Định nghĩa 1.4.1. Giả sử E là một không gian Banach phản xạ. 1. Một hàm ϕ ∈ L2loc(R;E) được gọi là bị chặn tịnh tiến nếu
kϕk2L2 b = kϕk2L2 b(R;E) = sup t∈R Z t+1 t kϕk2Eds < ∞.
2. Một hàm ϕ ∈ L2loc(R;E) được gọi là compact tịnh tiến nếu bao đóng của {ϕ(·+ h)|h ∈ R} là compact trong L2loc(R;E).
3. Một hàm ϕ ∈ L2loc(R;E) được gọi là chuẩn tắc tịnh tiến nếu với bất kì
ε > 0, tồn tại η > 0 sao cho
sup t∈R Z t+η t kϕk2Eds < ε. Kí hiệu L2b(R;E), L2c(R;E) và L2n(R;E) tương ứng là tập tất cả các hàm bị chặn tịnh tiến, compact tịnh tiến và chuẩn tắc tịnh tiến trongL2loc(R;E). Ta có (xem [61]):
L2c(R;E) ⊂ L2n(R;E) ⊂ L2b(R;E).
Gọi Hw(g) là bao đóng của tập {g(·+h)|h ∈ R} trong L2b(R;L2(Ω)) với tôpô yếu. Kết quả sau được chứng minh trong [37].
Bổ đề 1.4.2. [37, Chương 5, Mệnh đề 4.2] 1. Với mọi σ ∈ Hw(g),kσk2 L2 b ≤ kgk2 L2 b;
2. Nhóm chuyển dịch {T(h)} là liên tục yếu trên Hw(g); 3. T(h)Hw(g) =Hw(g) với h ∈ R;
4. Hw(g) là compact yếu.
Ta sẽ sử dụng lí thuyết tập hút đều trong không gian kép đối với quá trình liên tục yếu (xem [36]) và phương pháp ước lượng tiên nghiệm tiệm cận [61] để nghiên cứu tính trơn của tập hút đều trong trường hợp này.
Giả sử Σ là một tập tham số và X, Y là hai không gian Banach và Y
nhúng liên tục vào X. Họ {Uσ(t, τ)|t ≥ τ, τ ∈ R}, σ ∈ Σ được gọi là họ các quá trình trong X, nếu với mọi σ ∈ Σ, {Uσ(t, τ)|t ≥ τ, τ ∈ R} là một quá trình, nghĩa là, một họ các ánh xạ phụ thuộc hai tham số từ X vào X
thỏa mãn
Uσ(t, s)Uσ(s, τ) = Uσ(t, τ), ∀t ≥ s ≥τ, τ ∈ R,
Uσ(τ, τ) = Id, là ánh xạ đồng nhất với τ ∈ R
trong đó Σ được gọi là không gian biểu trưng, σ ∈ Σ được gọi là biểu trưng. Kí hiệu B(X) là tập tất cả các tập con bị chặn của X.
Định nghĩa 1.4.3. Một tập B0 ∈ B(Y) được gọi là tập (X, Y) - hấp thụ đều của họ các quá trình Uσ(t, τ)σ∈Σ nếu với mọi τ ∈ R và mọi B ∈ B(X), tồn tại t0 = t0(τ, B) ≥ τ sao cho ∪σ∈ΣUσ(t, τ)B ⊂ B0 với mọi t ≥ t0. Một tập P ⊂ Y được gọi là có tính chất (X, Y) - hút đều nếu với mọi τ ∈ R
Định nghĩa 1.4.4. Một tập đóng AΣ ⊂ Y được gọi là tập (X, Y) - hút đều đối với họ các quá trình {Uσ(t, τ)}σ ∈ Σ nếu nó có tính chất (X, Y) - hút đều và với bất kì tập đóng M có tính chất (X, Y) - hút đều của họ các quá trình {Uσ(t, τ)}σ ∈ Σ thì AΣ ⊂ M.
Định lí 1.4.5. [19] Giả sử {Uσ(t, τ)}σ∈Σ là họ các quá trình trên X thỏa mãn:
(1) Uσ(t+ h, τ + h) = UT(h)σ(t, τ), trong đó {T(h)|h ≥ 0} là một họ các toán tử trên Σ và thỏa mãn T(h)Σ = Σ với mọi h ∈ R+;
(2) Σ là tập compact yếu và {Uσ(t, τ)}σ∈Σ là (X × Σ, Y)- liên tục yếu, nghĩa là, với mọi t ≥ τ cho trước, τ ∈ R, ánh xạ (u, τ) 7→Uσ(t, τ)u là liên tục yếu từ X ×Σ vào Y;
(3) {Uσ(t, τ)}σ∈Σ là (X, Y) - compact tiệm cận đều, nghĩa là, nó có một tập có tính chất (X, Y) - hút đều và compact.
Khi đó họ {Uσ(t, τ)}σ∈Σ có một tập (X, Y) - hút đều AΣ compact trong Y
và hút mọi tập bị chặn trong X theo tôpô trong Y. Hơn nữa
AΣ = ωτ,Σ(B0) =∩t≥τ∪σ∈Σ∪s≥t Uσ(s, τ)B0,
trong đó B0 là tập (X, Y) - hấp thụ bị chặn của {Uσ(t, τ)}σ∈Σ. 1.4.2 Tập hút đều của nửa quá trình đa trị
Trong phần này ta nhắc lại một số khái niệm và kết quả trong [67] sẽ được sử dụng trong Chương 4.
Kí hiệu Rd = {(t, τ) : τ ≤ t}. Giả sử X là không gian metric đầy, P(X)
là tập tất cả các tập con không rỗng của không gian X, và gọi Σ là không gian metric compact. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Định nghĩa 1.4.6. Ánh xạ U : Rd×X → P(X) được gọi là nửa quá trình đa trị (MSP) nếu
1. U(τ, τ, .) =Id (ánh xạ đồng nhất);
2. U(t, τ, x) ⊂ U(t, s, U(s, τ, x)), với mọi x ∈ X, t, s, τ ∈ R, τ ≤ s ≤ t, trong đó U(t, s, U(s, τ, x)) = ∪y∈U(s,τ,x)U(t, s, y).
Nó được gọi là nửa quá trình đa trị ngặt nếu U(t, τ, x) =U(t, s, U(s, τ, x)). Ta xét họ các nửa quá trình đa trị {Uσ}σ∈Σ và định nghĩa ánh xạ UΣ :
Rd ×X → P(X) bởi UΣ(t, τ, x) = ∪σ∈ΣUσ(t, τ, x), cũng là một nửa quá trình đa trị. Với B ⊂ X, kí hiệu
γT,στ (B) = ∪t≥TUσ(t, τ, B).
Định nghĩa 1.4.7. Họ nửa quá trình đa trị {Uσ}σ∈Σ được gọi là nửa compact trên tiệm cận đều nếu với bất kì B ∈ B(X) và τ ∈ R sao cho với mọi T = T(B) > τ, γT,τ Σ(B) = ∪σ∈ΣγT,στ (B) ∈ B(X), bất kì dãy {ξn}, ξn ∈ Uσn(tn, τ, B), σn ∈ Σ, tn →+∞, là tiền compact trong X.
Định nghĩa 1.4.8. Họ nửa quá trình đa trị {Uσ}σ∈Σ được gọi là tiêu hao điểm nếu tồn tại B0 ∈ B(X) sao cho với mọi x ∈ X,
dist(UΣ(t,0, x), B0) →0 khi t→ ∞.
Định nghĩa 1.4.9. Gọi X và Y là hai không gian metric. Ánh xạ đa trị
F : X → Y được gọi là w- nửa liên tục trên (w-u.s.c.) tại x0 nếu với bất kì > 0 tồn tại δ > 0 sao cho
F(x) ⊂ O(F(x0)), ∀x ∈ Oδ(x0).
Ánh xạ F là w-u.s.c. nếu nó là w-u.s.c. tại bất kì x ∈ D(F) = {y ∈ X :
Định nghĩa 1.4.10. Một tập A được gọi là tập hút toàn cục đều đối với họ các nửa quá trình đa trị {Uσ}σ∈Σ nếu:
1. A là nửa bất biến âm, tức là, A ⊂ UΣ(t,0,A);
2. A có tính chất hút đều, tức là, dist(UΣ(t, τ, B),A) → 0, khi t → ∞, với mọi B ∈ B(X) và τ ∈ R;
3. Với bất kì tập đóng có tính chất hút đều Y, ta có A ⊂ Y (tính tối thiểu).
Kết quả sau suy từ [67, Định lí 2] và [57, Định lí 3.12] dùng để chứng minh sự tồn tại tập hút đều.
Định lí 1.4.11. Giả sử F(R, Z) là không gian các hàm với giá trị trong
Z, trong đó Z là một không gian tôpô, và Σ ⊂ F(R, Z) là một không gian metric compact. Giả sử rằng họ các nửa quá trình đa trị {Uσ}σ∈Σ thỏa mãn các điều kiện sau:
1. Có một toán tử dịch chuyển liên tục T(s)σ(t) = σ(t+ s), s ∈ R trên
Σ sao cho T(h)Σ ⊂ Σ, và với bất kì (t, τ) ∈ Rd, σ ∈ Σ, s ∈ R, x ∈ X, ta có
Uσ(t+s, τ +s, x) = UT(s)σ(t, τ, x);
2. {Uσ}σ∈Σ là nửa compact trên tiệm cận đều; 3. {Uσ}σ∈Σ là tiêu hao điểm;
4. Ánh xạ (x, σ) 7→ Uσ(t,0, x) có giá trị đóng và là w- nửa liên tục. Khi đó họ các nửa quá trình đa trị {Uσ}σ∈Σ có tập hút toàn cục đều compact A. Hơn nữa, nếu Σ là một không gian liên thông, ánh xạ (x, σ) 7→
Uσ(t,0, x) là nửa liên tục trên với giá trị liên thông, và tập hút toàn cục đều A được chứa trong một tập con bị chặn liên thông của X, thì A là tập liên thông.
1.5 Một số bất đẳng thức thường dùng
Chúng ta nhắc lại một số bất đẳng thức thường dùng: Bổ đề 1.5.1. (Bất đẳng thức Ho¨lder)
Giả sử Ω là một miền trong RN. Nếu p và p0 là hai số liên hợp, tức là
p, p0 > 1 và 1 p + 1 p0 = 1, thì f g ∈ L1(Ω) với mọi f ∈ Lp(Ω), g ∈ Lp0(Ω) và Z Ω |f(x)g(x)|dx≤ Z Ω |f(x)|pdx p1Z Ω |g(x)|p0dx p10 . Bổ đề 1.5.2. (Bất đẳng thức Young) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Cho a, b > 0, p và p0 là hai số liên hợp. Khi đó:
ab ≤ a p p +
bp0 p0.
Đặc biệt, nếu p= p0 = 2 thì ta có bất đẳng thức Cauchy.
Trong luận án, ta thường xuyên sử dụng các bất đẳng thức Gronwall sau đây:
Bổ đề 1.5.3. [82, Chương 2, tr. 54-55] (Bất đẳng thức Gronwall) Giả sử x(t) là một hàm liên tục tuyệt đối trên [0;T] và thỏa mãn
dx
dt ≤ g(t)x+ h(t), với hầu khắp t,
trong đó g(t) và h(t) là các hàm khả tích trên [0;T]. Khi đó
x(t) ≤x(0)eG(t)+
Z t
0
với 0 ≤t ≤ T, ở đó
G(t) =
Z t
0
g(r)dr.
Nói riêng, nếu a và b là các hằng số và
dx dt ≤ ax+ b, thì x(t) ≤ (x(0) + b a)e at− b a. Bổ đề 1.5.4. [85] (Bất đẳng thức Gronwall đều) Nếu x, a, b là ba hàm dương thỏa mãn:
dx dt ≤ ax+ b, trong đó Rtt+rx(s)ds ≤ X, Rtt+ra(s)ds ≤ A, Rtt+rb(s)ds ≤ B, ∀t ≥ t0. Khi đó x(t) ≤ X r +B eA,∀t ≥t0 +r. 1.6 Một số bổ đề quan trọng
Các bổ đề sau đóng vai trò quan trọng khi chứng minh chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán phi tuyến trong các chương sau.
Bổ đề đầu tiên là một trường hợp đặc biệt của Bổ đề compact Aubin - Lions trong [60].
Bổ đề 1.6.1. [82] Giả sử X ,→H ,→ Y, trong đó X, Y, H là ba không gian Banach vớiX là phản xạ và phép nhúng X trongH là compact. Giả sử {un}
là dãy bị chặn trong L2(0, T;X) và
ndun dt
o
bị chặn trong Lp(0, T;Y), p > 1. Khi đó tồn tại một dãy con của {un} hội tụ mạnh trong L2(0, T;H).
Bổ đề 1.6.2. [60] Giả sử O là tập mở bị chặn trong Rn và gj là dãy trong
Lp(O) thỏa mãn:
kgjkLp(O) ≤ C,∀j. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Chương 2
TẬP HÚT TOÀN CỤC ĐỐI VỚI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY BIẾN NỬA TUYẾN TÍNH TRÊN
MIỀN BỊ CHẶN
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu một lớp bài toán bài toán parabolic suy biến nửa tuyến tính trên miền bị chặn Ω ⊂ RN, N ≥ 2, với số hạng phi tuyến tiêu hao và tăng trưởng kiểu đa thức. Chúng tôi sẽ chứng minh sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán, sự tồn tại tập hút toàn cục trong
L2(Ω), sự phụ thuộc nửa liên tục trên của tập hút toàn cục vào số hạng phi tuyến, tính trơn của tập hút toàn cục và đánh giá số chiều fractal của tập hút toàn cục. Nội dung của chương này được viết dựa trên các bài báo [1, 2] trong Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án.
2.1 Đặt bài toán
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu bài toán parabolic suy biến nửa tuyến tính sau trên miền bị chặn Ω ⊂RN, N ≥ 2,
∂u
∂t −div(σ(x)∇u) +f(u) +g(x) = 0, x ∈ Ω, t > 0, u(t, x) = 0, x ∈ ∂Ω, t > 0
u(0, x) =u0(x), x ∈ Ω,
(2.1)
trong đó u0 ∈ L2(Ω) cho trước, số hạng phi tuyến f và ngoại lực g thỏa mãn các điều kiện sau:
(F) f : R→ R là hàm thuộc lớp C1 thỏa mãn:
C1|u|p−C0 ≤ f(u)u ≤C2|u|p+C0, (2.2)
f0(u) ≥ −C3, với mọi u ∈ R, (2.3) với p ≥ 2 nào đó, ở đó C0, C1, C2 và C3 là các hằng số dương. Ví dụ cho hàmf thỏa mãn (2.2)-(2.3) có thể lấy làf(u) = |u|p−2u hoặcf(u) là những đa thức bậc lẻ 2m −1 với hệ số cao nhất dương (khi đó p= 2m).
(G) g ∈ L2(Ω).
Bài toán (2.1) xuất phát từ quá trình khuếch tán nơtron (điều khiển phản lực của phản ứng hạt nhân) (xem [42]). Trong trường hợp này u và
σ tương ứng chỉ sự chảy nơtron và sự khuếch tán nơtron.
Tính suy biến của bài toán (2.1) là do hệ số khuếch tán σ là hàm không âm, đo được và có thể bằng không tại hữu hạn điểm. Cụ thể ta giả sử hàm
σ : Ω →R thỏa mãn điều kiện sau (xem [31]):
(Hα) σ ∈ Lloc1 (Ω) và với α ∈ (0,2),lim infx→z|x − z|−ασ(x) > 0 với mọi z ∈ Ω.
Về ý nghĩa vật lí của điều kiện (Hα), có thể tham khảo ở [31, 42, 55, 56, 12]. Chú ý rằng trong nhiều quá trình khuếch tán khác nhau ta có thể xem σ(x) ∼ |x|α, α ∈ (0,2).
2.2 Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếuKí hiệu Kí hiệu ΩT = Ω×(0, T), A = −div(σ(x)∇), V = L2(0, T;D01(Ω, σ))∩Lp(ΩT), V∗ = L2(0, T;D−1(Ω, σ)) +Lp0(ΩT).
Định nghĩa 2.2.1. Hàm u(x, t) được gọi là một nghiệm yếu của bài toán (2.1) trên (0, T) nếu và chỉ nếu
u ∈ V, du dt ∈ V∗, u|t=0 = u0 hầu khắp trong Ω, và Z ΩT ∂u ∂tϕ+σ∇u∇ϕ+f(u)ϕ+gϕ dxdt = 0 (2.4) với mọi hàm thử ϕ ∈ V.
Mệnh đề sau đây chỉ ra tính liên tục của nghiệm yếu theo thời gian t. Mệnh đề 2.2.2. Nếu u ∈ V và du
dt ∈ V∗, thì u ∈ C([0, T];L2(Ω)). Chứng minh. Lấy dãy un ∈ C1([0, T];D1
0(Ω, σ)∩Lp(Ω)) sao cho un → u trong V dun dt → ∂u∂t trong V∗.
Khi đó, với mọi t, t0 ∈ [0, T], ta có
kun(t)−um(t)k2L2(Ω) =kun(t0)−um(t0)k2L2(Ω) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
+ 2
Z t
t0
Chọn t0 sao cho kun(t0)−um(t0)k2L2(Ω) = 1 T Z T 0 kun(t)−um(t)k2L2(Ω)dt. Ta có Z Ω |un(t)−um(t)|2dx = 1 T Z Ω Z T 0 |un(t)−um(t)|2dtdx + 2 Z Ω Z t t0 (u0n(s)−u0m(s))(un(s)−um(s))dsdx ≤ 1 T Z Ω Z T 0 |un(t)−um(t)|2dxdt+ 2ku0n−u0mkV∗kun−umkV.
Do đó, {un} là dãy Cauchy trongC([0, T];L2(Ω)). Vì vậy {un} hội tụ trong
C([0, T];L2(Ω)) tới một hàm v ∈ C([0, T];L2(Ω)). Mặt khác, từ un → u
trong V, un(t) → u(t) trong L2(Ω) hầu khắp t ∈ [0, T]. Do đó, ta thu được
u = v hầu khắp nơi. Điều đó chứng tỏ u ∈ C([0, T];L2(Ω)) (nếu cần có thể chỉnh sửa giá trị trên một tập có độ đo 0). ♦
Định lí 2.2.3. Nếu các điều kiện (Hα) - (F) - (G) được thỏa mãn thì bài toán (2.1) có duy nhất một nghiệm yếu u(t) thỏa mãn
u ∈ C([0,∞);L2(Ω))∩L2loc(0,∞;D10(Ω, σ))∩ Lploc(0,∞;Lp(Ω))
và
du
dt ∈ L2loc(0,∞;D−1(Ω, σ)) +Lploc0 (0,∞;Lp0(Ω)),
trong đó p0 là số mũ liên hợp của p. Hơn nữa, ánh xạ u0 7→ u(t) là liên tục trên L2(Ω), tức là nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu.
Chứng minh. (i) Sự tồn tại. Ta xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ un(t) trong không gian hữu hạn chiều xác định bởi n vectơ riêng đầu tiên của toán tử
A sao cho un(t) = n X j=1 unj(t)ej
và giải bài toán sau h∂un ∂t , eji+hAun, eji+ hf(un), eji+ (g, ej) = 0, 1≤ j ≤n, (un(0), ej) = (u0, ej). (2.5)
Theo định lí Peano trong lí thuyết phương trình vi phân thường, tồn tại dãy nghiệm xấp xỉ un(t) của bài toán trên. Chúng ta sẽ xây dựng các ước lượng tiên nghiệm cho un. Ta có
1 2 d dtkunk2L2(Ω) +kunk2D1 0(Ω,σ) + Z Ω f(un)undx+ Z Ω gundx = 0.
Do điều kiện (2.2) và từ bất đẳng thức Cauchy, ta có
1 2 d dtkunk2L2(Ω) + kunk2D1 0(Ω,σ) −C0|Ω|+ C1 Z Ω |un|pdx ≤ 1 2λ1kgk2L2(Ω) + λ1 2 kunk2L2(Ω), (2.6)
trong đóλ1 là giá trị riêng đầu tiên củaAtrênΩ với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất (chú ý rằng kuk2 D1 0(Ω,σ) ≥λ1kuk2 L2(Ω)). Do đó d dtkunk2L2(Ω) ≤ −λ1kunk2L2(Ω)+ C4, trong đó C4 = 1 λ1kgk2+ 2C0|Ω|. Sử dụng bất đẳng thức Gronwall, ta được kun(t)kL22(Ω) ≤ e−λ1t kun(0)k2L2(Ω) + C4 λ1(1−e−λ1t ). (2.7) Ước lượng trên cho thấy nghiệm un(t) của (2.5) trên đoạn [0, T] có thể mở rộng ra toàn khoảng [0,+∞). Từ (2.6), ta có d dtkun(t)k2L2(Ω) +kun(t)k2D1 0(Ω,σ)+ 2C1 Z Ω |un(t)|pdx≤ C4.
Với t là một số dương bất kì, 0 < t ≤T, lấy tích phân hai vế từ 0 tới t của bất đẳng thức trên, ta có kun(t)k2L2(Ω)+ Z t 0 kun(s)k2D1 0(Ω,σ)ds+2C1 Z t 0 |un|pdxds ≤ kun(0)k2L2(Ω)+C4T. Từ đây suy ra • {un} bị chặn trong L∞(0, T;L2(Ω)); • {un} bị chặn trong L2(0, T;D1 0(Ω, σ)); • {un} bị chặn trong Lp(ΩT).
Trước tiên chúng ta dùng tính bị chặn của {un} trong Lp(ΩT) để chứng minh tính bị chặn của {f(un)} trong Lp0(ΩT), ở đó p0 là liên hợp của p. Thật vậy, từ điều kiện (2.2) suy ra
|f(u)| ≤ C5(1 +|u|p−1). Do đó, kf(un)kp0 Lp0 (Ω) = Z T 0 Z Ω |f(un)|p0dxdt ≤ C Z T 0 Z Ω (1 +|un|(p−1))p0dxdt ≤C Z T 0 Z Ω (1 +|un|p)dxdt. Vì vậy {f(un)} bị chặn trong Lp0(ΩT). Tiếp theo chúng ta chứng minh {dun
dt } bị chặn trong không gian
Lp0(0, T;D−1(Ω, σ) +Lp0(Ω)). Thật vậy, từ
dun
dt = −Aun−f(un)−g,
suy ra{dun (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
dt }là bị chặn trongV∗. Kết hợp vớiL2(0, T;D−1(Ω, σ)) vàLp0(ΩT)
nhúng liên tục vào Lp0(0, T;D−1(Ω, σ) +Lp0(Ω)), ta thu được kết quả cần chứng minh.
• un * u trong L2(0, T;D1 0(Ω, σ)); • un * u trong Lp(ΩT); • f(un) * χ trong Lp0(ΩT); • dun dt * du dt trong V ∗. Từ u ∈ V và ut ∈ V∗, bởi Mệnh đề 2.2.2, ta có u ∈ C([0, T];L2(Ω)).
Còn lại chỉ cần chứng minh cho χ = f(u) và u(0) = u0. Do {un} bị chặn trong L2(0, T;D1
0(Ω, σ)), {dun
dt } bị chặn trong Lp0(0, T;D−1(Ω, σ) +Lp0(Ω)), và từ Bổ đề 1.6.1 ta có
un → u trong L2(0, T;L2(Ω)).
Do đó, có thể lấy một dãy con {unk} sao cho
unk →u hầu khắp trong ΩT.
Từ tính liên tục của hàm f ta có
f(unk) →f(u) hầu khắp trong ΩT.
Do {f(unk)} bị chặn trong Lp0(ΩT), bởi Bổ đề 1.6.2, ta có
f(unk) * f(u) trong Lp0(ΩT),
và do tính duy nhất của giới hạn ta có χ = f(u).
Để chứng minhu(0) = u0, chọn hàm thửϕ ∈ C1([0, T];D1
0(Ω, σ)∩Lp(Ω))
với ϕ(T) = 0 và lấy tích phân theo t từ 0 đến T ở phương trình xấp xỉ nghiệm, ta có Z T 0 −hun, ϕ0idt+ Z ΩT σ∇un∇ϕ+f(un)ϕ+gϕdxdt = (un(0), ϕ(0)).
Qua giới hạn với n → ∞ ta thu được Z T 0 −hu, ϕ0idt+ Z ΩT σ(x)∇u∇ϕ+f(u)ϕ+gϕdxdt = (u0, ϕ(0)), (2.8) với un(0) → u0. Mặt khác, Z T 0 −hu, ϕ0idt+ Z ΩT σ(x)∇u∇ϕ+f(u)ϕ+gϕdxdt = (u(0), ϕ(0)). (2.9) So sánh (2.8) với (2.9) ta có u(0) = u0. Vì vậy, u là nghiệm yếu của (2.1). Nghiệm u là nghiệm toàn cục do bất đẳng thức sau:
ku(t)k2L2(Ω) ≤ e−λ1tku(0)k2L2(Ω) + C4
λ1
(1−e−λ1t). (2.10) (ii) Tính duy nhất và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ kiện ban đầu. Giả sử u, v là hai nghiệm của (2.1) với điều kiện ban đầu u0, v0 ∈ L2(Ω). Đặt w = u−v ta có wt + Aw+f(u)−f(v) = 0, x ∈ Ω, t > 0,