1.3 Phương trình sai phân tuyến tính trong R k
1.3.3 Các véc tơ riêng và công thức nghiệm
Xét phương trình
X(n+1) =AX(n), X(n)∈Rk.
Ta đã biết nghiệm của phương trình này với điều kiện ban đầu (0,X(0)) là X(n) = AnX(0). Do việc tính lũy thừaAn là khó nên ta thường tìm cách tránh việc tính toán này bằng các cách khác. Trong trường hợp nếu biết các giá trị riêng của ma trận hằng sốA, ta có thể giải như sau:
Định lý 1.3.2. Giả sử ma trận hằng số A có các giá trị riêng là λ1,λ2, ...,λp ứng với đúng pvéc tơ riêng độc lập tuyến tính là v1,v2, ...,vp thì nghiệm tổng quát của phương trình trên là
X(n) =C1v1λ1n+C2v2λ2n+ã ã ã+Cpvpλpn.
Ví dụ 1.3.3. Giải phương trình:X(n+1) =AX(n), trong đó
A=
1 −3 3 3 −5 3 6 −6 3
Lời giải.Phương trình đặc trưng:
det(A−λE) =0⇔
λ =λ1=−2 λ =λ2=−2 λ =λ3=3.
+) Vớiλ =λ1=−2, tìm được hai véc tơ riêng làv1 =
1 1 0
; v2 =
1 0
−1
.
+) Vớiλ =λ3=3, tìm được véc tơ riêng làv3=
3 3 5
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình trên là
X(n) =C1
1 1 0
(−2)n+C2
1 0
−1
(−2)n+C3
3 3 5
3n
hayX(n) = (x1(n),x2(n),x3(n))T, trong đó
x1(n) =C1(−2)n+C2(−2)n+3C33n x2(n) =C1(−2)n+3C33n
x3(n) =−C2(−2)n+5C33n.
Tóm tắt chương 1. Chương này đã trình bày khái niệm sai phân, phương trình sai phân, công thức nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính trongR1,Rp và mối liên hệ qua lại giữa chúng.
Tính ổn định của các phương trình sai phân.
2.1 Khái niệm ổn định nghiệm phương trình sai phân.
Lý thuyết ổn định nghiệm các phương trình sai phân là bước mở rộng tự nhiên từ lý thuyết ổn định nghiệm của các phương trình vi phân. Lý thuyết này được đặt nền móng bởi A. Lyapunov, một nhà toán học người Nga vào cuối thế kỷ 19. Kể từ đó lý thuyết ổn định phát triển mạnh và ngày càng được ứng dụng nhiều để phân tích các quá trình thực tiễn (xem [1,2,4,5,6]). Lý thuyết ổn định quan tâm đến dáng điệu của tập nghiệm trên nửa trục thời gian[0;+∞). Lyapunov cũng giới thiệu hai phương pháp chính để nghiên cứu tính ổn định. Phương pháp thứ nhất dựa vào tập phổ của ma trận hay của toán tử tuyến tính. Phương pháp thứ hai dựa vào một loại hàm bổ trợ, thường được gọi là hàm Lyapunov ([1,2,6,10]). Ngoài hai phương pháp cơ bản này, gần đây nhiều nhà nghiên cứu đề cập đến các cách nghiên cứu khác. Một trong các cách như vậy là dựa vào các bất đẳng thức đặc thù như bất đẳng thức Gronwall ([6,8]), bất đẳng thức Halanay ([4,5,7]).
Trong chương này chúng tôi chủ yếu tập trung cho phương pháp nghiên cứu tính ổn định thông qua các bất đẳng thức sai phân Halanay. Bất đẳng thức này đã được Halanay đưa ra cho trường hợp thời gian liên tục và gần đây được nhiều tác giả chuyển qua trường hợp thời gian rời rạc.
Nhắc lại rằng ta đang làm việc trên tập thời gianZhoặcZ+.
Như đã nói ở trên, mọi phương trình cấp cao đều có thể đưa về phương trình cấp một
trong không gian có số chiều lớn hơn. Vậy, không mất tính tổng quát, ta chỉ phát biểu các khái niệm và mệnh đề cho phương trình cấp một. Xét phương trình sai phân dạng chính tắc trongRp:
x(n+1) = f(n,x(n)), (2.1) f(n,0) =0với mọin∈Z(n0):={n0,n0+1,n0+2, ...}. (2.2) Điều kiện(2.2)đảm bảo để hệ(2.1)có nghiệm tầm thườngx≡0.
Để đơn giản và không mất tính tổng quát, ta thường lấyn0=0.
Định nghĩa 2.1.1. [2] Nói nghiệm tầm thườngx(n)≡0của phương trình sai phân(2.1) là ổn định nếu với mọin0∈Z+và với mọi sốε>0cho trước luôn tồn tại sốδ=δ(ε,n0), sao cho mọi nghiệmx(n)của phương trình(2.1)thỏa mãn bất đẳng thức: kx(n0)k<δ thì sẽ thỏa mãnkx(n)k<ε với mọin≥n0.
Nếu nghiệm ổn định x(n)≡0 là hút, nghĩa là có thêm tính chất: Tồn tại số δ1 = δ1(n0,ε)sao cho từ kx(n0)k<δ1 kéo theo lim
n→∞kx(n)k=0thì nói nghiệm tầm thường này là ổn định tiệm cận.
Vớin0∈Z+, nếu tồn tại các số dươngN,α và tậpDn0⊆Rk sao cho khix(n0)∈Dn0
sẽ kéo theokx(n)k ≤Ne−α(n−n0)với mọin≥n0, thì ta nói nghiệm tầm thường là ổn định mũ. TậpDn0 rộng nhất có tính chất trên gọi là miền hút tạin0 của nghiệm tầm thường.
Nếu các sốδ0,δ1 nói trên có thể chọn không phụ thuộc vào thời điểm ban đầun0 thì các nghĩa ổn định trên đây gọi là "đều".
Phương pháp thứ nhất Lyapunov. Xét hệ thuần nhất dừng trongRp:
X(n+1) =AX(n) (2.3)
Tập phổ của ma trậnAlàσ(A) ={λ ∈C: det(A−λE) =0}. Đây chính là tập các giá trị riêng của ma trậnA. Dễ thấy hệ(2.3)có nghiệm cân bằng tầm thườngX(n)≡0với
mọin.
Ký hiệu:
B1(0) ={λ ∈C: kλk<1}
B1[0] ={λ ∈C: kλk ≤1}.
Định lý 2.1.2. Nghiệm tầm thườngX(n)≡0của hệ(2.3)(hay bản thân hệ(2.3)) là ổn định nếuσ(A)⊆B1[0], trong đó các nghiệm của phương trình đặc trưng có modul bằng 1chỉ là nghiệm đơn.
Nghiệm tầm thường là ổn định tiệm cận nếuσ(A)⊆B1(0).
Phương pháp hàm Lyapunov. Phương pháp này nghiên cứu tính ổn định dựa vào một loại hàm bổ trợ, gọi là hàm Lyapunov. Hầu hết các dấu hiệu ổn định chỉ được phát biểu dưới dạng các điều kiện đủ. Trong một vài trường hợp đặc biệt cũng có thể có được cả điều kiện cần, nghĩa là có thể xây dựng được hàm Lyapunov cho hệ. Trước tiên ta ký hiệu một lớp hàm số trongR+ như sau (gọi là lớp hàm Hahn):
K ={a(ã):R+→R+ sao choa(0) =0, liờn tục, đơn điệu tăng}.
Định lý 2.1.3. Xét hệ sai phân trongRk:
xn+1 = f(n,xn) (2.4)
f(n,0) =0, với mọin. (2.5)
Nếu tồn tại hàmV :Z+ìRk →R+, sao cho 1)
V(n,0) =0, V(n,x)>0, với mọixkhác0. (2.6) 2) V(n,x)liên tục theox(trong một lân cậnU củax=0).
3) Tồn tại hàma(ã)∈K sao cho
a(kxk)≤V(n,x), (∀n∈Z+,∀x∈U). (2.7) 4)
∆V(n,xn) =V(n+1,xn+1)−V(n,xn)≤0, (∀n∈Z+) (2.8) trong đó xn+1 xác định ở (2.4). Khi đó, nghiệm tầm thường xn ≡0 của (2.4) và (2.5)là ổn định. Hơn nữa:
5) Nếu tồn tại thờm hàmc(ã):R+→R+ vàc(s)>0, ∀s>0,c(0) =0sao cho
∆V(n,xn)≤ −c(kxnk) (2.9) thìxn≡0là ổn định tiệm cận.
2.2 Phương pháp bất đẳng thức trong nghiên cứu