Khái niệm chung Xét phương trình vi phân

d

1 x(t) [E(t)

dt A(t)]x(t) f (t), t T t0 ,t1 , (2.1.1) với giả thiết det E(t ) 0, t T .

Nghiên cứu tính giải được (sự tồn tại nghiệm) của phương trình (2.1.1) ta hướng

tới hai mục tiêu sau:

1) Tiêu chuẩn giải được của hệ phương trình (2.1.1).

2) Cấu trúc tập nghiệm.

Ta đã biết, đối với phương trình vi phân thường, bài toán giá trị ban đầu (bài toán Cauchy) luôn có nghiệm duy nhất. Nếu phương trình là tuyến tính, thì tập hợp nghiệm của nó tạo thành một không gian hữu hạn chiều với cơ sở là một bộ vectơ nghiệm độc lập tuyến tính. Các nghiệm khác được biểu diễn qua các vectơ cơ sở nhờ ma trận nghiệm cơ bản. Ta có

Định nghĩa 1.1

Ma trận X (t ) cấp n n thoả mãn bài toán ban đầu X (t)

X ( )

C(t) X (t),t I En .

được gọi là ma trận nghiệm cơ bản của phương trình x(t ) C (t ) x(t

)

f (t ) .

Ta đã biết định lý sau đây của phương trình vi phân thường.

Định lý 1.1

Hệ phương trình vi phân

x(t

) A(t)x(t) f (t), t T (2.1.2)

với A, f C(T ) là giải được trên mọi khoảng đóng I T và nghiệm tổng quát có dạng

x(t, c) X (t)c t X (t) X 1 (s) f (s)ds, t T , trong đó X (t) là ma trận nghiệm cơ

bản, c  n bất kỳ. Hơn nữa, c thì

x(t, c) Ký hiệu

C1 (T ) .

C i (T )

là không gian các hàm khả vi đến cấp i vàC A (T ) là không gian các hàm giải tích trên T . Ta có

Hệ quả 1.1

Nếu f , A Ci (T ) thì nghiệm tổng quát của (2.1.2) x(t, c) C i 1 (I ) . Hơn nữa, nếu f , A C A (T ) thì x(t, c) C A (I ) trên mọi khoảng đóng I T .

Một điều khá tự nhiên là, để tìm ra các tiêu chuẩn giải được của hệ (2.1.1), ta có thể đặt câu hỏ i: Khi nào thì tập nghiệm của (2.1.1) tạo thành một không gian hữu hạn chiều (như trong trường hợp phương trình vi phân thường tuyến tính)?- Để làm điều này, ta đưa vào định nghĩa sau đây.

Định nghĩa 1.2

Ta nói không gian nghiệm của (2.1.1) là hữu hạn chiều trên khoảng

I , T nếu tồn tại ma trận X d (t) C1 (T ) với d cột khác không sao

cho mọi c  n thì vectơ hàm x(t, c) X d (t).c là nghiệm của phương trình

1 x 0 trên I và trên I không có nghiệm nào khác của phương trình 1 x 0 khác với

x(t, c) .

Hàm x(t) được gọi là nghiệm của phương trình (2.1.1) trên T nếu nó khả vi trên T và khi thay x(t) vào (2.1.1) thì ta được đẳng thức đúng trên T .

38

i

i

i

i

Có thể thấy, không gian nghiệm của hệ (2.1.1) có thể là vô hạn chiều.

Thí dụ 1.1

Xét phương trình vi phân

Ta thấy:

1 2 x1 (t )

0 0 x2 (t )

1 2 x1 (t )

1 2 x2 (t ) 0, t 0,1 . (2.1.3)

rank ( A, B)

và

rank 1 2 1 2

2 n 0 0 1 2

x1 (t ) 2t i xi (t )

là nghiệm của hệ (2.1.3) vì

i

x2 (t ) , i 0,1, 2...

t i

1 2 2it i 1 0 0 it i 1

1 2 2t i 1 2 t i

0 , t 0,1 , i

0 0,1...

Mà xi (t) i 0 là độc lập tuyến tính vì

ci xi (t )

i 0

2 c t i

i 0

c t

i i 0

0

0 i 0c t i 0 t 0,1 .

Do t i là cơ sở trong không gian các đa thức

i 0

P(t) P (t) a t i ;

m 0,1,...

nên suy ra ci

m i

0 i 0,1, 2...

Như vậy không gian nghiệm của (2.1.3) là vô hạn chiều.

Thí dụ 1.1 cho thấy, không phải lúc nào không gian nghiệm của phương trình vi phân đại số cũng là hữu hạn chiều.

Mặt khác, ta có

1 2 1 2 1 2( 1)

E A 0 0 1 2 1 2

nên det( E A) 0  . Vậy E, A là không chính quy.

Hệ (2.1.3) là hệ phương trình vi phân đại số dừng (hệ số hằng). Với phương trình vi phân đại số hệ số hằng ta đã biết một kết quả sau đây (xem [9]):

Định lý 1.2

Cặp ma trận E, A là chính quy khi và chỉ khi không gian nghiệm của phương trình Ex(t

)

Ax(t) 0 là hữu hạn chiều. Hơn nữa, số chiều của không gian nghiệm bằng bậc của đa thức đặc trưng E A .

Đối với hệ phương trình vi phân đại số với hệ số biến thiên, vấn đề trở nên phức tạp hơn rất nhiều.

Thí dụ 1.2

Xét phương trình

t 1 dx(t ) 0

x(t ) 0, t 0,1 . (2.1.4)

0 0 dt t

tx1 (t )

1 x2 (t )

x1 (t ) 0;

Ta có

tx1 (t ) x2 (t ) 0.

t 1 0 rank (E(t)

và

A(t))

t

rank 2

0 0 t 1

0 t

t, .

E(t ) A(t ) .

0 0 t 1 t 1

Nếu 0 thì det(

Và (2.1.4) trở thành

E(t) A(t)) 0

tx1 (t )

tx1 (t )

 . x2 (t ) 0;

x2 (t ) 0.

Hệ trên có duy nhất một nghiệmx1 (t ) 0 , x2 (t ) 0 .

Thật vậy, từ phương trìnhtx1 (t) x2 (t) 0 ta có x2 (t) tx1 (t) . Suy ra x2

(t)

tx1 (t )

x1 (t ) .

Thay vào phương trình tx1 (t)

x2 (t) 0 ta được

tx1 (t) x2 (t)

tx1 (t)

tx1 (t)

x1 (t) x1 (t) 0 . Vậy x1 (t ) 0 . Suy ra x2 (t) 0 .

Với 1 thì

(2.1.4) tx1 (t )

x2 (t )

x1 (t ) 0 x1 (t ) tx1 (t )

t i

x2 (t ) 0 x2 (t ) tx1 (t ) Hơn nữa: xi (t )

t i 1 i 0,1,...

là nghiệm của hệ và xi (t) i 0 là độc lập tuyến

tính. Do đó nó là cơ sở của không gian nghiệm. Như vậy ta thấy, không gian

nghiệm là vô hạn chiều mặc dù

Với 1:

det(

(2.1.4)

E(t)

x2 (t )

A(t)) 1 0 .

tx1 (t ) tx1 (t ) ( tx1 (t

)

x1 (t ))

x1 (t ) 0 x2 (t ) tx1 (t

) 1

x2 (t ) 0 ( 1) x1 (t) 0 x1 (t) 0 Vậy (2.1.4) có duy nhất nghiệm x(t) 0 mặc dù

det( E(t) A(t)) 0 .

Từ thí dụ này ta thấy, Định lý 1.2 không còn đúng đối với hệ phương trình vi

phân có hệ số biến thiên.

Định nghĩa 1.3

Giả sử E1 , E2là các không gian vectơ tôpô. A là toán tử tuyến tính E1

E2 . Ta đưa vào ký hiệu các không gian:

KerA u E1 : Au 0 được gọi là nhân (hạch) của A .

41

Im A

1

Im A f E2 : Au f ; u E1 E

được gọi là ảnh của A . Co ker A 2 được gọi là đối nhân (đối hạch) của A . Định nghĩa 1.4

Ta nói hạch của toán tử : C1 (T ) C(T ) là hữu hạn chiều (dim Ker 1

Nhận xét

; t T ) nếu không gian nghiệm của (2.1.1) là hữu hạn chiều.

Nhiễu nhỏ của hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính có thể sẽ thay đổi chiều của không gian nghiệm thậm chí khi rankE(t)

Thí dụ 1.3 Xét hệ

không thay đổi.

t 1 x1 (t ) 0 0 x2 (t ) t

0 x1 (t ) 0

1 x2 (t ) 0 (2.1.5)

với t 0,1 ; x  2 ; , là các nhiễu đủ nhỏ.

Khi 0, 0 thì

(2.1.5) t 1 0

x(t) x(t) 0

0 0 t 1

tx1 (t ) tx1 (t ) Hệ này đã được xét trong Thí dụ 1.2.

x2 (t ) x2 (t ) 0

x1 (t ) 0

Khi 1 thì hệ có duy nhất nghiệm Khi ; 0; 0 . Khi ấy

x(t) 0 .

(2.1.5) t x1 (t )

x2 (t )

x1 (t ) 0 (t ) x1 (t ) x2 (t ) 0

(t ) x1 (t )(t ) x1 (t )

x1 (t )

x1 (t ) 0 x2 (t ) (t ) x1 (t)

1 1

c

t

( ) x1 (t) ( 1) x1 (t) 0 dx1 (t ) 1 x1 (t) dt x2 (t ) (t ) x1

(t) x (t ) (t ) x (t)

2 1

ln x1 (t ) 1 1 t x1 (t )

1 t

ce ;

1 t

x2 (t ) (t ) x1 (t

) x2 (t ) (t )ce .

Với t 0 thì x1 (0) c;

x2 (0) c1 x1 (0).

Suy ra nghiệm của (2.1.5) có dạng (với 1 ) x1 (t ) x1 (0)e ;

t t

x2 (t ) tx1 (0)e x1 (0)e .

Chọn ; 0 sao cho x1 (t) ; x2 (t) . Thí dụ chọn khi ấy

0 thì 0 và 1 1 1

. Suy ra

x1 (t )

1 t

x1 (0)e ; x2 (t )

tx (0)e t x (0)e t . Vậy ta thấy họ nghiệm x1 (t), x2

(t) t

không tiến tới nghiệm 1

x(t ) 0 .

Mặc dù vậy, rankE(t ) rank

0 0 1 không đổi với mọi nhiễu ,

tức là

E(t) A(t) t 0 t

0 0 t 1 t 1 ,

det( E(t) A(t)) t t ( ) 0 ; 0 .

Như vây, nhiễu dù nhỏ bao nhiêu cũng có thể làm thay đổi số chiều của không gian nghiệm.

Ta có thêm một nhận xét rằng, nếu det E(t) 0 Điều này không còn đúng khi det E(t) 0 .

với mọi t T thì Im 1 C(T ) .

Thí dụ 1.4 Xét hệ

Ta có:

0 1

1 x

0 0 x1 (t) x2 (t )

1 0 x1 (t) 0 1 x2 (t )

f1 (t) f 2 (t )

t 0,1 , (2.1.6)

(2.1.6) x2 (t ) x2 (t )

x1 (t )

f2 (t )

f1 (t ) x1 (t ) x2 (t )

f1 (t ) f2 (t )

f

2 (t )

Như vậy, nếu ta chỉ giả thiết f C tức là f liên tục nhưng không khả vi thì hệ (2.1.6) là vô nghiệm. Để hệ có nghiệm ta phải đặt đ iều kiện, thí dụ, khá thô thiển,

là f C 2 .

Ta đã biết, đối với phương trình vi phân thường tuyến tính không thuần nhất (vế phải không đồng nhất bằng 0), không gian nghiệm luôn hữu hạn và không phụ thuộc vào vế phải. Với phương trình vi phân đại số, tính chất số chiều hữu hạn của không gian nghiệm liên quan chặt chẽ với tính giải được của hệ không thuần nhất.

Thí dụ 1.5 Xét hệ

x t 1 x1 (t )

1 0 x1 (t ) f1 (t )

. (2.1.7)

1 0 0 x (t

) t 1 x (t ) f (t )

2 2 2

Ta có:

Hệ

(2.1.7) tx1 (t ) tx1 (t )

x2 (t ) x2 (t )

x1 (t ) f2 (t ).

f1 (t );

tx1 (t ) x2 (t )

x1 (t ) 0

tx1 (t ) x2 (t ) 0 có nghiệm là (xem Thí dụ (1.2)

x1 (t ) x2 (t )

C1 ; tx1 (t )

44

n

Đối với hệ (2.1.7) ta có:

tx1 (t )

x2 (t )

x2 (t )

f2 (t ) x1 (t ) tx1 (t )

f1 (t )

tx1 (t ) ( f

2 (t )

tx1 (t )

x1 (t ))

x1 (t )

f1 (t )

Suy ra f

2 (t )

f1 (t )

x2 (t ) f2 (t ) tx1 (t )

Vậy hệ (2.1.7) giải được khi và chỉ khi vế phải của phương trình (2.1.7) thỏa mãn điều kiện f

2 (t )

f1 (t ) . Với điều kiện này hệ có vô số nghiệm dạng

x1 (t ) x2 (t )

C1 ;

f2 (t ) tx1 (t).

Thí dụ 1.4 và thí dụ 1.5 cho ta thấy, để hệ phương trình vi phân tuyến tính có hệ số biến thiên có nghiệm thì phải có những điều kiện nhất định đặt lên vế phải, ví dụ như hàm f phải liên tục và khả vi đến cấp cần thiết.

Những ví dụ trên đây cho ta thấy rằng, việc nghiên cứu tập nghiệm của hệ phương trình vi phân có hệ số biến thiên phức tạp hơn rất nhiều so với trường hợp hệ số hằng, chắc chắn phải có những điều kiện ràng buộc nhất định đặt lên hai vế của phương trình. Dưới đây ta sẽ nghiên cứu các tính chất nghiệm để làm rừ hơn những đ iều này.

1.2 Các tính chất nghiệm