Sự phụ thuộc nửa liên tục trên của tập hút toàn cục vào số

cục vào số hạng phi tuyến

Trong mục này ta xét họ các hàm lớp C1 dạng fλ, λ ∈ Λ, sao cho với mỗi λ ∈ Λ, fλ thỏa mãn điều kiện (2.2) - (2.3) với các hằng số không phụ thuộc vào λ. Họ Λ được xét với tôpô T sao cho λj → λ theo T để

fλj(u) → fλ(u) với mọi u.

Xét St(λ, u0) là nửa nhóm sinh bởi bài toán sau

ut −div(σ(x)∇u) +fλ(u) +g(x) = 0, x ∈ Ω, t > 0

u(t, x) = 0, x ∈ ∂Ω, t > 0, u(0, x) = u0(x), x ∈ Ω.

(2.15)

Từ kết quả ở mục trên, nửa nhóm này có một tập hấp thụ compact

Bλ = {u ∈ L2(Ω) : kukD1

0(Ω,σ) ≤Rλ},

và một tập hút toàn cục compact Aλ = ω(Bλ) trong X = L2(Ω).

Bổ đề 2.4.1. Giả sử u là nghiệm yếu của bài toán (2.15) với điều kiện ban đầu u0 ∈ L2(Ω), ku0kL2(Ω) 6 R, thì u(τ) ∈ D1 0(Ω, σ), với mọi τ > 0 và có đánh giá sau ku(τ)k2D1 0(Ω,σ) 6 C(R) τ .

Chứng minh. Không giảm tính tổng quát ta có thể giả sử f(0) = 0, bởi vì nếu không ta có thể thay f(u) bởi f˜(u) = f(u)−f(0), và khi đó g(x) thay bằng ˜g(x) = g(x) + f(0). Giả sử {um} là dãy nghiệm xấp xỉ. Như trong chứng minh Định lí 2.2.3, ta có

kumkL2(0,τ;D1

Mặt khác, ta có t( d dtum(t), Aum) +t(Aum, Aum) +t(f(um), Aum) +t(g, Aum) = 0. Do đó 1 2t d dtkumk2D1 0(Ω,σ) +tkAumk2L2(Ω) −t Z Ω f0(um)σ(x)|∇um|2dx+t(g, Aum) = 0.

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy và điều kiện f0(u) ≥ −C3, ta có

1 2t d dtkumk2D1 0(Ω,σ) 6 1 2tkgk2L2(Ω). (2.17) Lấy tích phân (2.17) theo t trên (0, τ) ta có

τkum(τ)k2D1 0(Ω,σ) 6 Z τ 0 kum(t)k2D1 0(Ω,σ)dt+ Z τ 0 tkgk2L2(Ω)dt. Kết hợp với (2.16) ta được kum(τ)k2D1 0(Ω,σ) 6 C(R) τ . (2.18)

Chuyển qua giới hạn ta có bất đẳng thức cần chứng minh. ♦

Bổ đề 2.4.2. Nửa nhóm St(., .) là liên tục trong Λ×X với mọi t > 0 cho trước.

Chứng minh. Lấy (λ0, u0) ∈ Λ×X và (λj, uj0) ∈ Λ×X sao cho λj → λ0

và uj0 → u0. Giả sử uj(t) = St(λj, uj0) là nghiệm của bài toán (2.1) với số hạng phi tuyến fλj, và điều kiện ban đầu uj0. Từ fλj thỏa mãn (2.2) - (2.3) với hằng số tương ứng và {uj0} là bị chặn, tương tự như chứng minh Định lí 2.2.3, ta có

• {uj} bị chặn trong L2(0, T;D1

0(Ω, σ));

• {fλj(uj)} bị chặn trong Lp0(ΩT);

• {∂tuj} bị chặn trong L2(0, T;D−1(Ω, σ)) +Lp0(ΩT).

Áp dụng Bổ đề 1.6.1, ta có{uj}là compact tương đối trongL2(0, T;L2(Ω)). Do đó, tồn tại một dãy con (vẫn kí hiệu là) uj sao cho

• uj *∗ u trong L∞(0, T;L2(Ω));

• uj * u trong L2(0, T;D1

0(Ω, σ));

• uj → u trong L2(0, T;L2(Ω));

• uj → u hầu khắp nơi trong Ω×(0, T) ;

• fλj(uj) * ω trong Lp0(ΩT);

• ∂tuj * ∂tu trong L2(0, T;D−1(Ω, σ)) +Lp0(ΩT).

Kết hợp với giả thiết của fλ và fλj hội tụ tới fλ0 hầu khắp nơi ta có

fλj(uj) →fλ0(u) hầu khắp nơi trong Ω×(0, T). (2.19) Từ Bổ đề 1.6.2, ta có ω = fλ0(u). Bởi vậy giới hạn u là nghiệm yếu của bài toán (2.15) với điều kiện ban đầu u0 và số hạng phi tuyến fλ0, tức là,

u(t) =St(λ0, u0).

Từ uj → u trong L2(0, T;L2(Ω)), ta có uj(t) → u(t) trong L2(Ω) với mọi t∈ (0, T)\E, với µ(E) = 0. Kí hiệu M = D−1(Ω, σ) +Lp0(Ω). Với mọi

t > 0 cho trước, ta chọn tj ∈/ E sao cho tj →t và

Ta có kuj(t)−u(t)kM ≤ kuj(t)−uj(tj)kM +kuj(tj)−u(tj)kM +ku(tj)−u(t)kM = k Z t tj u0j(s)dskM +kuj(tj)−u(tj)kM +k Z t tj u0(s)dskM ≤ k∂tujkLp0(0,T;M)|t−tj|1/p+kuj(tj)−u(tj)kM +k∂tukLp0(0,T;M)|t−tj|1/p. Từ tính bị chặn của {∂tuj} và ∂tu trong Lp0(0, T;M) ta có uj(t) → u(t) trong M. Mặt khác, sử dụng Bổ đề 2.4.1 ta có {uj(t)} là bị chặn trong D1 0(Ω, σ)

với mọi t > 0 cho trước. Do phép nhúng D1

0(Ω, σ) ,→ L2(Ω) là compact, tồn tại một dãy con củauj mà vẫn kí hiệu là uj, sao cho uj(t) → v(t) mạnh trong L2(Ω) và vì vậy hội tụ trong M. Theo tính duy nhất của giới hạn, ta có v(t) = u(t).

Ta đã chứng minh với mọi dãy (λj, uj0) →(λ0, u0), tồn tại dãy con của

St(λj, uj0) hội tụ trong L2(Ω), giới hạn này không phụ thuộc vào dãy con, và nó chính là St(λ0, u0), vì vậy dãy ban đầu St(λj, uj0) hội tụ tớiSt(λ0, u0). Do đó, St(., .) liên tục tại (λ0, u0). ♦

Định lí 2.4.3. Họ {Aλ, λ ∈ Λ} phụ thuộc nửa liên tục trên vào λ, nghĩa là,

lim sup

λ→λ0

dist(Aλ,Aλ0) = 0.

Chứng minh. Với mọi λj ∈ Λ, nửa nhóm St(λj, u) có một tập hấp thụ

Bλj = {u ∈ L2(Ω) : kukD1

0(Ω,σ) ≤R},

trong đó R là hệ số đủ lớn chỉ phụ thuộc vào các hệ số ở (2.2) - (2.3). Do đó, ta có thể chọn R không phụ thuộc vào λj. Vì vậy tồn tại

B0 = {u ∈ L2(Ω) : kukD1

sao cho với mọi tập bị chặn B ⊂ L2(Ω) và với mọi λ, tồn tại τ = τ(λ, B)

sao cho St(λ, B) ⊂ B0 với t ≥ τ. Lấy > 0 tồn tại T = T() > 0 sao cho

dist(ST(λ0, B),Aλ0) < .

Do Bổ đề 2.4.2, với mọi x ∈ B0, ta có lân cận mở V(x) và W(λ0) tương ứng trong X và Λ sao cho

dist(ST(λ, V(x)),Aλ0) < với mọi λ ∈ W(λ0).

Từ B0 là compact trong X, tồn tại một lân cận W của λ0 sao cho

dist(ST(λ, B0),Aλ0) < với mọi λ ∈ W.

Do đó

dist(Aλ,Aλ0) < với mọi λ ∈ W.

♦