Chương 5 Chương 5 Tính hệ phẳng siêu tĩnh theo phương pháp lực
5.23. Đáp số: Các biểu đồ nội lực như trên hình Chuyển vị ngang tại
72
A: x, =3A4/8 (huéng vé bén tréi).
5.24. Đáp số: Biểu đồ mômen uốn như trên hình 5.24.
ức = 0,01 rad, (thuận chiều kim đồng hồ).
5.25. Đáp số: Biểu đồ mômen uốn như trên hình 5.25.
ức = 0,0784 A rad, (ngược chiều kim đồng hồ).
GELASSt
alll ii,
@) “72/57 7
(nye 4Nm)
Hinh 5.24 Hinh 5.25
9.099
xia El,
150 740
415 ¿42 1 TITS TTT
re TT =
@) @ &s w 2
ôAL Er ES xột Fy
x fly g
car te os oe he” 50 2 gấp
a) 4 2
Hình 5.27
5.26 - 5.28. Đáp số: Các biểu đồ nội lực như trên các hình tương ứng.
225 45 4 c2
pe TT Tie
2,625 2625 48% 2a oy
BIIE = 4.8% J —£
22 xa @ rEg x£t 45
Hình 5.28 :
73
5.29. Bai giai 1) Xác định bậc siéu tinh. Hệ có bậc siêu tĩnh bằng 1.
2) Chọn hệ cơ bản. Cắt thanh 1-2 (không loại bỏ), thay thế tác dụng bằng cặp lực X; như trên hình 5.29a.
Hình 5.29
3) Thiết lập và giải phương trình chính tắc. 5,1X)+ Ap +An +4/a=0.
Các hệ số và số hạng tự do của phương trình chính tắc được xác định theo các công thức sau:
N./N; Na
Oi, = Hi aay , ai |. Alp = Ea, | ; Ni iP} ;
An= YiatlNj,, i 41a = YIN j,4;
trong đó: i ẹ;Ă— lực dọc trong thanh thứ Ă do X/=/ gay ra trong hệ cơ bản (hỡnh
5.29b);
Nịp - lực dọc trong thanh thứ ¿ do tải trọng gây ra trong hệ cơ bản (hình 5.29);
- độ dôi của thanh thứ /, trong bài toán nay Ajo = -A= Pd1!EA;
— biến thiên nhiệt độ của thanh thứ ¿, trong bài toán này t/2=t=P/a@ EA.
Kết quả tính được ghi trên bảng 5.29,
Tacó: dj; = 8d/ EA; Alp = -3Pd/ EA;
Ait = atd.l=2Pd/EA; A14=1(-A) = -A = -Pd/EA.
Nghiệm của phương trình chính tắc: X; = — TH = 0,75P.
4) Xác định lực dọc trong các thanh. fl
Lực dọc trong thanh thứ ¿ của dàn siêu tĩnh tìm được theo biểu thức sau:
74
‘a
Bang 5.29
thant i | EA | NuÌN",| Yếu |ŠzMP,| / il ip| / / MC ƒ [8 | MRM ly /w| fs
EA, EA; EA;
at | d | EA | 1 | 0 | đ/EA 0 075P |' 0 0 1-2] d | EA | 1 | 0 | d/EA 0 075P | 0 0 2b | d | EA | 1 | -P| d/EA |-Pd/EA| -0,75P | -1 |075Pd/EA ab | d | EA | 1 | 0 | đ/EA 0 075P | 0 0 b-1 | J2d| V2 EA|-J2| 0 | 2d/EA 0 |-1,0605P| 0 0 a2 | J2d|J2 EAl—-v2 |Pv2| 2d/EA |-2Pd/EA| 1,0605P | J2 |1,5Pd/EA
x 8d/EA |-3Pd/EA 2,25Pd / EA
Kết quả tính ghi trên cột thứ 8 của bảng 5.29.
5) Xác định chuyển vị ngang tại mắt 2
Trạng thái khả dĩ "k" như trên hình 5.29d. Lực dọc tương ứng ghi trên cột thứ 9 của bảng 5.29. Áp dụng công thức chuyển vị cho trường hợp này, ta Có:
Am = Tê yi ta INgl; +} NA = 2/255 + 040 = =2/25
(hướng về en hy 5.30. Đáp số: Nap = 1,398P; Xab =2,78P1/ EA (chuyén đời xa nhau).
5.31. Đáp số: Nab = —PV2.
5.32. Đáp số: Nag = —23,57KN; Neg = ~23,71 KN.
NX&XEA
Hinh 5.34
75
3.33. Đáp số: Nap = — 0,293 EAat.
5.34-5.35. Đáp số: Kết quả như trên các hình tương ứng.
5.36. Bài giải
Xác định bậc siêu tĩnh. Hệ có bậc siêu tĩnh bằng 4.
Chọn hệ cơ bản. Loại bỏ liên kết khớp tại các tiết diện B8, C, D, E của dầm cứng và thay thế tác dụng bằng bốn cặp mômen. Hệ đối xứng chịu nguyên nhân tác dụng đối xứng nên khi chọn hệ cơ bản đối xứng thì bài toán chỉ có hai cập ẩn số Ất, X¿ như trên hình 5.36a.
1) Tính hệ chịu tải trọng phân bố
— eThiết lập hệ phương trình chính tắc:
1 1X;+ 512 X2+ Ajp = 0 ; &21X) + 622 X2+ Aop = 0. (a)
Để xác định các hệ số và số hạng tự do của hệ phương trình chính tắc ta cần vẽ các biểu đồ mômen uốn trong dâm cứng và xác định lực dọc trong các dây văng lần lượt do X/ = 7; X2 = J va tai trọng gây ra trong hệ cơ bản (hình 5.36b, c, d). Lực dọc trong các dây văng được xác định theo điều kiện cân bằng lực quanh mắt C và D, kết quả ghi trên các hình tương ứng. Ta có:
4(1 7] 4(5 5 5 0a
61 =—| =a |+— |= 2 2g =—; EI\2 3) EA\3a 3a 4 3EI
022 =a (2 ma a (24 ja) 4,
EI\ 2 3 EA\ 3a 3a 4 3EI
firm b= 2 (Lal) EI\2 3) EA\3a 3a 4 #( S$ 5) =-354, 3EI
2 3
Arp = E3 8 (2.94 4 nha 72] 73qa" 2} EA\ 3 324
6El
2 2 3
Ap= 1) 22.94 41,2 qa? nh. ] _7lạa EIl\ 3 8 2 3 8
EA\ 3 3a 4 6El Thay các kết quả vào hệ phương trình chính tắc, sau khi biến đổi ta được:
40 Xt — 35 X2 +36,5qa2=0; —35 X + 41X2 -35,5qa2 = 0. (b) Vì cần giải bài toán với nhiều nguyên nhân khác nhau nên ta vận dụng phương pháp hệ số ảnh hưởng để giải hệ phương trình chính tắc (b).
76
Z +
g #2 „ Án 2 ổ “2 „ ở 9/2072 2 2
& & `
9346122 sa? 93⁄2/g2ˆ @)
#) ` 2060/22 é 9408042?
TSằ. 92? “? _Ÿ =2
“ 3 # Kg
QN17ga* @:
3 Z4 8 Z5
Be ye #
Hinh 5.36 40 -35 Định thức ¡nh thức các hệ s các hệ số: D= ly iH = 415, |
¿ 4] 35 40
Các hệ số ảnh hưởng: c hé s6 an g: Bu =-—_; mã Biz = P21 =f) = -—~; T5 22 2= ——..c. 1
Nghiệm của hệ phương trình (b):
77
MP og? 4 oF gq? = 598 ga? = —0/6120 q48;
415 2 415 2 830
3373 4g? 40 gg? - 255 ga? = 0.3434 qa.
415 2 415 2 830
e Biểu đồ mômen uốn (hình 5.35e) được xác định theo biểu thức:
(M) =(M,)Xi+(Mạ)X; +(M?).
® Lực dọc trong dây văng được xác định theo biểu thức:
N=ẹJXi+N;X;+N? =F (-0,6120qa?)--2- 0,3434qa? +2 4a =) a a
37 ,
= 79g 10 = 0,0743qa (luc kéo).
2) Tính hệ khi điều chỉnh chiêu dài của mỗi dây văng một lượng bằng A e Thiế lập và giải hệ phương trình chính tắc.
611X1+ 6}2 X2+ Ara = 0 ; 621X1+ 622 X2+ Ara = 0. (c) Nếu vẫn chọn hệ cơ bản như trên hình 5.36a thì các hệ số của hệ phương trình chính tắc không thay đổi. Các số hạng tự do được xác định như sau:
a 3a
20A
7 5 204
Aia= 3_,ẹĂĂ4; = 44) = ;
i
3a”
Thay các kết quả vào hé phuong trinh (c), sau khi biến đổi, ta được:
40 X; ~35 Xp + HA =0, -35X,+ 411; -2FI4 29. a? a?
Để giải hệ phương trình trên ta sử dụng các hệ số ảnh hưởng đã tìm được ở bước 1). Nghiệm của hệ phương trình (d):
41 20EIA + 35 20EIA __ 24EIA .
4l5S a2 415 q2 83a? |
3$ 20EIA + 40 20EIA _ 20EIA
4l a2 4S g? - g3a2`
se Xác định giá trị A cân điều chỉnh. Từ điều kiện mômen uốn tai C do tải trọng gây ra sau khi điểu chỉnh chiều dài các dây văng, giảm xuống 50% tức là bằng 0,5.2854a2 / 830, ta có;
285 ; 20EIA ga? + = 0,5“ ga? suyra 285 ; A= - 57qa*
8305 7gạạ2 ^ "gạo #e SUA 80EI
> 5
4aA= } N,2A, 2A 2 ¡2 =-4 —A (2
= -0,7125 44, EI 4
78
Như vậy, cần giảm chiều dài của các dây văng.
e Biểu đồ mômen uốn sau khi điều chỉnh chiêu dài các dây văng có đạng như trên hình 5.36f. Mômen uốn tại € và 8 được xác định như sau:
Mẹ =0,5.“= c= 830 qa? 285 = 0,1717 qa; qa;
*__ 5082, 24El 57qa* 337
My =-2 2 B~ 330" * 33,2 80B. = 227 gq? = ~0,4060 ga? 8307 qe
® Lực dọc trong các dây văng sau khi điều chính chiêu dài:
37 El 57 ga‘ _ 701
N =N* =—— tr (24- 20 798 1" * 3a! F302 80 ET 996" —— “da = 0,7038 qa. 4
3) Xac dinh chuyén vi thang ding tai C
Hệ đã cho là hệ đối xứng chịu các nguyên nhân tác dụng đối xứng nên trạng thái chuyển vị trong hệ cũng đối xứng. Do đó ta thấy các chuyển vị thang dimg yc = yp. Suy ra yc = (yc + yp) / 2. Như vậy, để triệt để sử dụng tính đối xứng ta có thể tạo trạng thái khả đĩ "k" trong hệ cơ bản đối xứng như trên hình 5.36g để tìm tập hợp chuyển vị (yc + yp), sau đó suy
ra giá trị Của yC.
Ở trạng thái kha đĩ (hình 5.36g), lực dọc trong các dây văng bằng 5/3 còn biểu đồ mômen uốn bằng không tại mọi tiết diện trong dầm.
Độ võng tại C:
e Trước khi điều chỉnh chiêu dài các dây văng: