+ Hệ đối xứng chịu tải trọng tác dụng đối xứng (hình 8.13a), khi áp dụng phương pháp lực: chọn hệ cơ bản đối xứng như trên hình §.13b, các ẩn phản xứng sẽ bằng không.
+ Hệ là một khung phẳng chịu tải trọng tác dụng vuông góc với mặt phẳng khung (hình 8.13a), nên các ẩn nằm trong mặt phẳng khung sẽ bằng
không.
Như vậy, hệ chỉ có một ẩn X/ như trên hình 8.13b. Phương trình chính tắc:
611 Xi + Aip = 0, Các trục quán tính chính trung tâm tương ứng với mỗi thanh, chọn như trên hình 8.13a. Trên các hình 8.13c, d, e, f lần lượt vẽ các biểu đồ mômen uốn và mômen xoắn tương ứng với các nguyên nhân X/ = / và tải trọng.
Thực hiện các phép nhân biểu đồ, ta xác định được các hệ số và số hạng tự do của phương trình chính tắc như sau:
— can lot. of
611 = (M ,1)(M,,)+(M,,)(M,,) Ni ( xl ( xt) ( ud at) = 2 Ee 1— 1+ 2 GI Ald);
Z
Aip=(MyiXMùp)+(M,XM 2 )=
L lạÊ I J qi ul 2
ot, El, 3 8 2 Gl, 8
Với tiết điện hình vuông có cạnh là c: 1,= c112; L= 0,141.4.
Sau khi thay El;= Ect/12; Gl, = 0,4E.0,141c4 = 0,0564 Ect ta tim duoc:
Li, ql?
Oj, = 49,92 =F? Ajp = - 5,24 +.
Ec Ec*
Nghiệm của phương trình chính tắc: — X; =0,/05 gf2.
Các biểu đồ nội lực trong hệ siêu tĩnh tìm được theo các biểu thức sau:
(M,p)=(M,U)X, t(Mỹp); - (M,p)=(M,)X, +(Mậ).
Kết quả tìm được như trên các hình 8.13g, h.
154
Hinh 8.13 8.14. Đáp số: Các biểu đồ mômen uốn và mômen xoắn như trên hình 8. l4.
02107
Hình 8.14 2)
voh 272/7
9/2007
41277
| | 155
8.15. Chỉ dẫn: Hệ đối xứng chịu tải trọng tác dụng đối xứng, khi áp dụng
phương pháp lực ta chọn hệ cơ bản đối xứng như trên hình 8.15a, các ẩn phản xứng sẽ bằng không nên bài toán chỉ có ba ẩn. Kết quả:
X) = 0,0375 ql; X;= —0,0068gl2; Xị = 0,086 qi? ;
Các biểu đồ mômen uốn và mômen xoắn tìm được như trên hinh 8.15b, c.
4/0/6g/2 000/2 4////g/ˆ
1 “fic 868g”? 9008@g!2 D ITE
{7% (TST
gf? E© eye
2 Z 4wugi
? # ŒÐ„ 25. rô adh
Hinh 8.15
8.16. Bài giải: Hệ là một thanh cong phẳng đối xứng chịu tải trọng tác dụng đối xứng, vuông góc với mặt phẳng thanh, chọn hệ cơ bản đối xứng như trên hình 8.l6a, các ẩn phản xứng và các ẩn nằm trong mật phẳng thanh sẽ bằng không. Như vậy, bài toán chỉ có một ẩn X/ biểu thị dưới đạng vectơ mômen (mũi tên kép) như trên hình 8.lóa. Phương trình chính
tac: 6, X1+ Aip =0,
Hình 8.16
Do được phép bỏ qua ảnh hưởng của biến dạng trượt và biến dạng dọc trục khi xác định chuyển vị nên các hệ số và số hạng tự do của hệ phương trình chính tắc được xác định theo công thức như sau:
Sin = > [aan +> jg s+ > | ma 5
x y z
156
MyM? MyM, M„M?
Ave = wk TAP dy + yee? ls + 2k 2 2P ly
ằ El, >ẽ mm ằ Gi,
Trong bài toán này ta có:
My, = l.cos0; Mặp = — {q.r.dO.r.sin(p - 8, = -ar?(1 —cos0); e
0
My, =0 : yP = 0;
— ; 9
M,, =-/.sing; íp= {ardor - cosy - 9; |= gr? (p-sing).
0
Thay thế các hàm vừa tìm được vào các công thức xác định ổ;;, 4¡p với chú ý là đs = r.đợ, ta được:
oy =
Py 9 .
_. > dp “t.2 dg r 1; sin20
=r} | cos + | sin = 2 (1+k)+ 2(J—k)];
] °F, J ode |e } 4 (—k)b
Po ‹ dp L2 +. . dy
Ajp =~- rỶ cos 0(Ì — cos 0) + | sin0(@ — s0 =
1 i El, | ( Gr,
= -4"_[4 3 sing, - 20, (1 +k) — sin2,(1—k) 0 0 ~ 4k cos ỉ Po}.
4EI,
Trong hai biểu thức trên: k= a _ với tiết diện hình chữ nhật có chiều Zz
4
cao h va bé rong b: 1,= bhẺ!l2; 1, = hb? 16 _ 3362 ;-2— . 3 h\ 12h4
Nghiệm: X, = gr? 4sin0„ = 29 (1 +k)~ sin2@o( —k)—- 4kcosỉo
29,(1+k)+sin2p,(1-k)
Các biểu thức mômen uốn và mômen xoắn trong hệ siêu tĩnh:
My = Xị cos@- qr2(1— cos0) ; M; =-—-X\ sinp + qr?(0~ sing) .
g chiu tai trong tac dung đối xứng tại
tâm A nên tại Á chỉ có chuyển vị thắng đứng (hình 8.17a). Do đó, ta có thể xem như tại A có một liên kết ngàm trượt chỉ cho phép chuyển vị thẳng đứng. Khi chỉ xác định nội lực ta có thể thay hệ đã cho bằng hệ 8.17. Chỉ dẫn: Hệ có hai trục đối xứn
157
tương đương (hình 8.17b) trong đó A được xem là ngàm cứng, các đầu B, C, D, E được xem là có liên kết ngàm trượt cho phép chuyển vị thẳng
đứng đồng thời chịu các lực thẳng đứng bằng P/4. Hệ là một khung phẳng
đối xứng chịu tải trọng tác dụng đối xứng, vuông góc với mặt phẳng khung, nếu chọn hệ cơ bản đối xứng như trên hình 8.17c thì các ẩn phản xứng và các ẩn nằm trong mặt phẳng khung sẽ bằng không. Như vậy, bài toán chỉ có hai ẩn X; và X2 như trên hình 8.17c. Các biểu đồ nội lực (vẽ chung cho cả mômen uốn va mômen xoắn) do tải trọng và do X/, X¿ gây ra trong hệ cơ bản tìm được như trên hình 8.17d, e, f. Sau khi lập và giải hệ hai phương trình chính tắc ta tìm được: X; = PIl/ 26 ; X> = —PI! 1ó.
Các biểu đồ mômen uốn và mômen xoắn tìm được như trên hình 8.17g, h.
Hình 8.17
8.18. Chỉ dẫn: Hệ là một khung phẳng đối xứng chịu tải trọng tác dụng đối xứng, vuông góc với mặt phẳng khung. Chọn hệ cơ bản đối xứng như trên hình 8.18a, các ẩn phản xứng và các ẩn nằm trong mặt phẳng thanh sẽ 158
bằng không.
Như vậy, bài toán có ba ẩn Xị, 2, X; biểu thị đưới dạng nhóm ẩn như trên hình 8.18a. Nghiệm của hệ phương trình chính tắc:
X = 0,149P;
X = 0,05SIPI;
X3 = —0,0057PI.
Các biểu đồ mômen uốn va mômen xoắn tìm được như trên hình 8.18b, c.
8.19. Bài giải: Theo phương pháp chuyển vị, bài toán (hình 8.19a) có bốn ẩn. Hệ cơ bản như trên hình 8.19b. Từ các bảng 1, 2, 3 trong Phụ lục ta tìm được các
biểu đồ #, và Mỹ như trên hình
8.19c, d, e, f, g. Khi vẽ các biểu đồ này ta đã quy ước thống nhất
như sau:
e Mômen uốn và mômen xoắn vẽ
chung trên một biểu đồ. Hình 8.18
e Đối với các thanh có tiết diện tròn, ta có:
GI, _04E2ly — 0g
I z= al x nén El, El,
Từ các điều kiện cân bằng ta dễ dàng xác định được các hệ số và số hạng tự do của hệ phương trình chính tắc:
rịi = 1,75EIL, rạ› =6Èl; r33 = 3,8El;
rạa =7El; FỊ2 =F2ai =0; F13 =
Fịa = rại = 2,5Eẽ; r23 = 132 = 0; 124 = F42 = Ú;
F34 = F43 = Ô; Rịp= 0; Rạp = 120 kNm;
Rạp = 5Š kNm; Rap = 0.
- Hệ phương trình chính tắc sau khi đã biến đổi:
— 0,25El;
1,75 Z, —0,25 Z3 + 2,5 Z4 = 0;
622 + 120/EI = 0;
—0,25 Z¡ + 3,8 Z3 + SSIEI = 0;
2,/5Z¡+7Z4= 0.
Nghiệm: EIZ; = -4,304; EIZ2 = — 20;
EIZ: = — 14,757; EIZ4 = 1,537.
3) ô 4) Gg) 281
3 6h /0kVm #t ††
ah ar
5 Mm Z; 4 ®
a 22
đấu a4 §
®
Hình 8.18 Các biểu đồ mômen uốn và mômen xoắn tìm được như trên hình 8. 19h, ¡.
8.20. Chỉ dẫn: Theo phương pháp chuyển vị, bài toán có ba ẩn. Hệ cơ bản như trên hình 8.20a.
Trên các hình 8.20b, c trình bày cách tìm biến dạng dọc trục và lực đọc 160
trong thanh /-4 gay ra bởi chuyển vị cưỡng bức bằng đơn vị theo phương
y và phương z tại mắt /. Chuyển vị cưỡng bức bằng đơn vị theo phương x
không gây ra biến dạng đọc trục và lực dọc trong thanh 7-4.
Đối với các thanh khác cũng thực hiện tương tự.
xft 1
2 1 ot 0 L—ờ Z:f NV
sine 2
Nye fA sine mash Casa. z
Hình 8.20
Kếtquả: N;;=-20kN; Ni2= —35,35 KN; Nia = ~—7,07 KN;
Nis =7,07KN; = Nig = — 21,21 KN.
8.21. Đáp số: Biểu đồ mômen uốn và mômen xoắn được vẽ chung trên
hình 8.21.
8.22. Đáp số: Các thanh trong hệ chỉ chịu uốn, không chịu xoắn. Biểu đồ mômen uốn tìm được như trên hình 8.22.
Hình 8.21 _ Hình 8.22
161
Chương 9
Phương pháp phân phối mômen
9.1. Bài giải 1. Xác định độ cứng đơn vị quy ước của các thanh:
Rap = 3EI/ (4.4,5) = El! 6;
Rac = Raz = EI / 6.
Thanh 4D được nối với nút A bing khớp nên ¿„...223>2„
c3 98333
3415,
không tham gia phân phối momen tai nit A. 16, 6667 945 2. Xác định hệ số phân phối cho từng đâu S56
thanh quy tu tai niit A: Vì độ cứng đơn vị quy x a @)
ước của ba thanh bằng nhau nên: ’ (Am)
YAB = 7AC = ƑAE = 1/3. Hình 9.1
3. Xác định các mômen nút cứng M* tại các dâu thanh do tải trọng gây ra.
Trong trường hợp này, ta có:
M* 4c = -M*cA =- P¿ li 8 = —40.6!8 = —30 kNm;
M*Ag = —M*raA =-2P\¡ l9 = —2.15.6/9 = —20 kNm.
4. Phân phối và truyền mômen:Quá trình phân phối và truyền mômen được thực hiện trên bảng tính (bang 9.1).
Bảng 9.1
Nut ngam| 8 A Ẽ c
Đầu BA AB AC AE EA A
y 0333 | 0333 | 0333
M* - 30,000 | -20,000 | 20,000 | 30,000 A 0 16,667 | 16667 | 16667 | 8333 | 8333
0 16,667 | -13333 | -3333 | 28333 | 38333
3. Vẽ biểu đồ mômen uốn. Theo các số liệu tìm được trong bảng 9.1, ta vẽ được biểu đồ mômen uốn như trên hình 9.1.
9.2 - 9.3. Đáp số: Xem các hình 9.2 va 9.3.
162
2222 ,
wea À Tư ~ 269
Lt () ôPl
Hinh 9.2 Hinh 9.3
9.4 - 9.5, Đáp số: Xem các hình 9.4 va 9.5.
Hình 9.4
Hình 9.5