IV. Quan hệ Góc Cung – Dây – Khoảng cách từ tâm đến dây
B i39: à Cho đờng tròn(O;R) và dây AC cố định không đi qua tâm là một điểm bất kì trên đờng tròn (O;R) ( không trùng với A và C).Kẻ đ ờng kính ,Gọi H là trực tâm của của tam
giác ABC.
1) Chứng minh AH//BC
2) Chứng minh rằng HBđi qua trung điểm của AC
3) Khi điểm B chạy trên đờng tròn (0; R) (B không trùng vớiA và C) . Chứng minh rằng điểm H luôn nằm trên một đ ờng tròn cố định .
Bài 40 : Cho đờng tròn tâm O, bán kính OA=R. Vẽ dây BC vuông góc với OA tại trung điểm H của OA.
a) Tứ giác ABOC là hình gì ?
b) Gọi K là điểm đối xứng với O qua A. Chứng minh rằng:KBOC tứ giác nội tiếp và KB,KC là tiếp tuyến của (O)
c) Tam giác KBC là tam giác gì?
d) Trực tâm tam giác ABC là điểm nào trên hình vẽ ? e) Tính độ dài BC.
f) Tính diện tích phần trung của hình tròn(O;R) và hình tròn ngoại tiếp tứ giác KBOC.
Bài 41 : Cho (O;R) và dây AB<2R. Trên tia AB lấy C sao cho AC>AB.Từ C kẻ hai tiếp tuyến với (o)tại P,K. Gọi I là trung điểm của AB
a) Chứng minh rằng Tứ giác CPOK nội tiếp
b) Chứng minh rằng: C,P, I, O, K cùng nằm trên một đ ờng tròn
c) Chứng minh rằng tam giác ACP đồng dạng với tam giác PCB suy ra CP2=CB.CA d) gọi H trực tâm tam giác CPK.Tính PH theo R
e) Giả sử PA//CK. Chứng minh rằng tia đối của tia BK là phân giác của góc CBP
Bài 42 : Cho đờng tròn (O;R) đờng kính AB, kẻ tia tiếp tuyến Ax và trên đó lấy điểm P sao cho AP>R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với đ ờng tròn tại M.
a) Chứng minh APMO nội tiếp b) Chứng minh rằng BM//OP
c) Đờng thẳng vuông góc với AB tại O cắt tia BM tại N. Chứng minh tứ giác OBNP là hình bình hành .
d) Chứng minh rằng PNMO là hình thang cân
e) Biết AN cắt OP tại K, PM cắt ON tại I, PN và OM kéo dài cắt nhau tại J. Chứng minhI, J, K thẳng hàng.
Bài 43 : Cho đoạn AB và M nằm giữa A.B. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB dựng hình vuông AMCD, MBEF. AF cắt BC tại N
a)Chứng minh rằng:AF vuông góc với BC,suy ra N nằm trên hai đ ờng tròn ngoại tiếp AMCD, MBEF.
b) Chứng minh: D, N,E thẳng hàng và MN vuông góc với DE
Bài 44 :Cho đờng tròn (O) đờng kính AB=2R và một điểm M di động trên một nửa đ ờng tròn. Ngời ta vẽ một đờng tròn tâm E tiếp xúc với nửa đ ờng tròn (O) tại M và tiếp xúc với đ ờng kính AB tại N. Đờng này cắt MA, MB lần lợt tại các điểm thứ hai C, D.
a) Chứng minh CD//AB
b) Chứng minh MN là tia phân giác của góc AMB và đ ờng thẳng MN luôn đi qua một điểm K cố định.
c) Chứng minh:tích KM.KN không đổi
d) Gọi giao điểm của các tia CN,DN với KB,KA lần l ợt là C,,D,.Tìm vị trí của M để chu vi tam giác NC,D, đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 45 :Cho tam giác ABC vuông tại A. Đ ờng cao AH. Đờng tròn đờng kính AH cắt các cạnh AB,AC, lần lợt tại E,F.
a) Chứng minhtứ giác AEHF là hình chữ nhật. b) Chứng minhAE.AB=AF.AC
c) Chứng minh rằng BEFC nội tiếp
d) Đờng thẳng qua Avuông góc với EF cắt BC tại I, Chứng minh I là trung điểm của đoạn BC.
e) Chứng minh rằng nếu diện tích của ABC gấp đôi diện tích hình chữ nhật AEHF thì tam giác ABC vuông cân.
Bài 46 :Cho đờng tròn tâm (O;R), hai đờng kính AB,CD vuông góc với nhau. Trong đoạn AB lấy một điểm M( khác O). Đ ờng thẳng CM cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ hai là N. Đ ờng thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N với đ ờng tròn ở điểm P. Chứng minh rằng:
a) tứ giác OMNP nội tiếp đợc.
b) Tứ giác CMPO là hình bình hành. c) Tứ giác OMNP nội tiếp
d) Tích CM.CN không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
e) Khi M di động trên đoạn AB thì P chạy trên một đoạn thẳng cố định.
Bài 47 : Cho ba điểm A, B, C trên một đ ờng thẳng theo thứ tự ấy và một đ ờng thẳng d vuông góc với AC tại A. Vè đ ờng tròn đờng kính BC và trên đó lấy một điểm M bất kì. Tia CM cắt đ - ờng thẳng d tại D; Tia AM cắt đ ờng tròn tại điểm thứ hai tại N; tia DB cắt đ ờng tròn tại điểm thứ hai P.
a) Chứng minh ABMD nội tiếp
b) Chứng minh tích CM.CD không phụ thuộc vào vị trí điểm M c) Tứ giác APND là hình gì ?tại sao ?
d) Chứng minh trọng tâm G của tam giác MAC chạy trên một đ ờng tròn cố định khi M di động
Bài 48 : Cho tam giác vuông cân ABC (góc C=90),E là một điểm tuỳ ý trên cạnh BC . Qua B kẻ một tia vơng góc với tia AE tại H và cắt tia AC tại K. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác BHCA nội tiếp b) KC. KA=KH.KB .
c) Độ lớn của góc CHK không phụ thuộc vào vị trí điểm E
d) Khi E di chuyển trên cạnh BC thì BE.BC+ AE. AH không đổi
Bài 49 : cho đờng tròn tâm O và dây AB. Gọi M là điểm chính giữa cảu cung nhỏ AB và C là một điểm nằm giữa đoạn AB. Tia MC cắt đ ờng tròn tại điểm th hai D. Chứng minh :
a) MA2 = MC.MD b) MB.BD = BC.MD
c) Đờng tròn ngoại tiếp ∆BCD tiếp xúc với MB tại B.
d) Tổng bán kính của hai đ ờng tròn ngoại tiếp ∆BCD và ∆ACD không đổi khi C di động trên đoạn AB.
Bài 50 : Cho ∆ABC có góc A > 90o. Đờng tròn (O), đờng kính AB cắt đờng tròn (O/) đờng kính AC tại giao điểm thứ hai là H. Một đ ờng thẳng (d) quay quanh A cắt Đ ờng tròn (O), đờng tròn (O/) lần lợt tại M, N sao cho A nằm giữa M và N.
a) Chứng minh H thuộc cạnh BC và tứ giác BCNM là hình thang vuông. b) Chứng minh tỷ số
HN
HM không đổi.
c) Gọi I là trung điểm của MN, K là trung điểm của BC. Chứng minh bốn điểm A, H, K, I thuộc một đờng tròn và I di chuyển trên một cung tròn cố định.
d) Xác định vị trí của đờng thẳng (d) để diện tích ∆HMN lớn nhất.
Bài 51 :Cho đoạn thẳng AB và một điểm P nằm giữa A và B.Trên nửa mặt phẳng bờ AB kẻ các tia Ax, By vuông góc với AB và lần l ợt trên hai tia dó lấy hai điểm C và D sao cho : AC.BD=AP.PB (1)
a ) Chứng minh tam giác ACP đồng dạng với tam giác BPD.
b ) Chứng minh góc CPD bằng 900. Từ đó suy ta cách dựng hai điểm C;D thoả mãn (1) c ) Gọi M là hình chiếu của P trên CD, chứng minh góc AMB bằng 900
d ) Gọi AM cắt CP tại I, BM cắt PD tại K. Chứng minh IK // AB
e ) Chứng minh điểm M chạy trên nửa đ ờng tròn cố định khi C;D lần l ợt di động trên Ax, By nhng vẫn thoả mãn (1).
Bài 52 : Cho tam giác ABC vuông tại A và một điểm D nằm giữa A và B. Đ ờng tròn đờng kính BD cắt BC tại E.Các đờng thẳngCD, AE lần lợt cắt đờng tròn tại các điểm thứ hai F, G. Chứng minh:
a) tam giácABC đồng dạng với tam giácEBD. b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp đ ợc. c) Chứng minh AD.AB = AG.AE
d) AC//FG.
e) Các đờng thẳng AC, DE, BF đồng quy.
Bài53 Cho đường trũn (O), một đường kớnh AB cố định, một điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = 2/3AO . Kẻ dõy MN vuụng gúc với AB tại I. Gọi C là điểm tựy ý thuộc cung lớn MN, sao cho C khụng trựng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E.
b) Chứng minh ΔAME đồng dạng với ΔACM và AM2 = AE.AC. c) Chứng minh AE.AC - AI.IB = AI2.
d) Hóy xỏc định vị trớ của điểm C sao cho khoảng cỏch từ N đến tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc CME là nhỏ nhất.
Bài 54 : Cho tam giỏc ABC vuụng tại A (AB > AC), đường cao AH. Trờn nửa mặt phẳng bờ BC chứa A vẽ nửa đường trũn đường kớnh BH cắt AB tại E và nửa đường trũn đường kớnh CH cắt AC tại F. Chứng minh rằng :
a) Tứ giỏc AEHF là hỡnh chữ nhật.
b) EF là tiếp tuyến chung của hai đường trũn đường kớnh BH và CH. c) Tứ giỏc BCFE nội tiếp.
Bài 55 Cho đường trũn tõm O bỏn kớnh R, hai điểm C và D thuộc đường trũn, B là trung điểm của cung nhỏ CD. Kẻ đường kớnh BA ; trờn tia đối của tia AB lấy điểm S, nối S với C cắt (O) tại M ; MD cắt AB tại K ; MB cắt AC tại H.
a) Chứng minh BMD = BAC, từ đú => tứ giỏc AMHK nội tiếp. b) Chứng minh : HK // CD.
c) Chứng minh : OK.OS = R2.
Bài 56 : Cho đường trũn (O) bỏn kớnh R, đường thẳng d khụng qua O và cắt đường trũn tại hai điểm A, B. Từ một điểm C trờn d (C nằm ngoài đường trũn), kẻ hai tiếp tuyến CM, CN với đường trũn (M, N thuộc (O)). Gọi H là trung điểm của AB, đường thẳng OH cắt tia CN tại K.
a) Chứng minh bốn điểm C, O, H, N cựng nằm trờn một đường trũn. b) Chứng minh KN.KC = KH.KO.
c) Đoạn thẳng CO cắt đường trũn (O) tại I, chứng minh I cỏch đều CM, CN và MN.
d) Một đường thẳng đi qua O và song song với MN cắt cỏc tia CM, CN lần lượt tại E và F. Xỏc định vị trớ của C trờn d sao cho diện tớch tam giỏc CEF là nhỏ nhất.