Tối ưu bộ tách sóng : một tín hiệu thực trong nhiễu

Một phần của tài liệu báo cáo truyền dẫn số (Trang 118 - 126)

2.6. Yếu tố của lý thuyết sự tách sóng

2.6.1. Tối ưu bộ tách sóng : một tín hiệu thực trong nhiễu

Đầu tiên chúng ta xem xét để đơn giản các trường hợp trong đó chỉ có hai tín hiệu một trong số đó là số 0 . Vì vậy, nhiệm vụ là để quyết định giữa hai giả thuyết

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

: :

Ho y t v t H y t s t v t

=

= + (2.285)

Khi s(t) là một tín hiệu năng lượng thực hữu hạn. Quyết định này dựa trên sự quan sát của y(t) cho 0≤ <t T và chúng ta muốn nó thực hiện theo cách như vậy như vậy rằng xác suất của sự quyết định sai lầm được giảm thiểu. Nói cách khác , chúng tôi nói rằng H1(H0) là đúng khi các tín hiệu được chứa (không chứa) s(t)

Một bước cơ bản trong nguồn gốc của chúng ta về các bộ tách sóng tối ưu là sự biểu

các hàm thời gian. Để làm điều này, chúng ta mở rộng y (t) trong một loạt trực giao và đại diện cho nó bằng cách sử dụng các trình tự của các hệ số của nó. Làm cơ sở cho việc mở rộng này, chúng ta chọn bất kỳ trình tự đầy đủ của các tín hiệu thực

(ψ( )t )i∞=1

trực giao trong khoảng thời gian (0,T) và như vậy ψ1( ) ( )t =s t ξs

và v(t) theo trình tự ( s ξ

,0,0...) khi

( )

0

( ) ,

T

i i

v @∫v tψ t dt

i= 1,2,... (2.286)

Tính trực tiếp, nó có thể được biểu thị E{vi }=0, i=1,2,3...

=

= i,j=1,2,…

(2.287)

Kể từ , i = 1,2,. . . , RVs Gaussian, (2,287) cho thấy họ là độc lập. Trong điều kiện của các đại diện rời rạc, chúng ta có thể xây dựng vấn đề quyết định của chúng ta như sau. Quyết định trong số các giả thuyết

(2.288) trên cơ sở của việc quan sát của các đại lượng

i=1,2,… (2.289)

Bây giờ có một điểm quan trọng. Theo cả hai giả thuyết và , quan sát thấy số lượng , , . . , Bằng , ,. . . , Tương ứng, và đây là những độc lập của nhau và .Như vậy, quan sát , , không thêm bất kỳ thông tin cho quá trình ra quyết định.

Do đó, nó có thể được chỉ dựa trên quan sát

(2.290) Trong kết luận, vấn đề chỉ còn là quyết định giữa hai giả thuyết

(2.291)

Khi quan sát theo quy định (2,290). số lượng được gọi là các số liệu thống kê đầy đủ cho quyết định giữa và bởi vì nó chiết xuất từ các quan sát tín hiệu y(t) tất cả những gì cần thiết để thực hiện các quyết định. Tất cả các thông tin khác về y (t) là không liên quan đến quá trình ra quyết định.

Khi quyết định chỉ dựa trên việc quan sát của số lượng vô hướng, máy phát hiện tối ưu đầu tiên sẽ tính toán vô hướng (2,290) của các tín hiệu quan sát y (t) và s (t). Sau đó, nó sẽ chọn một trong hai hoặc theo giá trị được thực hiện bởi , Nếu chúng ta biểu thị bởi và = R - hai tập con của dòng thực R, nguyên tắc quyết định là

Chọn Chọn

(2.292) trong đó là giá trị quan sát của ,. Do đó, các quy tắc quyết định tối ưu có thể được xác định bằng cách chọn và , trong một cách xác suất lỗi trung bình được giảm thiểu. Xác suất lỗi được cho bởi

1 1 1 0

0 1

1 1 1 1 1 0

1 1

1 1 1 0

1

1 | 1 0 | 0

1 | 1 1 | 1 0 | 0

1 | 1 0 | 0

( ) ( | ) ( | )

= ( | ) ( | ) ( | )

[ ( | ) ( | )]

Y H Y H

S S

Y H Y H Y H

R S S

Y H Y H

S

P e p f y H dy p f y H dy

p f y H dy p f y H dy p f y H dy p f y H p f y H dy

= +

− +

= −

∫ ∫

∫ ∫ ∫

(2.293)

Trong đó 0 0 1 1

{ }, { } p @P H p @P H

là một xác suất tiên nghiệm mà 0 H

là đúng (tức là, tín hiệuquan sát không chứa s t( )

và 1 H

cũng đúng .tín hiệu quan sát chứa s t( )

, tương ứng.

Để giảm thiểu P e( )

, chúng ta nên tối đa hóa biểu thức dưới dấu tích phân của số hạng trong dấu ngoặc [] ở biểu thức cuối cùng của (2.293). Điều này có thể được thực hiện bằng cách gộp trong 1

S

tất cả các giá trị yđược giả định bằng 1 Y

như vậy

1 1 1 0

1 Y H| ( | 1) 0 Y H| ( | 0) p f y H > p f y H

và trong S0 các giá trị còn lại.Các giá trị của 1 Y

dưới dấu tích phân là số 0 không ảnh hưởng đến giá trị của P e( )

. Chúng có thể bao gồm một trong hai 0

S H1

hoặc 1 S

một cách tùy ý. Do đó, nếu chúng ta xác định tỷ lệ hợp lý trong số các giả thuyết H0 và H1 như

1 1

1 0

| 1

| 0

( | )

( ) ( | )

Y H Y H

f y H

y f y H

Λ @ (2.294)

Chọn H0 nếu

0 1

1

( ) p

y p

Λ ≤

Chọn H1 nếu

0 1

1

( ) p

y p

Λ >

(2.295)

Kết luận, các bộ tách sóng tối ưu bao gồm một thiết bị tính toán tỷ lệ hợp lý 1 ( )y Λ

và so sánh giá trị của nó với ngưỡng 0 1

/ P P

. Một cỏch rừ ràng, chỳng ta cú

2 0

2 0

( ) /

/

0 0

2 1

( ) exp{ }

y Es N

s s

y N

y e y E E

N N

e

− −

Λ = − = − (2.296)

Do đó, sử dụng (2.290), ta có

2

0 0

0 0

2 1

( ) exp{ y T y t s t dt ( ) ( ) T s t dt ( ) }

N N

Λ = ∫ − ∫ (2.297)

Do cấu trúc của tỷ lệ hợp lý, mà thông thường để xác định tỷ lệ hợp lý ta thường tính logarit của

Λ(.)

(2.298) Vì vậy (2.297) trở thành

(2.299)

và các quy tắc quyết định trở thành là nếu

là nếu

(2.300)

Một trường hợp đặc biệt quan trọng xảy ra khi (tức là, hai giả thuyết đều có khả năng).

Trong trường hợp này, quyết định được thực hiện bằng cách so sánh So với một ngưỡng không. Hơn nữa, từ (2.299) nó được thấy rằng giá trị của không đổi là không liên quan đến quyết định. Do đó, khi thủ tục ra quyết định không phụ thuộc vào mật độ phổ của tiếng ồn.

Điều này đơn giản hóa và thực tế là một ưu tiên xác suất có thể là không biết biện minh cho việc sử dụng thường xuyên của các quy tắc quyết định đơn giản hóa (được gọi là khả năng tối đa, hoặc ML, quy tắc):

là nếu

là nếu (2.301)

mặc dù nó mang lại cho xác suất lỗi tối thiểu chỉ khi . Các quy tắc (2.300) được gọi là tối đa một xác suất hậu nghiệm, hoặc MAP, quy tắc cấu trúc của các máy dò ML được hiển thị trong hình 2.32.

Hình 2.32 ML phát hiện một tín hiệu thực trong nhiễu Gauss Ví dụ 2.27 Tích hợp - và - máy thu

Một trường hợp đặc biệt đơn giản của các máy dò ML nói chung trước đây bị coi phát sinh khi tín hiệu có biên độ không đổi trong khoảng 0 i i <i. Nhiệm vụ là sau đó quyết định giữa hai giả thuyết:

(2.302)

khi quan sát y (t) với . Trong trường hợp này, , và từ (2.290) chúng ta có

(2.303)

Phương trình (2.303) cho thấy rằng các số liệu thống kê đầy đủ để phát hiện được tính bằng trung bình nhiễu từ tín hiệu quan sát. Điều này thu được bằng cách tích hợp y (t) trong khoảng thời gian quan sát.

Hãy xem xét hiệu suất của máy dò này khi . RV

(2.304)

là Gauss, với số không có ý nghĩa và phương sai / 2. Như vậy, xác suất lỗi dưới (tức là, xác suất lựa chọn , khi là đúng

=

= )

(2.305)

Tại erfc (•) là hàm lỗi bổ sung (xem Phụ lục A). Tương tự như vậy, các lỗi xác suất dưới

= = )

(2.306)

để

) (2.307)

Nếu chúng ta xác định tỉ lệ tín hiệutrên nhiễu:

(2.308)

nó được xem rằng, như P (E) là một hàm đơn điệu giảm của TI, xác suất lỗi sẽ giảm bằng cách tăng mức độ A, hoặc bằng cách tăng T thời gian của khoảng thời gian quan sát, hoặc bằng cách giảm mật độ phổ nhiễu.

Bộ lọc phù hợp

Xem xét lại (2.290). Phương trình này cho thấy rằng các số liệu thống kê đầy đủ có thể thu được, ngoài việc là một yếu tố không đổi, như đầu ra tại thời điểm t = T của một bộ lọc tuyến tính, thời gian bất biến, có đáp ứng xung là

. (2.309)

Trong thực tế, với định nghĩa này, chúng ta có:

(2.310)

Một bộ lọc có đáp ứng xung (2.309), hoặc tương đương, có cầu chuyển chức năng là (2.311)

Trong đó

( ) [ ( )]

S f @F s t

được gọi là bộ lọc phù hợp với các tín hiệu s (t). Vì vậy, chúng ta có thể nói rằng một bộ lọc phù hợp có đầu ra được lấy mẫu tại t = T chiết xuất từ tín hiệu quan sát y(t) các số liệu thống kê đầy đủ cho vấn đề này.

Một tính chất quan trọng của các bộ lọc phù hợp là tối đa hóa tỷ lệ tín hiệu trên nhiễu ở đầu ra của nó, theo nghĩa sau đây. Khi một đầu vào bộ lọc là tổng của tín hiệu s(t) cộng với tiếng ồn trắng v (t), tại thời điểm t = T đầu ra của nó sẽ được thực hiện từ hai điều khoản

này. Đầu tiên là phần tín hiệu

( ) ( ) j2 fT

H f S f e π df

−∞∫

là sự chuyển giao chức năng của các bộ lọc. Thứ hai là phần tiếng ồn, một RV Gaussian với số không có nghĩa là

2

(N0/ 2) | ( ) |H f df

−∞∫

. Nếu chúng ta xác định tỉ lệ tín hiệu-trên-nhiễu tại đầu ra bộ lọc thì:

2 2

2

2 0

( ) ( ) ( / 2) | ( ) |

j fT

H f S f e df z

N H f df

∞ π

−∞

−∞

 

 

 ∫ 

@

(2.312)

(Tức là, tỷ lệ giữa công suất tức thời của phần tín hiệu và phương sai của phần tiếng ồn), chúng ta có thể thấy rằng z 2 là tối đa nếu H ( f ) có dạng (2.311), có nghĩa là, bộ lọc được kết hợp với các tín hiệu s(t). Bằng chứng này dựa trên bất đẳng thức Schwarz. Nó nói rằng nếu A ( . ) và B ( . ) là hai chức năng phức tạp, sau đó

2 2 2

*

ABA B

∫ ∫ ∫ (2.313)

Dấu bằng khi và chỉ khi A = B . Sử dụng (2.313) vào trong (2.312), chúng ta nhận được:

2 2

2

2 0

0

| ( ) | | ( ) |

2 ( / 2) | ( ) |

s

H f df S f df z E

N H f df N

∞ ∞

−∞ −∞

−∞

≤ ∫ ∫ =

∫ (2.314)

Như vậy, giá trị tối đa của tỉ lệ tín hiệu-trên-nhiễu z 2 thu được là:

( ) *( ) j2 fT

H f = α S f e− π (2.315)

Kể từ khi αcó thể là bất kỳ liên tục, chúng ta có thể thiết lập α= 1 mà không cần mất tối ưu, vì vậy mà các bộ lọc tìm kiếm thực sự là bộ lọc phù hợp theo quy định (2.311). Chú ý rằng bộ lọc này thường là không thể thực hiện được. Ngoài ra, phản ứng của nó đầu vào s(t), tại thời điểm t = T:

2 2

( ) ( ) fT | ( ) | s

H f S f e π df S f df E

∞ ∞

−∞ −∞

= =

∫ ∫ (2.316)

Đây là năng lượng của s(t)

Một phần của tài liệu báo cáo truyền dẫn số (Trang 118 - 126)

Tải bản đầy đủ (DOCX)

(185 trang)
w