Bạn đọc vừa nghiên cứu các phép quay cơ bản xung quanh các trục toạ dộ
X, y١ z của hệ toạ độ chuẩn 0 (x١ y١ z). Bây giờ ta hãy thực hiện phép quay quanh một vectơ bất kỳ к một góc 0 nào đó. Ràng buộc duy nhất là gốc của vectơ к phải trùng với gốc của một hệ toạ xác dinh trước (hình 4. 14).
Ví dụ: Giả sử ta có một hệ c biếu diển bới:
c
c١ c . Q,
o١ ٤،x 0
؛
11 ôV a؛ 0
٠ъ o . ٤،. 0
0 0 0 1
Khi gắn hệ này với một bàn tay máy (hình 4.15), biểu thị:
a là phương tiếp cận với đối tượng (approximation) 0 là phương cầm nắm đối tượng (Occupation) n là phương pháp tuyến với mặt (a١ 0) (normal)
Hình 4.15. Hệ toạ độ trên kháu chấp hành cuối (bàn tay máy)
Bây giờ bạn đọc hãy coi vectơ bất kỳ k (mà ta cần thực hiện phép quay quanh nó một góc 0) là một trong các vectơ đơn vị của hệ c .
Chẳng hạn:
k = ٤i١i + 1؛.j + ؛I^k s c١
Lúc dó: Phép quay RotỊk. 0] sẽ trở thành phép quay Rot[C, . 0"].
Nếu la có T mô tả trong hệ gốc trong đó k là vectơ bất kỳ, thì ta có X mô tả trong hệ c với k là một tron, các vectơ đơn vị. Từ điều kiện biến đổi đồng nhất, T và X có liên hệ:
T = c.x
hay X = c ' , T
Lúc dó các phép quay dưới dây là đồng nhất:
Rot[k, 0.'] = Rot[C,, 0"]
hay là Rot[k, 0'’]T = c . Rot[z, e.’l X = CRot(z. 0") C“'T Vậy Rot(k, 0") = CRot(z١ 0") C“'
j^ot[z, 0‘’] là phép quay cơ bản quanh z một góc 0“ và có thể dùng lại công thức (4.4).
c٠' là ma trận nghịch đảo của c.
Theo định nghĩa:
c ٠' =
Thay vào đó ta có:
n١ ٠١١ ٠T 0
o ١ 0 , 0 . 0
L
؛ ؛٠١ ؛b 0
0 0 0 1
X
؛،
٥١
1١
> 0 CƠS0 -sinG 0 0 n١
٠١١ 0
n١ 0١, a١, 'o sinG cosO 0 0 0١ ٥؛ ٥. 0
n, 0 , a, 0 0 0 1 0 ٤٠x ٤٠y a/ 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
CO.S0 --sinO 0 0 "x ٠١؛ n. 0
sinO COS0 0 0 Ox ٥١ 0 .
٤٠/
Rot(z, 0) c . 1 _ 0
0 0 1 0 ؛٤x ٤٠١ 0
0 0 0 1 0 0 0 1
n^cosG - O١sin0 n؛.cosG - O yS in O n^cosG - 0,sinG n.sinG + 0 ١cosG n١,sinG + O١,cos0 n,sin6 + 0,cosG
a , a.
0 Nhân ma trận vừa tính với:
c =
0
/ ■ ٠
0
n١ ٥١ ؛١١ 0
n١. ٥ .v ؛٠؛ 0
n. o ' ؛٠/ 0
0 0 0 1
0 ũ 0
1
ta có:
c Rot(z١ G) c~' =
n١n,cosG - n١0١sinG + n١0١sinG + 0 ١0١cosG + a١a١ n٠n١,cosG - n؛.OxSÌnG + n١0 ؛,sinQ + 0 ١0١cosG + a؛,a١ n١n,cosG - n ,0١sinG + n١0,sinG + 0١0,cosG + a,a١
0
n١n؛,cosG - n١OySÌnG + nyO١sinG + O^OyCosG + a١a١. nyttyCosG - n١,OySÌnG + nyOySinQ + OyOyCosG + a١.a؛.
n,n١,cosG - n ,0١,sinG + n١,0,sinG + 0 , 0١,cosG + a,a١,
0
n١n,cosG - nj،0,sinG + n,0١sinG + 0١0,cos6 + a١a, 0 n١,n,cosG - n١,0,sinG + n٠,0١,sinG + 0١,0,cosG +
n,n,cosG - n,0/SÌnG + n/),sinG + 0/0/CosG + a,
0 . 1
Để đơn giản hoá cách biểu thị ma trận, ta dùng các mối quan hệ sau:
- Tích vô hướng của bất kỳ hàng hay cột nào của c với bất kỳ hàng hay cột nào khác đều bằng 0 (không) vì các vectơ là trực giao.
- Tích vô hướng của bất kỳ hàng hoặc cột nào của c với chính nó đều bằng 1 và là vectơ đơn vị.
- Vectơ đơn vị z l à vectơ tích chéo hay tích vectơ của X và y. Hay là:
؛ -
؛؛ - < í ) trong đó: a١ = n١0 , - n , 0 ١
a، = n١0 , - n , 0١
' à ^ - n١0 - n , 0١
Khi cho k trùng với một trong số vectơ đơn vị của c ta đã chọn:
k١ = a١ k١ = a, k, = a, I'a thêm vào ký hiệu: Vers 0 = 1 - COS0 (đọc là “vécsin têla”)
Sau khi Ihực hiện các phép tính ma trận, ta có ma trận chuyển đổi cúa phép quay tống (lUầt là;
Rot[k. 0] =
K١K١Vers0 + cose K١,K١Vers0 - K,sin0 K,K,Vers0 + K١,sin0 0 K١K,Vers0 + K,sin6 K١,K١,Vers0 + COS0 K,K١,Vers0 - K,sin0 0 K١K,Vers0 - K١sin0 K١,K,Vers0 + K١sin9 K,K,Vers6 + COS0 0
0 0 0 1
(4.5)
Chú ý: Từ phép quay tổng quát có thể suy ra các phép quay cơ bản quanh trục
toạ độ. Ví dụ: quay quanh x: thay K١ = 1, K١, = 0, = 0 và VersO = 1 - COS0, ta có:
Rot[X. 0.'] =
1.1.(1-COS0)+COS0 1.0. (l-cos0)+OsinO
1.0. ( l-cosO) OsinO
0
0.1.( l-cos0)-OsinO 0.1.(l-cosô)+0sin0 0 0.0.( l-cosô)+cosO 0.0.( l-cosô)-lsinO 0 0.0.( l-cosô)+lsinô 0.0.(l-cosô)+co.sô 0
0 0 1
Rot[X, 0] =
1 0 0 0
0 COS0 -sinO 0
0 sinO cosO 0
0 0 0 1
ã\ ٠^ 0, K, = 1, K, (4.3) và khi thay K١ = 0: K١. = 0; K, = 1, công thức (4.5) sẽ trờ về (4.4).
4 . 5 . B À I T O Á N N G Ư Ợ C : T Ì M G Ó C Q U A Y , T R Ụ C Q U A Y T Ư Ơ N G Đ Ư Ơ N G
Trong các mục 4.2 và 4.4, bạn đọc đã nghiên cứu các bài toán thuận, nghĩa là chi định trục quay, góc quay - xét các kết quả biến đổi (chuyển vị và đổi hướng) khi thực hiện các chỉ định ấy.
Bây giờ vấn đề đặt ra là: ta đã biết kết quả cùa một phép biến đổi nào đó, hãy tìm các chỉ định (trục quay k nào? góc quay 0 là bao nhiêu?) đé khi thực hiện theo, ta được kết quả đưa ra.
Giả sử kết quả của phép biến đổi đồng nhất đưa ra bởi:
R =
Một cách chắc chắn: R = Rot [k, 0]. Vấn đề là k xác định ra sao? 0 là góc bao nhiêu độ?
Bạn đọc lại biết Rot [k, 9] được định nghĩa bởi (4.5), vậy R = (4.5). Thay vào ta có:
n١ Ox a١ 0
؛,
n ٥ ) 0
n. o ' a. 0
0 0 0 1
nx٥x a ,0 K,K,VersG + cosG KyK.VersG -K,sin9 K,K١Vers0+K,sinG 0 nyOy ayO K^KyVersG +K,sinG KyKyVersG +cosG K,KyVers0-K٠sinG 0 n٤0 , a,0 K,K,Vers6 -KySinG KyK^VersG +K١sinG K,K,Vers0 + cosG 0
0 0 0 1 0 0 0 1
(4.6)
Bước I: Xác định góc quay 6
* Cộng đường chéo hai ma trận ở các vế, ta có:
n, + 0١, + a, + 1 = K؛ VersG + COS0 + K y VersG + cosG + VersG + cosG + 1
= (1 -c o sG )(K ؛ + kỊ + K^) + 3cosG+ 1
= 1 - cosG + 3 cosG + 1
= 2 (1 + cosG)
i4J*)
1 ؛١+ Oy + a, - 1) cosG = — (n
T in h h iệ u c á c p h ầ n tìr tương 1'mg cUtt h a i m a t r ậ n, c h ắ n g h ạ n
:
*
١
>
s ịn f.O / - a> = 2 K١
م
؛) n , = 2 K y S ln - a١
ل
nỡ
؛ 2K^s = t i j . - 0١
B in h p h ư ơ n g h a i v ế c ủ a c á c p hư ơ n g t r in h trên r ồ i c ộ n g l ạ i, ta c ó
:
*
s in ^ e 4
ت=
ا) 0
-
؛, 2
) +
II
اار)
) -
0 / a>)2 + (a١-
- ٧
±1
V ậ y: s in Q =
ﻻ'':
18 ة 9 ة
V ớ i 0
2 ) ١ _ 0 +(لار.- -لار)د
a ١
+(
د ٠
؛،ؤ,.
۴
( 4 . 7 * * )
(4 7***)
igQ =
n, ب0.,بa , - (4.7)
Và trục quay k được định nghĩa bởi:
K ١ =
K> = K ,=
؛, 0 - . / a
2sin0
ئ
2 sin 9
0١ ل ا ا -
(4.8)
2 sin 9 ر
Dê' y rằng với các cOng thức (4.8);
- Nếu 9 = 9" thì K\, K؛„ K, có dạng 9 / 9 . Lúc này phải chuẩn hoá k sao cho
l k | = l .
- Nếu 9 = 189'' thi K١, Ky, K, có dạng ( 9 / (9 ؛، . Lúc này k khOng xác 5؛ định dược. Ta phải dUng cách lính khác cho trương hợp này.
Cho các phấn tử tương dương cUa hai ma trận trong (4.6):
n١ = K؛ Vers9^cos9 0 ؛ = K؛ VersB t cos9 a, = K؛ Vers9 + cos9 từ dây suy ra:
Κ\= ± ؛ П\ -co sỡ
Versỡ ت± 4ا -
i i cosecosQ
٦!
± '.=
Κ ؛ ٧ers6 V
± ,=
κ
/Oy -COS0 lOy -COS0
-c o se Verse = ±
إ -c o s e
^ 'z _ c o s e
ا -c o se
Trong khoảng 90" < θ < 180", sine luOn luOn lớn hơn 0.
Dễ nhận thấy ở hệ phương trinh (4.7**) lúc n؛..y Κχ١ Ky, K, luôn có cUng dấu với vế trái.
Ta biểu diễn là:
Sgn (...) dọc là: cUng dấu với (...) Chẳng hạn:
K١ = Sgn(0z - a١,)
Ky = Sgn(a١ - n,)
)
- Οχ
؛.
K/ = Sgn(n
'П\ -c o se 1 -co se
,Оу -cosO 1 -co se
a ^ -c o s e 1 -co se
(4.9)
Hệ (4.9) chỉ xác định xem trong cấc K١١ Ky, K, thành phần nào có giá trị lớn nhất. Các phần tử còn lại nên tinh theo phần tử có giá trị lớn nhất dể xác định k dược thuận tiện. Lúc dó, dUng phương pháp cộng các cặp cOn lại của các phần tU dối xUng qua dương chéo ma trận chuyển dổi (4.6).
Пу, + Οχ = 2KxKyVerse = 2K١Ky ( 1 - COS0) o , + Эу = 2КуК,Ѵег8Ѳ = 2КуК (1 - cosO) (4.10) а* + η = 2K,KxVerse = 2Κ,Κχ (1 - cosO)
Giả sử theo hệ (4.9) ta có Κχ là lớn nhất. Lúc dó Ky, K, sẽ tinh theo K١ bằng hệ số (4.10). Cụ thể:
П у + 0١
K : y \
١' 2Кх( 1 -со8Ѳ)
κ,= а.ч+п^
2Кх( 1 -со5Ѳ)
(4.11)
Ví dụ: Cho R = Rot(y٠ 90") Rot(z٠ 90"). Hẫy tlm k, 0 dể R = Rot(k١ Θ).
Ta dã biê't:
0 0 1 0
R =
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
= Rotly. 90") Rot(z. 90")
Theo (4.7*1 ى cosO = ﺢ ﻟ (0+0 ۶0- 1 )=- إ
7. 7
(4.7**) ى sinO = إ -
2 (4.7) ى ﻞﺟ0=- ر ة và 0=120"
Vậy:
Với
Ể
2
+
=
/
= Κ
؛ Κ = κ١
) ى
4.9 (
Theo ί 0 + 1 / 2 _ 1
؛ -
\ﺏ\ﺍﺍ
Rot(y٠ 90") Rot(Z, 90") = Rot(k, 120")
1 1 1 1 ج■ i l S
4.6. BIỂU DIỄN PHƯƠNG TRÌNH BIẾN Đ ổ l (TRANSFORMATION EQUATIONS.
Với các phương trình biến đổi, một hệ toạ độ có thê được mô tả bởi hai hay nhiều cách. Bạn đọc hãy xem một tình huống được mô tả trên hình 4.17.
Một tay máy được định vị trong một hệ toạ độ chuẩn z . Điểm cuối của tay máy được mô tả bởi chuyển vị ؛'Tft và yếu tô' tác động cuối được mô tả bởi T٨E.
Một đối tượng cũng được định vị trong hệ toạ độ chuấn và được mô tả bởi chuyển vị B. Yếu tố tác động cuối của tay máy được định vị với đối tượng cầm nắm bởi ٥G. Như vậy ta có hai cách viết dể mô tả vị trí của yếu tô' tác động cuối;
Một cách viết quan tâm đến đối tượng cầm nắm và một cách khác quan tâm đến bản thân tay máy. Cả hai vị trí thực chất chi là một, cho nên có thể cân bằng hai cách viết này:
Z؛؛T /" E = B‘؛G (4.12)
Phương trình này có thể được mô tả trực tiếp bởi toán đồ chuyên vị trên hình 4.18. Mỗi nhánh của toán đồ trình bày một chuyển vị và được định hướng từ hệ toạ độ xác định chúng.
Để giải phương trình (4.12) nhằm tìm chuyển vị ١ nhân (4.12) với z ' và E ta nhận được:
T'١ = 7/'BGE■4.13) ؛)
Kết quả này cũng có thể nhận được từ toán đồ chuyển vị với việc đọc bắt đầu từ gốc của nhánh đọc ngược, cho đến điểm đinh của nhánh Tfi. Lúc đó một lần nữa = z ٠BGE ' như (4.13).
Giả sử vị tn' của đối tượng B chưa biết, nhưng tay máy đã thực hiện chuyển động sao cho yếu tố tác đông cuối cùng của nó định vị được trên đối tượng một cách chính xác. Ta có thể tìm chuyển vị B từ phương trình (4.12) bằng cách nhân nó với G~', hoặc tìm kết quả trực tiếp trên toán đồ chuyển vị bằng cách đọc từ gốc đến đỉnh của nhánh B. Ta đều có:
B = ZT(؛EG٠' (4.14)
Bạn đọc cũng có thể dùng toán đồ chuyển vị để liên kết nhóm các chuyển vị, chẳng hạn:
ZT٠١ = BGE"' (4.15)
\
\
٠v z G B
Hình 4.18. Toán đồ chuyên vị Hình 4.19. Toán đồ chuyên vị
dạng 1 dạng 2
Toán dồ trẽn hình 4.18 được trình bày lại ở dạng toán đồ trên hình 4.19 để tiện lợi hơn trong khi ghép nhóm các chuyển vị nối tiếp nhau. Các đoạn phân cách thẳng đứr،g để trình bày các hệ toạ dô riêng lẻ trên mỗi nhánh.
Các phép b؛èn dổi đồng nhấĩ d ể ^ . ﺈ ﻏ ﻻ٦ t á V Ị tri và hướng cUa các hệ loạ đ ộ trong khOng gian. Nếư một hệ toạ đ ộ dược gắn l؛ến vớ؛ dốỉ tượng thỉ chinh vị tri và hướng của bản thân dối tượng cùng dược mở tả một cách dẻ dàng. Khi mO tả dổi tượng A trong mối ٩ưan hệ với dối tượng B, bạn dọc hãy ؛uOn nghĩ rằng một chuyển vị dồng nhất có thể dảo ngược dế mO tả dối tượng B thOng qua mối quan hệ cUa nó với dối tượng A. Diều này khOng nên hiểu một cách tho th؛ến rằng với một vecto don g؛ản mà mô tả dược chuyển dộng tương dối cUa một dOi tượng này so với một dối tượng khác.
Một chuyển vị có thể là kết quả hợp nhất cUa nhiều chuyến vإ quay và tỊnh t؛ến kế tiếp nhau. Tuy nhiên, xin bạn dọc lưu y nếu sự kế tỉếp thực hiện theo chiều trái qua phải, ihl kết quả quay và tịnh tiến dược mO ta trong hệ toạ độ hiện khảo sát: còn nếu sự kế tiếp thực hiện theo chiều phải qua trái١ kết quả sẽ mO tả trong một hệ toạ độ dộng khác với hệ dang khảo sát.
4.7. KẾT LUẬN CHƯƠNÍÍ 4