chế độ phi tuyến mạnh.

Trong thực tế, hàm (.) có thể thay thế bất cứ hàm đa miền nào. Ví dụ như chuỗi Wiener thì trực giao với nhiễu Gaussian trắng khi có tín hiệu tác động. Trong

trường hợp này, những chuỗi tương ứng cho kết quả tối ưu trong những vùng lận cận ở những mức công suất được sử dụng và cho các loại hình tiêu biểu của tín hiệu vào được sử dụng trong việc khai thác mô hình. Do đó, hàm FIR tuân theo mô hình phi tuyến mạnh khi băng thông và tín hiệu tác động có thể được xem như gần với thực nghiệm tác động.

Như vậy, mạch lọc đa thức FIR có thể thực hiện như hình 2.6. Trong mô hình này số lượng trì hoãn Z-1 nên được quan tâm, số lượng trì hoãn Z-1 càng cao thể hiện mức độ phi tuyến của mô hình càng lớn. Tương tự như vậy mạch lọc đa thức IIR có thể được thể hiện như hình 2.7 dưới đây.

Hình 2. 6: Cấu trúc kinh điển của mạch lọc phi tuyến FIR. (a) Mạch lọc tiêu biểu ở bậc thứ nhất. (b) Mạch lọc tiêu biểu ở bậc thứ ba(1).

1 Nguồn tài liệu tham khảo[8] trang 6

Hình 2. 7: Cấu trúc tổng quan của mạch lọc tuyến tính đệ quy phi tuyến yếu.

Khi hàm (.) và (.) được coi như tương đương với ANNs (Artificial Neural Networks) thì phương trình (2.4) và (2.5) được viết lại như sau:

)) ( ( ) ( )

(

, ) ( )

( ) ( )

(

0 0

0 1

2 1

s u f k wy b

s y

b q wx q

s y q wy s

u

k

k Q

q k Q

q k k





















 (2.7)

và

)) ( ( ) ( )

(

, ) ( ) ( )

(

0 0

1

s u f k w b

s y

b q s x q w s

u

k k Q

q k k















 (2.8)

Trong đó, ( ), ( ), ( ), ( ), w0( ) là hệ số trọng số, và là những tham số phân cực và hàm f(.) là hàm phi tuyến đã được xác định trước.

Trong trường hợp những mạch lọc đa thức có mạng ANNs tương ứng thì mô hình hành vi cho hàm này có tính chính xác cao.

Mô hình ANNs động hồi tiếp và có tính đệ quy được thể hiện như hình 2.8 và hình 2.9

Hình 2. 8: Cấu trúc tổng quát của mạng neuron một lớp ẩn đệ qui(1).

Hình 2. 9: Cấu trúc tổng quan của một mạng neural động một lớp ẩn hồi tiếp.

So sánh phương trình (2.7) và mô hình ở hình 2.8 cho thấy rằng ngõ ra của mô hình được xây dựng từ phép cộng những hàm tác động ( ( )) và trọng số ở

1 Nguồn tài liệu tham khảo [8] trang 7

những ngõ ra này được cộng thêm một giá trị phân cực và hàm ( ) được tính bằng tổng các ngõ vào bị trì hoãn, trọng số là hệ số ( ). Mỗi ( ) có thể xem như là ngõ ra phân cực của mạch lọc FIR tuyến tính mà ngõ vào của nó là tín hiệu x(s) và đáp ứng xung lực của nó là ( ). Vì vậy, mô hình ANN không đệ quy thực sự là tương đương với kết nối k nhánh của mạch lọc tuyến tính.

Hình 2. 10: Cấu trúc tương đương của ANN một lớp ẩn hồi tiếp.

Nếu như bây giờ một mạch phi tuyến không nhớ mà tương đương với một hàm đa thức thì chúng ta có thể kết luận lại một lần nữa đó là mạch lọc đa thức.

Điều này cho thấy rằng không có sự phân biệt giữa ANN trì hoãn thời gian hồi tiếp với bộ lọc đa thức không đệ quy. Ở đây chỉ đơn giản là có hai cách tạo thành từ hàm (.) của phương trình (2.5). Tuy nhiên có một sự khác biệt nhỏ trong hai phương pháp này sẽ được trình bày ở phần sau.

Dạng chuỗi của bộ lọc đa thức cho phép những thuộc tính ngõ ra xác định được bậc của đa thức và điều đó cho phép ta tìm ra được những tham số. Điều này đặc biệt đúng nếu chuỗi đa thức là trực giao cho tín hiệu vào được sử dụng trong quá trình nhận dạng mô hình.

Hơn nữa, mặc dù những tính chất tương của ANN khá phổ biến nhưng không có cách nào để nhận là cần bao nhiêu neuron ẩn để đại diện cho một hệ thống, cũng không có cách nào để dự đoán đươc việc cải thiện mô hình hoá đã đạt được khi số neuron ẩn tăng thêm. Nó thậm chí không đảm bảo là sự tính toán mô hình ANN là

duy nhất hay là tối ưu nhất cho một số lượng neuron nhất định. Điều này rõ ràng là có thể cho ra một số tiềm năng để dự đoán ANN, đặc biệt là tác nhân bên ngoài.

Chẳng hạn như dữ liệu dùng để huấn luyện nhận dạng hệ thống. Tuy nhiên, trái với bản chất tương đương cục bộ của đa thức thì ANN có cách xử lý tương đương toàn cục và một lợi thế quan trọng khi nó được dùng để mô hình hoá mạch phi tuyến mạnh. Ngoài ra, vì hàm sigmod được sử dụng trong ANN được giới hạn biên độ ngõ ra, theo nguyên tắc trong ANN thì tốt hơn so với đa thức ngoại suy vượt ra ngoài giới hạn mà hệ thống hoạt động suốt quá trình xử lý tham số.