3.2. Bản chất, hình thức, chức năng của chứng minh trong sách giáo khoa hình học THCS ở Việt Nam và Pháp
3.2.2. Các hình thức khác nhau của chứng minh 1. Sách giáo khoa Pháp
Các hình thức khác nhau của chứng minh trong sách giáo khoa Pháp : Trong phần Tam giác, ta có thể xác định ít nhất hai yếu tố trong biện minh của một phát biểu : “chứng minh” và “biểu diễn chứng minh Toán học”. Những thuật ngữ này có thể tìm thấy trong sách giáo khoa của năm đầu tiên cấp trung học, năm lớp 6. Tuy nhiờn, ở lớp 7 và 8, những thuật ngữ này được giới thiệu một cỏch rừ ràng hơn.
Trong Chương 9 (Chương “Tam giác”) ở sách lớp 7 trong phần "Giới thiệu lập luận suy diễn ", thuật ngữ “chứng minh” được giới thiệu. Chương này cũng giới thiệu bốn quy tắc của “lập luận toán học” để xem xét tính đúng sai của một phát biểu toán học. Đó là: (1) một phát biểu toán học là đúng hoặc sai ; (2) những phát hiện từ đo đạc trên hình vẽ không thể dùng để chứng minh rằng một phát biểu hình học là đúng ; (3) từ kiểm tra một vài trường hợp cụ thể không dẫn đến kết luận tính đúng đắn của phát biểu ; (4) nếu phát biểu không đúng trong một trường hợp cụ thể thì kết luận ngay được phát biểu đó là sai. Trường hợp cụ thể đó được gọi là “phản ví dụ”.
Chứng minh sau đó là kết quả của cuộc “tranh luận toán học”. Hình 3.1 cho thấy một chứng minh được đưa ra như một ví dụ điển hình trong sách giáo khoa. Vì nó là một phát biểu đơn giản, chỉ có một bước suy luận duy nhất, nên cấu trúc của chứng minh cũng đơn giản. Kết luận được theo sau bởi một dấu hai chấm và tính chất được dùng để suy ra nó. Phát biểu dưới dạng : "nếu ... thì ...". Hầu hết các chứng minh khác có thể được tìm thấy trong phần “Tam giác” ở lớp 7, đặc biệt là trong các phương pháp giải bài tập ở phần cuối của sách giáo khoa.
đường thẳng (EF) tại I. Chứng minh rằng I là trung điểm của đoạn thẳng [EF].
Lời giải : Điểm I là trung điểm của đoạn [EF] theo tớnh chất : ô Nếu một đường thẳng là đường trung trực của một đoạn thẳng, thì đường thẳng đó vuông góc với đoạn thẳng này và đi qua trung điểm của nú ằ.
Hình 3.1. Ví dụ chứng minh trong sách giáo khoa lớp 7 Triangle của Pháp.
Trong Chương 8 "Hình học và Giới thiệu chứng minh toán học" của sách Triangle, thuật ngữ "chứng minh toỏn học" được giới thiệu một cỏch rừ ràng. Định nghĩa của nó là: "Một chứng minh toán học trong hình học là một chuỗi suy luận mà bắt đầu từ giả thiết cho trước nhằm đi đến kết luận ".
Một chuỗi suy luận bao gồm ba yếu tố : giả thiết cho trước, tính chất sử dụng và kết luận của chuỗi. Cách viết các yếu tố này được nhấn mạnh trong sách giáo khoa. Đầu tiên, bắt đầu bằng cụm từ “Ta có” theo sau một giả thiết cho trước. Thứ hai là một câu điều kiện có hình thức "Nếu ... thì ..." như trong các chứng minh ở lớp 7. Và thứ ba bắt đầu với một sự liên kết "Vì vậy ..." theo sau là một kết luận của chuỗi suy luận này. Các sách giáo khoa cũng đề cập rằng các tính chất đôi khi bị bỏ sót theo mức độ quen thuộc và nhu cầu của giáo viên.
Hình 3.2 dưới đây cho thấy một chứng minh toán học được đưa ra như một ví dụ điển hình trong sách giáo khoa, ở đó ba yếu tố của một chuỗi suy luận có thể được tìm thấy dễ dàng. Ta cũng có thể nhận thấy rằng các chứng minh toán học được viết như một đoạn văn, mà không có nhiều ký hiệu toán học. Hầu hết các chứng minh toán học được coi là ví dụ trong sách giáo khoa hoặc các phương pháp giải bài tập ở phần cuối của sách giáo khoa đều áp dụng hình thức này.
Bài tập : ABCD là một hình thoi tâm O. Gọi (d) là đường thẳng song song với đường thẳng (AC) và đi qua D. Chứng minh rằng đường thẳng (d) và đường thẳng (BD) vuông góc nhau.
Lời giải : Chúng ta biết rằng ABCD là một hình thoi. Nếu một tứ giác là hình thoi
thì các đường chéo của nó vuông góc nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Vì vậy hai đường thẳng (AC) và (BD) vuông góc nhau.
Chúng ta cũng biết rằng (AC) và (BD) là vuông góc nhau và rằng (d) và (AC) là song song. Nếu hai đường thẳng song song với nhau và một đường thẳng thứ ba vuông góc với đường thẳng này thì nó sẽ vuông góc với đường thẳng kia.
Vì vậy (d) và (BD) vuông góc nhau.
Hình 3.2. Ví dụ chứng minh trong sách giáo khoa lớp 8 Triangle của Pháp.
Để giúp học sinh bắt đầu làm quen thế nào là một chứng minh trong hình học, sách giáo khoa lớp 6 Transmath đưa ra ví dụ sau đây nhằm dẫn dắt học sinh chuyển từ một khẳng định trong hình học tự nhiên mang tính đo đạc và thực nghiệm sang một khẳng định dựa vào tính chất hình học. Học sinh bắt đầu làm quen (một cách ngầm ẩn) rằng để biết chắc chắn một khẳng định nào đó thì ta cần phải lập luận dựa vào các tính chất, định nghĩa chứ không phải dựa vào trực quan hay đo đạc :
81 Chứng minh 1. Dựng một hình
a. Dựng một tam giác ABC với AB = 4cm, AC = 6cm và BC = 3cm.
b. Lấy điểm K thuộc nửa đường thẳng [CA) sao cho CK = 10cm.
c. Kẻ đường tròn tâm A và đi qua B.