-Khi chứng minh Hình cần khai thác những điều có đ ợc từ đầu bài ,những điều đã chứng minh đợc.Đặc biệt cần chú ý những điều sau:
I.Nếu có điểm thuộc đ ờng tròn thì nghĩ tới 1, Các bán kính bằng nhau
2, Tứ giác nội tiếp
3,Các góc với đờng tròn.Đặc biệt nếu có đ ờng kính thì sẽ có góc vuông II. Nếu có Tứ giác nội tiếp thì nghĩ tới
1,Các góc đối bù nhau
2, 4 cặp góc nội tiếp bằng nhau(nếu nối 2 đờng chéo) 3, Góc trong bằng góc ngoài ở đỉnh đối( Phải chứng minh) 4, Điểm thuộc đờng tròn
5, Bài toán “Phơng tích” ( Nếu có giao điểm 2 đờng chéo hoặc 2 cạnh đối) III. Nếu có Tiếp tuyến thì nghĩ tới
1,Các tính chất Vuông góc , cách đều , phân giác 2, Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung
IV. Quan hệ Góc - Cung – Dây – Khoảng cách từ tâm đến dây
V .Nếu có tam giác cân, tam giác đều , hình bình hành , hình chữ nhật , hình thoi, hình vuông … t h ì nghĩ tới
Tính chất của các hình ấy
VI.Nếu có góc vuông , tam giác vuông thì nghĩ tới
định lý Pi ta go và các hệ thức l ợng trong tam giác vuông VII.Nếu có 2 đ ờng thẳng song song thì nghĩ tới
Định lý Ta Lét và các cặp góc So le trong , Đồng vị…
VIII.Nếu có đ ờng phân giác , đ ờng trung tuyến , đ ờng cao , trung trực của tam giác thì
nghĩ tới tính chất của chúng
B.phân tích đi lên từ kết luận(Dựa vào các phép chứng minh)
I - Chứng minh các yếu tố bằng nhau.
1. Chứng minh hai góc bằng nhau.
C1 Thờng CM chúng là hai góc tơng ứng của hai tam giác bằng nhau hoặc đồng dạng. C2/ Nếu là hai góc trong 1 tam giác thờng CM chúng là hai góc ở đáy của tam giác cân.
C3/ Nếu là hai góc đối trong một tứ giác ta thờng CM tứ giác đó là hình bình hành.
C4/ Nếu là hai góc kề trong một tứ giác thờng CM tứ giác là hình thang cân.
C6/ Nếu là hai góc So le trong hoặc đồng vị thờng chứng minh hai đờng thẳng song song.
C7/ Nếu là hai góc trong đờng tròn ta thờng chuyển về chứng minh cung , dây tơng ứng bn C8/ Ngoài ra ta có thể sử dụng: hai góc có cùng số đo (tính cụ thể), tính chất tia phân giác, hai góc đối đỉnh, cặp góc có cạnh tơng ứng vuông góc hay song song,…
*Chú ý: Nếu không chứng minh đ ợc trực tiếp. Ta nghĩ tới việc sử dụng góc thứ 3 làm trung gian. ( CM chúng cùng bằng , cùng bù ,cùng phụ với 1 góc .Hay 2 góc cùng bằng tổng ,hiệu của hai góc bằng nhau.)
2 . C h ứ n g m i n h h a i đ o ạ n t h ẳ n g b ằ n g n h a u .
C1/ Thông thờng gắn vào hai cạnh t ơng ứng của hai tam giác bằng nhau.
C2/ CM là hai cạnh bên của một tam giác cân hoặc hình thang cân.
C3/ CM là hai cạnh đối của hình bình hành (HCN, Hình thoi, Hình vuông).
C4/Sửdụngđịnh nghĩa:Trung điểm đờng trung tuyến, đờng trung trực,bán kính , tiếp tuyến C5/ Sử dụng định lí thuận đảo về đờng trung bình trong tam giác, hình thang.
C6/ Nếu là 2 đờng chéo trong 1 tứ giác thờng CM tứ giác là Hình thang cân, HCN, HV.
C7/ Nếu là 2 dây cung trong 1 đờng tròn thờng chuyển về dây , góc , kc đến tâm tơng ứng.
*Chú ý : Ngoài ra ta có thể chứng minh bằng cách:
+ Biến đổi đại số trên đoạn thẳng bằng nhau.
+ Chứng minh hai đoạn thẳng có cùng số đo.
+ Sử dụng tính chất bắc cầu hay CM phản chứng.
I I - C h ứ n g m i n h h a i đ ờ n g t h ẳ n g s o n g s o n g h a i đ ờ n g t h ẳ n g v u ô n g g ó c
1 . C h ứ n g m i n h h a i đ ờ n g t h ẳ n g s o n g s o n g .
C1/CM cùng song song hoặc cùng vuông góc với đờng thẳng thứ ba.
C2/ CM 1 cặp góc SLT hoặc đ v bằng nhau , hoặc 1 cặp TCP bù nhau.
C3/ Nếu là 2 cạnh trong 1 tứ giác th ờng CM tứ giác là Hình bình hành C4/ Nếu có các đoạn thẳng tỉ lệ: ta sử dụng định lí đảo của định lí Talét.
C5/ Nếu có nhiều trung điểm thờng dùng đờng trung bình của tam giác , hình thang.
2 . C h ứ n g m i n h h a i đ ờ n g t h ẳ n g v u ô n g g ó c .
C1/ Chứng minh chúng là hai tia phân giác của hai góc kề bù hay hai đờng thẳng cắt nhau tạo ra góc bằng 900.
C2/ Sử dụng tính chất đồng qui của ba đờng cao trong tam giác. Sử dụng tính chất đờng cao ứng với cạnh đáy trong tam giác cân hoặc đờng trung trực.
C3/ Sử dụng tính chất góc nội tiếp chắn nửa đ ờng tròn. Đờng kính của đờng tròn đi qua trung điểm của dây cung hay tính chất của tiếp tuyến.
C4/ Nếu có độ dài: Sử dụng định lí đảo của định lí Pytago.
C5/ Nếu là 2 đờng chéo trong 1 tứ giác thờng chứng minh tứ giác là hình thoi
C6/ Chứng minh đờng thẳng này vuông góc với đờng thẳng song song với đờng kia hoặc song song với đờng thẳng vuông góc với đờng kia.
I I I - c h ứ n g m i n h b a đ i ể m t h ẳ n g h à n g , b a đ ờ n g t h ẳ n g đ ồ n g q u i.
1. Chứng minh ba điểm thẳng hàng: ( Cùng thuộc một đờng thẳng )
Cần chứng minh ba điểm: A, B, C thẳng hàng : C1/ AB + BC = AC (hoặc AC + CB = AB, BA + AC = BC).
C2/ Chứng minh góc ABC = 1800.
C3/ CM: AB, AC cùng song song với một đờng thẳng ( Sử dụng tiên đề Ơclit).Hoặc cùng vuông góc với 1 đờng thẳng.
C4/ Dùng tính chất: Trung điểm 1 đờng chéo và 2 đầu đờng chéo kia trong hình bình hành thẳng hàng. Đờng kính đi qua tâm.
2. Chứng minh ba đờng thẳng đồng qui.
C1/ Chứng minh đờng thẳng thứ ba đi qua giao điểm của hai đ ờng thẳng kia.
C2/ Sử dụng tính chất các đ ờng thẳng đồng qui trong một tam giác: 3 đ ờng cao đồng qui, 3 đờng trung tuyến đồng qui, 3 đ ờng phân giác đồng qui, 3 đ ờng trung trực đồng qui.
C3/ Dùng tính chất : Các đờng kính đồng quy tại tâm .Các đờng chéo của những hình bình hành có chung 1 đờng chéo đồng quy.
C4/ Đa về chứng minh ba điểm thẳng hàng.
IV - chứng minh các hình cơ bản.
1. Chứng minh tam giác cân.
C1/ CM tam giác có hai góc bằng nhau.
C2/ CM tam giác có hai cạnh bằng nhau.
C3/ CM tam giác có một đờng đi qua đỉnh đồng thời là một đờng khác của tam giác.
2. Chứng minh tam giác đều.
C1/ CM tam giác có ba cạnh bằng nhau.
C2/ CM tam giác có hai góc bằng 600.hoặc 3 góc bằng nhau.
C3/ CM tam giác cân có một góc bằng 600.hoặc cạnh bên bằng cạnh đáy.
3. Chứng minh tam giác vuông.
C1/ Sử dụng định lí đảo của định lí Pytago (nếu có độ dài).
C2/ CM tam giác có một góc bằng 900.
C3/ CM tam giác có đờng trung tuyến bằng 1/2 cạnh t ơng ứng. 4. Chứng minh các đờng thẳng đặc biệt.
Để chứng minh một đờng thẳng là: Đờng cao, đờng phân giác, đờng trung tuyến, đờng trung trực, đờng trung bình, trong một tam giác. Ta chứng minh:
C1/ Sử dụng tính chất đồng qui của các đờng này trong một tam giác.
C2/ Sử dụng chính tính chất của các đ ờng ấy:
VÝ dô :
+ Điểm cách đều hai cạnh của góc thì thuộc tia phân giác của góc ấy.
+ Điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng thì thuộc đ ờng trung trực của đoạn thẳng ấy.
Iv - Chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn
C1/ CM bốn đỉnh cùng cách đều một điểm nào đó (gọi là tâm đ ờng tròn).
C2/ CM tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800.
C3/ Từ hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn cạnh tạo bởi hai đỉnh còn lại d ới hai góc bằng nhau.
C4/ CM tứ giác có tổng các góc đối bằng nhau C5/Cm góc trong bằng góc ngoài ở đỉnh đối.
C6/CM tứ giác là hình chữ nhật hoặc hình thang cân.
C7/ Chứng minh 2 điểm thuộc đờng tròn đờng kính là đoạn thẳng nối 2 điểm còn lại.
Chú ý : Nếu CM 5 điểm trở lên cùng thuộc một đ ờng tròn. Ta chọn ba điểm cố định rồi chon
điểm thứ 4, sau đó CM 4 điểm này cùng thuộc một đ ờng tròn. Sau đó CM tơng tự với các điểm còn lại.
V I - c h ứ n g m i n h h ệ t h ứ c , t ỉ l ệ t h ứ c C1/ Gắn vào 2 tam giác đồng dạng.
C2/ Nếu có đờng thẳng song song thờng dùng định lý Ta Lét.
C3/Nếu có góc vuông thờng dùng hệ thức lợng trong tam giác vuông C4/ Nếu có phân giác thờng dùng tính chất đờng phân giác
Chú ý: Nếu không chứng minh đ ợc trực tiếp thì dùng tính chất bắc cầu.
V I I - C h ứ n g m i n h m ộ t đ ờ n g t h ẳ n g l à t i ế p t u y ế n c ủ a đ ờ n g t r ò n . C1/ Chứng minh đờng thẳng vuông góc với bán kính tại đầu thuộc đờng tròn.
C2/ Chứng minh khoảng cách từ tâm đến đờng thẳng bằng bán kính.
VIII-các trờng hợp bằng nhau và đồng dạng của 2 tam giác.
A)Bằng nhau: c. c. c ; c. g.c ; g.c.g B)Đồng dạng : g. g ; c.c.c ; c.g.c
IX-Khi giải bài tập tính toán cần ghi nhớ 1.Công thức tính chu vi và diện tích các hình
2.Diện tích tam giác đều và tam giác cân có một góc bằng 1200
3.Hệ thức lợng trong tam giác vuông ( cả định lý Pi- ta – go) và tỉ số l ợng giác của góc nhọn.
X-Khi giải bài toán quỹ tích
(Thờng cho dới dạng Khi một điểm chuyển động thì điểm ? di chuyển trên đ“ ờng nào hoặc chứng minh
điểm ? di chuyển trên một đ ờng tròn cung tròn hay đ ờng thẳng cố định )”
cần xét xem điểm đó có một trong các tính chất sau:
1. Nhìn đoạn thẳng cố định một góc vuông là đ ờng tròn đờng kính
2. Cách một điểm cố định một khoảng không đổi là đ ờng tròn tâm 3. Nhìn đoạn thẳng cố định một góc không đổi là cung chứa góc
4. Cách đờng thẳng cố định một khoảng không đổi là đ ờng thẳng song song ( hoặc vuông gãc)
5. Cách đều 2 điểm cố định là đ ờng trung trực của đoạn thẳng 6. Cách đều 2 cạnh một góc cố định là tia phận giác cuả góc Chú ý : Quỹ tích ( còn gọi là tập hợp) phải gắn với yếu tố cố định XI-Khi giải bài toán giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất
trong hình học cần ghi nhớ:
1.Trong tam giác vuông cạnh huyền lớn hơn cạnh góc vuông 2.Trong hình thang vuông cạnh xiên lớn hơn cạnh vuông C.Một số dạng hình cơ bản
I,Từ một điểm nằm nghoài (O) kẻ tiếp tuyến , cát tuyến II,Đa giác nội tiếp đờng tròn (Đờng tròn ngoại tiếp) III, Hai đờng tròn cắt nhau
IV,Hai đờng tròn tiếp xúc V, Nửa đờng tròn
VI,Đờng tròn nội tiếp Đa giác VII,Không có đờng tròn
BàI tập
Dạng 1 : Từ một điểm ở ngoài đ ờng tròn kẻ tiếp tt, cát tuyến đến đ ờng tròn