3.2. Cơ sở lý thuyết phương pháp mô hình số áp d ụng cho Visual Modflow
3.2.2. Phương pháp sai phân hữu hạn
Phương pháp sai phân hữu hạn thay vì tìm lời giải cho hàm liên tục h(x,y,z,t), người ta chia nhỏ không gian thành các ô lưới (phần tử), và chia nhỏ bước thời gian tính toán. Ở mỗi phần tử trong một bước thời gian các giá trị
tham gia vào phương trình được coi là đồng nhất tại mỗi thời điểm trong ô lưới người ta coi cả thông là không thay đổi. Thiết lập cân bằng nước cho từng ô lưới sai phân và kết hợp chúng lại tạo thành một hệ phương trình đại số tuyến tính.
Nghiên cứu đánh giá trữ lượng khai thác nước dưới đất bằng phương pháp mô hình số
Giải hệ phương trình đại số này ta sẽ tìm được nghiệm là hàm h(x,y,z,t) rời rạc..
Hình 3 mô tả quá trình rời rạc hoá không gian, vùng nghiên cứu được phân chia theo chiều thẳng đứng z thành các lớp chứa nước, thấm nước kém. Mỗi lớp chứa nước lại được chia thành các ô nhỏ hơn. Vùng hoạt động của nước ngầm trong mỗi tầng chứa nước sẽ được đánh dấu “hoạt động”, ở đó mực nước biến thiên và nó sẽ tham gia vào tính toán trong phương trình. Những ô thuộc vùng không chứa nước hoặc nước không thể thấm qua, hoặc ô ngoài miền tính toán được thì được đánh dấu là “không hoạt động”.
Hình 3. Sơ đồ rời rạc hoá không gian trong mô hình
Hệ phương trình sai phân nhận được từ phương trình (3.1) được thành lập trên cơ sở các qui tắc cân bằng: Tổng tất cả dòng chảy vào và chảy ra từ một ô phải bằng sự thay đổi thể tích nước có trong ô. Giả thiết rằng mật độ của nước, môi trường chứa nước không đổi thì cân bằng dòng chảy cho một ô được thể
hiện bằng phương trình sau:
t V S h
Q s
i
i ∆
∆
= ∆
∑ (3.2)
QRiR- Lượng nước chảy vào ô (nếu chảy ra thì Q lấy giá trị âm);
SRSR - Giá trị của hệ số nhả nước, nó chính là giá trị Ss(x,y,z);
Nghiên cứu đánh giá trữ lượng khai thác nước dưới đất bằng phương pháp mô hình số
∆V - Thể tích ô;
∆h là giá trị biến thiên của h trong thời gian ∆t tại ô lưới đang xét.
Hình 4 mô tả cho một ô lưới (i,j,k) và 6 ô bên cạnh: (i-1,j,k), (i+1,j,k), (i,j- 1,k), (i,j+1,k), (i,j,k-1), (i,j,k+1). Dòng chảy từ ô (i,j,k) sang các ô bên cạnh (ở
đây ngầm định nếu dòng chảy vào ô mang dấu dương, ngược lại ra khỏi ô mang dấu âm).
i,j,k i,j,k-1
i,j,k+1 i+1,j,k
i,j-1,k i,j+1,k
i-1,j,k
Hình 4. Ô lưới i,j,k và 6 ô xung quanh
Theo định luật Darcy, lượng nước qRi,j-1/2,kR chảy từ ô (i,j-1,k) sang ô (i,j,k) sẽ tính được theo phương trình sau:
2 / 1 j
k , j , i k , 1 j , i k i k , 2 / 1 j , i k
, 2 / 1 j ,
i r
) h h
v ( c KR
q
−
− −
− ∆
∆ −
∆
= (3.3)
Trong đó:
hRi,j,kR là mực nước tại ô (i,j,k)
qRi,j-1/2,kR là thể tích nước chảy qua mặt tiếp giáp giữa ô (i,j,k) và ô (i,j−1,k) KRRi,j-1/2,kR là hệ số thấm dọc theo dòng chảy giữa các nút lưới (i,j,k) và (i,j−1,k)
∆cRiR∆vRkR là diện tích bề mặt vuông góc với phương dòng chảy
∆rRj-1/2R là khoảng cách giữa các nút lưới (i,j,k) và (i,j−1,k)
Tương tự ta có các phương trình cân bằng tính cho các nút lưới lân cận khác. Dòng chảy chảy qua giữa các nút lưới (i,j,k) và (i,j+1,k) sẽ là:
2 / 1 j
k , j , i k , 1 j , i k i k , 2 / 1 j , i k
, 2 / 1 j ,
i r
) h h
v ( c KR
q
+ + +
+ ∆
∆ −
∆
= (3.4)
Dòng chảy chảy qua các nút lưới (i,j,k) và (i+1,j,k) sẽ là:
Nghiên cứu đánh giá trữ lượng khai thác nước dưới đất bằng phương pháp mô hình số
2 / 1 i
k , j , i k , j , 1 i k j j , 2 / 1 i k
, j , 2 / 1
i c
) h h
v ( r KC
q
+ + +
+ ∆
∆ −
∆
= (3.5)
và từ nút lưới (i-1,j,k) vào (i,j,k) là:
2 / 1 i
k , j , i k , j , 1 i k j k , j , 2 / 1 i k
, j , 2 / 1
i c
) h h
v ( r KC
q
−
− −
− ∆
∆ −
∆
= (3.6)
Dòng chảy theo phương thẳng đứng qua nút lưới (i,j,k) và (i,j,k+1) là:
2 / 1 k
k , j , i 1 k , j , i i j 2 / 1 k , j , i 2 / 1 k , j ,
i v
) h h
c ( r KV
q
+ + +
+ ∆
∆ −
∆
= (3.7)
và từ nút lưới (i,j,k-1)) và (i,j,k) là:
2 / 1 k
k , j , i 1 k , j , i i j 2 / 1 k , j , i 2 / 1 k , j ,
i v
) h h
c ( r KV
q
−
− −
− ∆
∆ −
∆
= (3.8)
Nếu chúng ta thay tích số kích thước các bước lưới và hệ số thấm bằng giá trị sức cản thấm nào đó, chẳng hạn như sức cản thấm theo phương nằm ngang từ nút lưới (i,j-1,k) đến (i,j,k) sẽ là:
CRRi,j-1/2,kR=KRRi,j-1/2,kR∆ci∆vk/∆rRj-1/2R (3.9)
Trong đó:
CRRi,j-1/2,kR: là sức cản thấm trong hàng thứ i, lớp k giữa các nút lưới (i,j-1,k) và (i,j,k).
Tương tự như vậy ta sẽ có các giá trị sức cản thấm tương ứng:
qRi,j-1/2,kR=CRiR,j-1/2,kR(hRi,j-1,kR-hRi,j,kR) (3.10) qRi,j+1/2,kR=CRiR,j+1/2,kR(hiR,j+1,kR-hiR,j,kR) (3.11) qiR-1/2,j,kR=CCiR-1/2,j,kR(hiR-1,j,kR-hiR,j,kR) (3.12) qiR+1/2,j,kR=CCiR+1/2,j,kR(hiR+1,j,kR-hiR,j,kR) (3.13) qiR,j,k-1/2R=CViR,j,k-1/2R(hiR,j,k-1R-hiR,j,kR) (3.14) qiR,j,k+1/2R=CViR,j,k+1/2R(hiR,j,k+1R-hiR,j,kR) (3.15)
Lưu lượng cung cấp từ biên vào ô được xác định theo phương trình tổng quát sau:
aRi,j,k,nR = pRi,j,k,nR hRi,j,kR + qRi,j,k,nR (3.16) Trong đó:
aRi,j,k,nR biểu diễn dòng chảy từ nguồn thứ n vào trong nút lưới (i,j,k) hRi,j,kR mực nước của nút (i,j,k)
pRi,j,k,nR , qRi,j,k,nR là các hệ số có thứ nguyên (LP2PtP-1P) và (LP3PtP-1P) tương ứng của
Nghiên cứu đánh giá trữ lượng khai thác nước dưới đất bằng phương pháp mô hình số
phương trình.
Sau đây, chúng ta sẽ mô tả một số điều kiện biên có thể được viết dưới dạng tổng quát như trên: Giả sử có một ô lưới nhận được cung cấp từ hai nguồn:
lỗ khoan và sông. Đối với nguồn cấp thứ nhất (n=1) là từ lỗ khoan, lưu lượng dòng chảy từ lỗ khoan thường độc lập với mực nước lúc đó hệ số pRi,j,k,1R =0 và qRi,j,k,1Rlà lưu lượng của lỗ khoan. Lúc này, phương trình (3.16)được viết:
aRi,j,k1R = qRi,j,k1R (3.17)
Đối với nguồn cấp thứ hai (n=2), giả sử rằng mối quan hệ giữa tầng chứa nước và sông thông qua một giá trị sức cản thấm đáy lòng. Như vậy, lưu lượng dòng thấm giữa sông và nút lưới (i,j,k) sẽ tỷ lệ với mực nước của ô lưới và mực nước trong sông, hay là:
aRi,j,k2R = CRIVRi,j,k2R(RRi,j,kR-hRi,j,kR) (3.18) Trong đó:
- RRi,j,kR là mực nước trong sông.
- CRIVRi,j,k,2R là giá trị sức cản thấm.
Từ (3.18) suy ra:
aRi,j,k,2R = -CRIVRi,j,k2RhRi,j,kR + CRIVRi,j,k2RRRi,j,kR (3.19)
Như vậy thành phần thứ nhất của vế phải chính là pRi,j,k,2R và thành phần thứ hai chính là qRi,j,k,2 Rtrong phương trình (3.16)
Một cách tổng quát, nếu có N nguồn cấp vào trong ô lưới, lưu lượng tổng là QSRi,j,kRthì:
QSRi,j,kR = PRi,j,k RhRi,j,kR + QRi,j,kR (3.20) Trong đó:
PRi,j,kR =ΣpiR,j,k,n R; Qi,j,k =ΣqRi,j,k,n R(3.21)
Thay các phương trình từ (3.10) đến (3.15) và phương trình (3.20 vàophương trình (3.2) ta có:
CRRi,j-1/2,kR(hRi,j-1,kR-hRi,j,kR)+CRRi,j+1/2,kR(hRi,j+1,kR-hRi,j,kR)+CCRi-1/2,j,kR(hRi-1,j,kR- hRi,j,kR)+CCRi+1/2,j,kR(hRi+1,j,kR-hRi,j,kR)
+CVRi,j,k-1/2R(hRi,j,k-1R-hRi,j,kR)+CVRi,j,k+1/2R(hRi,j,k+1R-hRi,j,kR)+PRi,j,kRhRi,j,k- 1R+QRi,j,kR=SRSi,j,kR(∆rRjR∆cRjR∆vRkR)∆hRi,j,kR/∆t (3.21)
Sai phân giá trị∆hPiPR,j,kR/∆t ta có:
1 m m
1 m
k , j , i m
k , j , i m k , j , i
t t
h h
t h
−
−
−
= −
∆
∆
(3.22) Trong đó:
Nghiên cứu đánh giá trữ lượng khai thác nước dưới đất bằng phương pháp mô hình số
tRmRvà tRm-1R: thời điểm m và m-1.
hRi,j,kRPm
P và hRi,j,kRPm-1
P là giá trị mực nước của ô (i,j,k) tại thời điểm m và (m-1).
Thay phương trình (3.22) vào (3.21) từ bước thời gian tRm-1Rđến tRmR ta có:
CRRi,j-1/2,kR(hRi,j-1,kR-hRi,j,kR)+CRRi,j+1/2,kR(hRi,j+1,kR-hRi,j,kR)+CCRi-1/2,j,kR(hRi-1,j,kR-
hRi,j,kR)+CCRi+1/2,j,kR(hRi+1,j,kR-hRi,j,kR) + CVRi,j,k-1/2R(hRi,j,k-1R-hRi,j,kR)+CVRi,j,k+1/2R(hRi,j,k+1R- hRi,j,kR)+PRi,j,kRhRi,j,k-1R+QRi,j,k R= SRSi,j,kR(∆rRjR∆cRjR∆vRkR)(hRi,j,kRPmP-hRi,j,kRP(m-1)P) /(tRmR -tRm-1R)
(3.23)
Phương trình trên sẽ được viết cho tất cả các ô có mực nước thay đổi theo thời gian. Như vậy, ta sẽ lập được một hệ phương trình có số phương trình bằng số ô lưới. Giải hệ phương trình này với điều kiện ban đầu biết trước mực nước tại thời điểm tR(m-1)R là hRi,j,kRP(m-1)
P ta sẽ xác định được mực nước hRi,j,kRPm
P. Cứ lần lượt như vậy, ta có thể xác định được mực nước cho bất kỳ thời điểm nào.
Hệ phương trình trên được giải bằng phương pháp lặp, người ta tiến hành chia nhỏ khoảng thời gian (tRm-1R,tRmR) kết quả nhận được là lời giải gần đúng của hệ phương trình. Khi thời gian tăng lên thì h sẽ thay đổi. Khi h đạt được sự ổn định (chênh lệch h tính được giữa 2 thời điểmkế cận nhau nhỏ hơn một giá trị cho phép) thì mực nước đạt được sự cân bằng động và tại đây kết thúc một bước tính toán. Để phương pháp lặp hội tụ, người ta chọn bước thời gian tăng theo cấp số nhân, khi đó thừa số 1/(tRm-1R - tRmR) sẽ tiến nhanh tới 0 do đó các tổng có liên quan đến thừa số này hội tụ. Có thể hình dung cách giải hệ phương trình bằng phương pháp lặp như sơ đồ hình 1.3.
Trong thực tế, không cần thiết phải viết phương trình (3.23) cho tất cả các ô lưới mà tại những ô lưới có thể thiết lập các điều kiện biên. Có 3 loại điều kiện biên gồm:
- Điều kiện biên loại I là điều kiện biên mực nước được xác định trước (còn gọi là điều kiện biên Dirichlet). Đó là ô mà mực nước được xác định trước và giá trị này không đổi trong suốt bước thời gian tính toán.
- Điều kiện biên loại II là điều kiện biên dòng chảy được xác định trước (còn gọi là điều kiện biên Neumann). Đó là các ô mà lưu lượng dòng chảy qua biên được xác định trước trong suốt bước thời gian tính toán. Trường hợp không có dòng chảy thì lưu lượng được xác định bằng không
- Điều kiện biên loại III là điều kiện biên lưu lượng trên biên phụ thuộc vào mực nước (còn gọi là điều kiện biên Cauchy hoặc biên hỗn hợp). Có một vài dạng biên loại III này như sau:
Tùy thuộc vào biên trong thực tế là sông, suối, barie đá cách nước, lượng bổ cập, bốc hơi nước ngầm, lỗ khoan hút nước... mà người ta mô phỏng trên mô hình là biên loại I, loại II hoặc loại III.
Nghiên cứu đánh giá trữ lượng khai thác nước dưới đất bằng phương pháp mô hình số
hm-1 =
hm-1,n Cốt cao mực nước tính được cho bước
Kết thúc tính toán cho bước thời gian Bắt đầu tính toán cho bước thời gian m hm,0
hm,1
hm,n-1
hm,n Kết thúc tính toán cho bước thời gian
Bắt đầu tính toán cho bước thời gian
hm-1 = hm-1,n Cốt cao mực nước
tính được cho bước thời gian m-1
Nếu dao động
| hm,n – hm,n-1 | nhỏ hơn giá trị
chênh lệch cho phép thì quá trình tính toán được coi là hoàn tất ở đây
Hình 5. Sơ đồ nguyên lý lặp khi giải hệ phương trình