Phương pháp phần tử hữu hạn - PHƯƠNG PHÁP TÍNH CHU- 123docz.net

CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TÍNH CHUYỂN VỊ NGANG CỦA TƯỜNG VÂY BẰNG PHẦN TỬ HỮU HẠN

3.2 Phương pháp phần tử hữu hạn

Phương pháp phần tử hữu hạn (PP PTHH) là phương pháp số để tìm nghiệm gần đúng của 1 hàm chưa biết trong miền xác định V. Tuy nhiên PP PTHH không tìm dạng xấp xỉ của hàm cần tìm trên toàn miền V mà chỉ trong từng miền con Ve (phần tử) thuộc miền xác định V. Vì thế, phương pháp này rất thích hợp để tìm nghiệm gần đúng cho các bài toán vật lý, kỹ thuật khi mà hàm cần tìm được xác định trên các miền phức tạp là những vùng nhỏ có đặc trưng hình học, vật lý khác nhau có các điều kiện biên khác nhau.

Trong PP PTHH miền V được chia thành một số hữu hạn các miền con gọi là phần tử. Các phần tử này được kết nối với nhau tại các điểm trên biên gọi là nút.

Trong phạm vi mỗi phần tử, đại lượng cần tìm (biến dạng, chuyển vị, ứng suất...) được lấy xấp xỉ trong một dạng hàm đơn giản được gọi là hàm xấp xỉ. Các hàm xấp xỉ này được tính thông qua các giá trị của nó tại các nút trên phần tử và các giá trị này được gọi là các bậc tự do của phần tử mà ta xem như là các ẩn cần tìm của bài toán.

3.2.1 Trình tự phân tích bài toán theo phương pháp phần tử hữu hạn

+ Bước 1: Rời rạc hóa miền khảo sát Miền khảo sát V được chia thành các miền con Ve có dạng hình học thích hợp.

Với bài toán cụ thể thì số phần tử, hình dạng hình học của phần tử, kích thước phần tử phải được xác định cụ thể. Số điểm nút mỗi phần tử không được lấy tùy tiện mà phải phụ thuộc vào các dạng hàm xấp xỉ.

+ Bước 2: Chọn hàm xấp xỉ thích hợp Chọn hàm xấp xỉ sao cho đơn giản trong tính toán nhưng vẫn đảm bảo tiêu chuẩn hội tụ. Thường chọn các hàm có dạng đa thức. Sau khi chọn các hàm xấp xỉ ta biểu diễn các hàm này (kể cả đạo hàm) theo tập hợp các giá trị tại các nút của phần tử

 q e. + Bước 3: Xây dựng phương trình phần tử, tức là thiết lập ma trận độ cứng phần tử  K e và véc tơ tải phần tử  P e

Kết quả nhận được phương trình có dạng:  K e. q e= P e (3.1)

+ Bước 4: Ghép nối các phần tử trên cơ sở mô hình mà kết quả là hệ thống phương trình: K

 

   . qr = Pur (3.2) Trong đó:

 

   : ma trận độ cứng tổng thể (toàn miền V);

 qr : véc tơ tập hợp các giá trị đại lượng cần tìm tại tất cả các nút (véc tơ

chuyển vị nút tổng thể);

 Pur : véc tơ số hạng tự do tổng thể (véc tơ tải tổng thể);

Sau đó sử dụng điều kiện biên của bài toán sẽ nhận được hệ phương trình:

 

   . qr = Pur . (3.3)

+ Bước 5: Giải hệ phương trình Sau khi giải hệ phương trình K

 

   . qr = Pur ta tìm được chuyển vị của các nút.

Việc giải hệ phương trình trên không gặp khó khăn với bài toán tuyến tính nhưng với bài toán phi tuyến thì sẽ dùng phương pháp lặp (được tuyến tính hóa như phương pháp Newton-Raphson) mà ở mỗi bước lặp ma trận độ cứng K

 

   và  urP sẽ thay đổi.

+ Bước 6: Hoàn thiện Tính giá trị các đại lượng còn lại: ứng suất, biến dạng.

3.2.2 Các phương trình cơ bản

Do bài toán giải theo mô hình tương thích (phương pháp chuyển vị) nên đại lượng cần xác định đầu tiên là chuyển vị. Chuyển vị được xấp xỉ hóa và nội suy theo véc tơ chuyển vị nút của phần tử  q e.

Sau khi tìm ma trận hàm dạng  N ta sẽ biểu diễn được trường chuyển vị theo

bậc tự do ở các nút phần tử  q e:  u e   N q e (3.4) Ta có phương trình Cô-si cho sự liên hệ giữa trạng thái biến dạng và chuyển vị.

Do đó, trạng thái biến dạng của các điểm trong phần tử sẽ là:

     u e     N q e   B q e

Trong đó:     B   N : ma trận biến dạng

 

0 0

x y

y x

z y

z x

 

  

   

 

   

 

 

 

 

 

  

   

 

(3.5)

 N : hàm dạng chuyển vị Trạng thái ứng suất tại 1 điểm thuộc phần tử trong mọi trường hợp vật liệu tuân thủ theo định luật Hooke sẽ là:

  e  D (  e 0 e) 0 evới  0 evà  0 e là biến dạng và ứng suất của phần tử.

            

           

0 0

e e e

e e e e

D B q D

T q D

  

  

(3.6)

    T  B D : ma trận ứng suất.

Thế năng toàn phần của phần tử Ve ta được

      

e T

e V

K  B D B dv: ma trận độ cứng phần tử;

 P e: véc tơ tải phần tử.

Hàm dạng phân tử tam giác 15 nút: phần tử tam giác có 2 tọa độ (và). Ngoài ra còn dùng tọa độ phụ    1  .

Hàm dạng của phần tử tam giác 15 nút như sau:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(4 1)(4 2)(4 3) / 6 (4 1)(4 2)(4 3) / 6 (4 1)(4 2)(4 3) / 6

(4 1)(4 1)

4 (4 1)(4 1)

(4 1)(4 2) *8 / 3 (4 1)(4 2) *8 / 3 (4 1)(4 2) *8 / 3

(4 1)

N N N N N N N N N N

   

   

   

  

  

  

  

  

  

 

   

  

 

11 12 13 14 14

(4 2) *8 / 3 (4 1)(4 2) *8 / 3 (4 1)(4 2) *8 / 3

32 (4 1)

N N N N N



  

  

 

 



  

 

  (3.7) Điểm tích phân của phần tử tam giác 15 nút

( , ) ki 1 ( , ) i

F    d d  F   w

  (3.8) Các dẫn xuất của hàm hình dạng

    B v

 

0 0

i i

N x

N y

B z

N N

y x

N N

z y

N N

z x

 

  

 

  

 

  

  

 

 

   

 

 

 

   

 

 

 

   

 

(3.9)

Mối quan hệ giữa tọa độ địa phương và tọa độ chung là số Jacobi(J)

N x y z

   

   

  



      

     

   

     

    

   

     

     

 

(3.10)

Thành phần biến dạng bây giờ có thể tính bằng:

 

, , ,

x i zz

i y i

z i yz

v B v v





 

 

   

   

    

   

 

 

(3.11)

Trong đó: vi là thành phần chuyển vị nút tại nút thứ i. Đối với bài toán biến dạng phẳng, các thành phần biến dạng theo phương trục z sẽ bằng 0 là

zz yz xz 0

    . Đối với bài toán đối xứng trục thì zz ux/rvà yz xz 0 với r là bán kính.

Tính toán ma trận độ cứng

Ma trận độ cứng phần tử Ke được tính toán theo phương pháp tích phân và có

kết quả dưới dạng sau đây: Ke B D BdVT e (3.12) Thực chất thì ma trận độ cứng phần tử bao gồm các ma trận phụ Keij trong đó i,j là các nút phần tử. Ma trận độ cứng có dạng sau đây: Kije  B D B wiT e j k(3.13)