Chương 2. Xây dựng hệ thống bài tập điển hình nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ trong không gian cho học sinh lớp 12
2.3.6. Các bài toán chọn lọc
Bài 1: (Bài 1.15-Tr 18 - SBT HH12- Cơ bản)
Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác cân, AB=AC=5a, BC=6a và các mặt bên tạo với đáy một góc 600. Hãy tính thể tích của khối chóp đó.
Bài 2: (Bài 1.16-Tr 18 - SBT HH12- Cơ bản)
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B. Cạnh SA vuông góc với đáy. Từ A kẻ các đoạn thẳng AD vuông góc với SB và AE vuông góc với SC. Biết rằng AB = a, BC = b, SA = c.
a. Hãy tính thể tích khối chóp S.ADE
b. Tính khoảng cách từ E đến mặt phẳng (SAB) Bài 3: (Bài 1.18-Tr 18 - SBT HH12- Cơ bản)
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = 2a, AA'=a. Lấy điểm M trên cạnh AD sao cho AM = 3 MD.
a. Tính thể tích khối chóp M.AB’C
b. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB’C).
Bài 4: (Bài 1.19-Tr 19- SBT HH12- Cơ bản)
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b, AA' = c. Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của A’B’ và B’C’.
Tính tỉ số giữa thể tích khối chóp D’.DMN và thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’.
Bài 5: (Bài 1.20-Tr 19 - SBT HH12- Cơ bản)
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b, AA' = c. Gọi E và F lần lượt là những điểm thuộc các cạnh BB’ và DD’ sao cho '
2 1 EB BE , 2 '
1 FD
DF . Mặt phẳng (AEF) chia khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ thành hai khối đa diện (H) và (H’). Gọi (H’) là khối đa diện chứa đỉnh A’. Hãy tính thể tích của (H) và tỉ số thể tích của (H) và (H’).
Bài 6: (Bài 2.4-Tr 40 - SBT HH12- Cơ bản)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao SO = h và góc SAB = (>
450). Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông ABCD của hình chóp.
Bài 7: (Bài 2.6-Tr 40 - SBT HH12- Cơ bản)
Cho khối nón có bán kính đáy r=12cm và có góc ở đỉnh là = 1200. Hãy tính diện tích của thiết diện đi qua hai đường sinh vuông góc với nhau.
Bài 8: (Bài 2.9-Tr 40 - SBT HH12- Cơ bản)
Một khối trụ có bán kính đáy bằng r và chiều cao bằng r 3.
Gọi A và B là hai điểm trên hai đường tròn đáy sao cho góc được tạo thành giữa đường thẳng AB và trục của khối trụ bằng 300.
a. Tính diện tích của thiết diện qua AB và song song với trục của khối trụ.
b. Tính góc giữa hai bán kính đáy qua A và B.
c. Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB và trục của khối trụ.
d. Chứng minh rằng () tiếp xúc với mặt trụ trục OO’ có bán kính bằng 2
2 r dọc theo một đường sinh.
Bài 9: (Bài 3.25-Tr 98 - SBT HH12- Cơ bản)
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Dùng phương pháp tọa độ để:
a. Chứng minh hai mặt phẳng (AB’D’) và (BC’D) song song;
b. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó.
Bài 10: (Bài 3.43-Tr 141 - SBT HH12- Cơ bản)
Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có cạnh bằng a. Bằng phương pháp tọa độ hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CA’ và DD’.
Bài 11: (Bài 24-Tr 9 - SBT HH12- Nâng cao)
Đáy của khối lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 là tam giác đều. Mặt phẳng (A1BC) tạo với đáy một góc 300 và tam giác A1BC có diện tích bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.
Bài 12: (Bài 25-Tr 9 - SBT HH12- Nâng cao)
Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A1B1C1D1 có đáy là hình bình hành và 450
BAD . Các đường chéo AC1 và DB1 lần lượt tạo với đáy những góc 450 và 600. Hãy tính thể tích của khối lăng trụ nếu biết chiều cao của nó bằng 2.
Bài 13: (Bài 26-Tr 9 - SBT HH12- Nâng cao)
Cho khối hộp ABCD.A1B1C1D1 có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a,
0 0
1 1 ,(0 90 )
A ABBAD A AD . Hãy tính thể tích của khối hộp.
Bài 14: (Bài 27-Tr 9 - SBT HH12- Nâng cao)
Cho khối hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy là hỡnh chữ nhật với AB = 3, AD = 7. Hai mặt bờn (ABB'A') và (ADD'A') lần lượt tạo với đáy những gúc 450 và 600. Hóy tớnh thể tớch khối hộp nếu biết cạnh bờn bằng 1.
Bài 15: (Bài 29-Tr 9 - SBT HH12- Nâng cao)
Cho khối lăng trụ ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông cân với cạnh huyền AB bằng 2. Cho biết mặt phẳng (AA1B) vuông góc với mặt phẳng (ABC), AA1= 3, góc A AB1 nhọn, góc giữa mặt phẳng (A1AC) và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Hãy tính thể tích khối lăng trụ.
Bài 16: (Bài 33-Tr 10 - SBT HH12- Nâng cao)
Cho khối chóp tam giác đều A.ABC có chiều cao bằng h và góc ASB bằng 2. Hãy tính thể tích khối chóp.
Bài 17: (Bài 34-Tr 10 - SBT HH12- Nâng cao)
Khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C và SA(ABC),SC a. Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối chóp lớn nhất.
Bài 18: (Bài 36-Tr 10 - SBT HH12- Nâng cao)
Khối chóp S.ABC có SA(ABC); đáy là tam giác ABC cân tại A, độ dài trung tuyến AD bằng a, cạnh bên SB tạo với đáy một góc và tạo với mặt (SAD) góc . Tính thể tích khối chóp.
Bài 19: (Bài 39-Tr 10 - SBT HH12- Nâng cao)
Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cân cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a. Gọi B', D' lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SD.
Mặt phẳng (AB'D') cắt SC tạiC'. Tính thể tích khối chóp S.AB'C'D'.
Bài 20: (Bài 40-Tr 10 - SBT HH12- Nâng cao)
Tính thể tích khối tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau: AB=CD=a, AC=BD=b; AD=BC=c.
Bài 21: (Bài 27-Tr 120 - SBT HH12- Nâng cao) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a.
a. Chứng minh A'C(AB'D')
b.Gọi M là trung điểm của AD, N là trung điểm của BB'. Chứng minh A'CMN
c.Tính côsin của góc giữa hai vectơ MN và AC' d. Tính VA'CMN
Bài 22: (Bài 28-Tr 120 - SBT HH12- Nâng cao)
Cho tứ diện SABC có SC=CA=AB=a 2,SC(ABC), tam giác ABC vuông tại A. Các điểm MSA,NBCsao cho AM=CN=t (0<t<2a).
a)Tính độ dài đoạn MN. Tìm giá trị t để MN ngắn nhất.
b)Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN là đường vuông góc chung của BC và SA.
Bài 23: (Bài 53-Tr 127 - SBT HH12- Nâng cao)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h.
Gọi I là trung điểm của cạnh bên SC. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABI).
Bài 24: (Bài 54-Tr 127 - SBT HH12- Nâng cao) Cho khối lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng 1.
a) Tính góc tạo bởi các đường thẳng AC' vàA'B'.
b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh A'B', BC, DD'.
Chứng minh AC' vuông góc với mặt phẳng (MNP).
c) Tính thể tích tứ diện AMNP.
Bài 25: (Bài 78 -Tr 135 - SBT HH12- Nâng cao)
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 1. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh B'B, CD và A'D'.
a) Tính khoảng cách giữa cặp đường thẳng A'B, B'D và cặp đường thẳng PI, AC' (I là tâm của đáy ABCD).
b) Tính góc giữa hai đường thẳng MP và C'N.
Tính góc giữa hai mặt phẳng (PAI) và (DCC'D').
Bài 26: (Bài 79-Tr 135 - SBT HH12- Nâng cao)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SD.
Bài 27: (Bài 94-Tr 140 - SBT HH12- Nâng cao)
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a. Xét hai điểm M trên AD' và N trên BD sao cho AM = DN = k (0<k<a 2. Gọi P là trung điểm của B'C' a. Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng AP và BC'.
b. Tính thể tích khối tứ diện APBC'.
c. Chứng minh MN luôn song song với mặt phẳng (A'D'CB) khi k thay đổi.
d. Tìm k để đoạn thẳng MN ngắn nhất.
Bài 28: (Bài 8-Tr 224 - SBT HH12- Nâng cao)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân, AB=AC=a;
mp(SBC)mp(ABC) và SA=SB=a;
1. Chứng minh rằng SBC là tam giác vuông.
2. Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC biết SC=
2 3a Bài 29: (ĐHSP I Khối A-2000)
Trong không gian cho các điểm A,B,C theo thứ tự thuộc các tia Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một sao cho OA=a, OB=a 2, OC=c(a,c>0). Gọi D là đỉnh đối diện với O của hình chữ nhật AOBD và M là trung điểm của đoạn BC. (P) là mặt phẳng đi qua A, M và cắt mặt phẳng (OCD) theo một đường thẳng vuông góc với AM.
a. Gọi E là giao điểm của (P) với OC, tính độ dài đoạn OE.
b.Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện được tạo thành khi cắt khối chóp CAOBD bởi mặt phẳng (P).
c. Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (P).
Bài 30: (ĐHSP Vinh Khối D -2000)
Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 cạnh bằng 2. Gọi E, F tương ứng là trung điểm của các cạnh AB và DD1.
a. CMR: EF//(C1BD).
b. Gọi K là trung điểm của C1D1. Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (KEF) và xác định góc giữa hai đường thẳng EF và BD.
Bài 31: (ĐHDL Duy Tân Khối A-2000)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB=2a, BC=a. Các cạnh bên của hình chóp đều bằng a 2.
a. Tính thể tích hình chóp.
b. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, CD, SC, SD.
CMR SMN là tam giác đều.
c. CMR SN vuông góc với mặt phẳng (MNQ).
Bài 32: (ĐHBK HN Khối D - 2001)
Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Trên các đường thẳng vuông góc với (P) tại B và C lần lượt lấy các điểm D, E nằm về cứng một phía đối với (P) sao cho BD= , 3
2
3 CE a
a .
a. Tính độ dài các cạnh AD, AE, DE.
b. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCE.
c. Gọi M là giao điểm của các đường thẳng ED và BC. CMR đường thẳng AM vuông góc với mặt phẳng (ACE). Tính số đo góc giữa hai mặt phẳng (ADE) và (ABC).
Bài 33: (ĐHSP Vinh Khối D - 2001)
Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 cạnh a. Trên BD và B1A lấy điểm M, N sao cho BM=B1N=t. Gọi , lần lượt là các góc tạo bởi MN với các đường thẳng BD và B1A.
a. Tính độ dài đoạn MN theo a và t. Tìm t để độ dài MN đạt giá trị nhỏ nhất.
b. Chứng minh rằng cos2 + cos2 = 1/2.
c. Tính và khi MN đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 34: (ĐH Khối A- 2002).
Cho hình chóp tam giác đều SABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh SB và SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC).
Bài 35: (ĐH Khối D - 2002)
Cho hình tứ diện ABCD, có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC), AC=AD=4, AB=3, BC=5. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).
Bài 36: (ĐH Khối A - 2003)
1. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính số đo của góc nhị diện [B, A’C, D].
2. Trong không gian với hệ tọa độ Đề các vuông góc Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc tọa độ B (a;0;0), D(0;a;0), A’(0;0;b) (a>0, b>0). Gọi M là trung điểm của CC’.
a. Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a và b.
b. Xác định tỷ số a/b để mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với nhau.
Bài 37: (ĐH Khối B - 2003)
Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc BAD = 600. Gọi M là trung điểm cạnh AA' và N là trung điểm của cạnh CC’.
Chứng minh rằng bốn điểm B’, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA' theo a để tứ giác B’MDN là hình vuông.
Bài 38: (ĐH Khối D - 2006)
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA=2a, SA mp(ABC). Gọi M,N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích của khối chóp ABCNM
Bài 39: (ĐH Khối A - 2007)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP.
Bài 40: (ĐH Khối B - 2007)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.
Bài 41: (ĐH Khối B - 2008)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a 3và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN.
Bài 42: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a, SO vuông góc với đáy. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm SA và BC. Biết rằng góc giữa MN và (ABCD) bằng 600.
a. Tính MN và SO.
b. Tính góc giữa MN và mặt phẳng (SBD).
Bài 43: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đáy đều bằng a. Hơn nữa góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là 600 và hình chiếu H của đỉnh A lên mặt phẳng (A’B’C’) trùng với trung điểm cạnh B’C’.
a. Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy
b. Tính góc giữa hai đường thẳng BC và AC’
c. Tính góc giữa mp(ABB’A’) và mặt đáy d. Tính thể tích khối lăng trụ.
Bài 44: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi và góc giữa hai đường thẳng AB, AD bằng 600. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng BC, F là trung điểm của đoạn thẳng BE.
Tính góc giữa mặt phẳng (SOF) và mặt phẳng (SBC).
Bài 45: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc với đáy. Gọi M, N là hai điểm theo thứ tự thuộc BC, DC sao cho BM=x, DN=y.
a. Tìm hệ thức liên hệ của x, y để hai mặt phẳng (SAM) và (SMN) vuông góc với nhau.
b. CMR điều kiện cần và đủ để nhị diện (M,SA,N) có số đo bằng 300 là:
a(xy)xy 3 a2 3
Bài 46: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông đường cao AB=a, BC=2a, SA=a và vuông góc với đáy, ngoài ra còn có SCBD.
a. Tính AD.
b. Gọi M là điểm trên đoạn SA, đặt AM=x (0xa). Tính độ dài đường cao DE của BDM theo a và x. Xác định x để DE có giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Bài 47: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a.
a. Chứng minh rằng giao điểm của đường chéo A’C và mp(AB’D’) là trọng tâm tam giác AB’D’.
b. Tìm khoảng cách giữa hai mp(AB’D’) và mp (C’BD).
c. Tìm góc tạo bởi hai mp (DA’C) và mp (ABB’A’).
Bài 48: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Điểm M thuộc AD’ và điểm N thuộc BD sao cho AM = DN = k , (0ka 2)
a. Tìm k để đoạn thẳng MN ngắn nhất.
b. Chứng minh rằng MN luôn song song với mp(A’D’BC) khi k biến thiên.
c. Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh rằng MN là đường vuông góc chung của AD’ và DB và MN song song với A’C.
Bài 49: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, có cạnh bằng a; đường cao SOmp(ABCD) và SO = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SC, AB.
Bài 50: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, với AB=a;
AD=2a, cạnh SA mp(ABCD), cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 60o . Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho AM = 3
3
a , mặt phẳng (BCM) cắt SD tại điểm N.
Tính thể tích khối chóp S.BCNM?
Bài 51: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Lấy hai điểm M và N theo thứ tự trên AC và A’B sao cho AM = A’N = t (0 t a 2). Tìm GTNN của MN khi M, N lần lượt chuyển động trên AC, A’B.
Bài 52: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B với BC là đáy nhỏ. Biết rằng tam giác SAB là tam giác đều có cạnh với độ dài 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, SCa 5 và khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SCH) bằng a 2 (ở đây H là trung điểm của AB). Hãy tính thể tích của khối chóp theo a.