Chương 2. MẪU QUANG HỌC VÀ TƯƠNG TÁC NN HIỆU DỤNG MELBOURNE G-MA TRẬN
2.3. Mẫu quang học vi mô và mẫu folding đơn
Mẫu vi mô là một MQH dành cho tán xạ nucleon-hạt nhân mô tả sự tương tác giữa hạt tới và hạt nhân bia. Để xây dựng TQH của mẫu vi mô ta phải dựa trên tương tác NN.
Trải qua mấy thập niên, nhưng hiện tại vẫn chưa có mẫu vi mô nào là hoàn chỉnh phù hợp cho hệ hai hạt nhân tương tác. Tuy nhiên Feshbach đã xây dựng một
18
phương pháp gần đúng. Ông xây dựng toán tử Feshbach [9] cho ta thế U hiệu dụng để tìm hàm sóng (R) từ phương trình Schr ̈ dinger:
U V00 l
im V0 (
1 )V (2.9)
0
' E H i ' '0
Với mn là kí hiệu cặp trạng thái của hạt tới và hạt nhân bia. Trong biểu thức (2.9), V00 là số hạng thứ nhất của tương tác giữa hai hạt nhân, số hạng thứ hai bằng tổng theo tất cả các trạng thái có 0 hay mn 0. Ta có thể rút gọn biểu thức (2.9) thành:
U VF U (2.10)
Số hạng VF được xây dựng từ mẫu folding:
VF V00 0(A) V 0(A) (2.11) Mẫu folding được chia thành mẫu folding đơn nếu tương tác là nucleon-hạt nhân và mẫu folding kép là tương tác hạt nhân-hạt nhân được ứng dụng trong phản hạt nhân nhiều năm qua [4]. Trong mẫu folding, thế tương tác V được xây dựng bằng
tổng các tương tác NN hiệu dụng vij giữa nucleon thứ i của hạt tới và nucleon thứ j của hạt nhân bia:
V
ia, jA
vi
j
(2.12)
Để tính sự trao đổi nucleon i và j, hàm sóng cần được phản đối xứng, điều này tương đương ta thay thế vij bằng tổng của hai thành phần:
vij(1 Pij) vD vEX Pijx (2.13) trong đó: vD vijD vij là thành phần trực tiếp (direct part) và:
vEX vijEX vijPij Pij (2.14)
là thành phần trao đổi (exchange part), với Pijx , Pij , Pij lần lượt là các toán tử trao đổi tọa độ, spin và spin đồng vị của cặp nucleon. Tương tác hiệu dụng NN không chỉ phụ thuộc vào đặc tính của cặp nucleon tham gia tương tác mà còn phụ thuộc
19
vào mật độ hạt nhân xung quanh chúng. Vì thế mà vD(EX) là các hàm phức tạp, phụ thuộc vào nhiều biến số, trong phần này để đơn giản ta vẫn dùng kí hiệu vD(EX) .
V (E, R) V D (E, R) V EX (E, R) (2.15)
�
A
�
�
p
Hình 2.2. Sơ đồ biểu diễn mối liên hệ của các vector tính toán trong mẫu folding đơn.
Trong mẫu folding đơn [2], đối với tán xạ đàn hồi các hạt nhân sau tán xạ không bị kích thích nên ta có:
V D ( E , R)
( r ) v D ( , E , s ) d 3r (2.16) V EX (E,R)
(r,R)vEX (, E, s) j0(k(E,R)s)d3r (2.17) s r R , s r2 R2 2rR cos (2.18) trong đó (r ) , (r , R) lần lượt là mật độ định xứ và mật độ phi định xứ. Thế
vD(EX ) (, E, s) là thế tương tác NN hiệu dụng phụ thuộc mật độ ρ của hạt nhân bia, năng lượng hạt tới E và khoảng cách giữa hai nucleon s. Hàm cầu Bessel ban đầu là
j0 (x) sinx . Động năng k của chuyển động tương đối là:
x
k 2 (E, R) 2
[Ec.m V (E, R) VC (R)] 2
với mamA là khối lượng rút gọn, VC (R) là thế Coulomb.
ma mA
20
(2.19)
Trong nghiên cứu về tương tác hạt nhân, để cho đơn giản khi phân tích thành phần phụ thuộc spin đồng vị, thế tương tác NN được viết dưới dạng:
vD(EX) v00D(EX) v10D(EX) (1.2) v01D(EX) (1.2) v11D(EX) (1.2)(1.2) (2.20) trong đó, các số hạng lần lượt là thành phần đồng vị vô hướng, thành phần phụ
thuộc spin, thành phần phụ thuộc spin đồng vị và thành phần phụ thuộc cả spin và spin đồng vị. Vì các hạt nhân bia 16 O, 48 Ca, 90Zr và 208 Pb đều có spin bằng không nên số hạng thứ hai và thứ tư trong biểu thức (2.20) đều bằng không nên ta lược bỏ.
Ta thay mật độ hạt nhân bằng mật độ proton và neutron, sử dụng phương pháp tính trong [9] thì biểu thức của thế tương tác NN là:
V D(EX) =VISD(EX) VIVD(EX) (2.21)
trong đó dấu trừ tương ứng với hạt tới là proton, dấu cộng khi hạt tới là neutron. Số hạng thứ nhất trong biểu thức (2.21) là thành phần đồng vị vô hướng (iso scalar-IS), số hạng thứ hai là thành phần đồng vị vector (iso vector-IV).
Cụ thể trong bài khóa luận mô tả tán xạ đàn hồi của proton lên các hạt nhân bia nên biểu thức (2.21) trở thành:
V D(EX) =VISD(EX) VIVD(EX) (2.22)
Biểu thức cụ thể của hai thế thành phần này là:
VID(IV ) (E, R)
p (r) n(r)v00(01) (, E, s)d3r D
S (2.23)
VIEXIV ) (E, R)
p (r,R) n (r,R)vE0X(01) (, E, s) j0(k(E, R)s)d 3r
S( 0 (2.24)
Sử dụng xấp xỉ định sứ cho các mật độ phi định xứ:
(r, R)
R s ˆj1 kF R s
s f (R s )
(2.25)
2
trong đó: 2 2
Rs R2 s2 Rs cos
2 4 (2.26)
ˆj1(x) 3(sinx 3x cos x) x
21
2
2/3
5Cs (r)2 52
(r) k
F( r)
3
( r)
3
2
( r )
3 6
( r )
(2 .2 7)
với Cs 1
, với kF là động lượng Fermi định xứ. Xấp xỉ định xứ (2.25) được gọi là 3
6
gần đúng Campi-Bouyssy mà trong các tính toán folding gần đây [2] đạt độ chính
x á c
đ ế n
1
% .
K ế t
q u ả
t h u
đ ư ợ c
l à :
VID(I
V )
(E, R)
p
(r) s)d3
S
VI
EXI
V )
(E , R)
f p (R
s )
fn (R
s )
v00
(01)
(
, E , s ) j
0
( k ( E , R ) s ) d
3
s
EX
S( Tương tự xây dựng cho thế ảo và thu được thế hiệu dụng U cho tán xạ của proton
l à :
U (E, R) (VID(EX) V
ID(EX) ) i(WID(EX) WID(EX) )
(
S V V
Hì nh 2.
3.
Hì nh dạ ng th ế tư ơn g tác củ a th ế th ực tro ng m ẫu vi m ô.
2
Hình 2.4. Hình dạng thế tương tác của thế ảo trong mẫu vi mô.
Như vậy, với MQH vi mô các thành IS và IV của tương tác NN hiệu dụng được khảo sát dễ dàng và tường minh. Mẫu này được ứng dụng để tính tiết diện tán xạ đàn hồi của proton khi có mật độ hạt nhân và tương tác NN thích hợp. Trong phần sau, sẽ trình bày tương tác NN hiệu dụng phụ thuộc mật độ Melbourne G-ma trận và áp dụng tính tiết diện tán xạ của proton lên hạt nhân bia.