2.2 Phương pháp bất đẳng thức trong nghiên cứu các định tính
2.2.2 Ứng dụng vào việc nghiên cứu tính ổn định
Xét phương trình sai phân sau:
∆xn =−axn+ f(n,xn,xn−1, ...,xn−r) (a>0). (2.20)
Loại phương trình dạng này có đuôi phi tuyến f(.)thỏa mãn một vài ràng buộc đủ tốt (sẽ nói sau) thường được gọi bằng tên ngắn gọn là "tựa tuyến tính". Ở đây, độ trễ cách đều nhau một khoảng thời gian bằng1.
Mặc dù với mọi dãy giá trị ban đầu{x−r,x−r+1, ...,x0}, nghiệm{xn}của (2.20) có công thức tính tường minh
xn+1= (1−a)xn+ f(n,xn, ...,xn−r),
nhưng đó là một công thức truy hồi cồng kềnh, không phải lúc nào cũng thuận tiên khi sử dụng. Vì thế, việc xét tính ổn định trực tiếp qua công thức nghiệm là khó. Trong trường hợp tổng quát ta sẽ tìm cách khảo sát dáng điệu tiệm cận của nghiệm qua công cụ là các bất đẳng thức dạng Halanay rời rạc:
Định lý 2.2.3. ([4]) Giả sử0<a≤1và tồn tại hằng số dươngb<asao cho
kf(n,xn, ...,xn−r)k ≤bk(xn, ...,xn−r)k∞, ∀(xn, ...,xn−r)∈Rr+1. (2.21)
Khi đó∃λ0∈(0; 1)sao cho với mọi nghiệm{xn}của (2.20), ta đều có kxnk ≤( max
−r≤i≤0{kxik}})λ0n, n≥0.
Hơn nữa,λ0 có thể chọn như ở Định lý 2.2.1.
Chứng minh. {xn}là nghiệm của (2.20) nên xn=x0(1−a)n+
n−1
∑
i=0
(1−a)n−i−1f(i,xi, ...,xi−r), (n≥0).
Doa<1nên ta có:
kxnk ≤ kx0k(1−a)n+
n−1
∑
i=0
(1−a)n−i−1kf(i,xi, ...,xi−r)k, (n≥0).
Từ (2.21) ta có:
kxnk ≤ kx0k(1−a)n+
n−1
∑
i=0
(1−a)n−i−1bmax{kxik, ...,kxi−rk}, (n≥0)
Mỗin=−r, ...,0, đặtvn=kxnk Mỗin∈Z+, đặt
vn=kx0k(1−a)n+
n−1
∑
i=0
(1−a)n−i−1bmax{kxik, ...,kxi−rk}, (n≥0).
Theo cách đặt này, ta cókxnk ≤vn, với n≥ −r.
Khi đó ta có
vn+1= (1−a)vn+bmax{kxnk, ...,kxn−rk}
⇔vn+1≤(1−a)vn+bmax{vn, ...,vn−r} Như vậy, dãyvn thỏa mãn Định lý 2.2.1, do đó ta có
kxnk ≤vn≤( max
−r≤i≤0{vi})λ0n= ( max
−r≤i≤0{kxik})λ0n, ∀n≥0.
λ0 được chọn như ở Định lý 2.2.1.
Hệ quả 2.2.1 Nếu ngoài các giả thiết ở Định lý 2.2.3 còn có thêm giả thiết f(n,0,0, ...,0) = 0, ∀n∈Z+ thì phương trình (2.20) có nghiệm cân bằng tầm thường ổn định tiệm cận.
Chứng minh. Điều khẳng định là rừ ràng vỡxn≡0là nghiệm của phương trỡnh và kxnk ≤( max
−r≤i≤0{kxik})λ0n, ∀n≥0.
Ta có thể xét một vài trường hợp đơn giản qua các ví dụ sau:
Ví dụ 2. 2.1. (Phần nhiễu là dừng và chỉ có một độ chậm) Xét phương trình sai phân
∆xn=−axn+f(xn−k),a>0.
Giả sử tồn tại hằng sốb>0sao cho
kf(x)k ≤bkxk ,∀x.
Khi đó, nếu f(.)đủ tốt để bthỏa mãnb<a≤1, thì áp dụng Định lý 2.2.3, ta thấy các nghiệm của phương trình trên bị hút về0.
Nếu có thêm f(0) =0thì ta được nghiệm cân bằng x=0 của phương trình trên là ổn định tiệm cận.
Ví dụ 2.2.2. (Phần nhiễu có dạng tuyến tính với nhiều độ chậm hằng rời rạc) Xét phương trình sau trong không gian tổng quátX.
xn+1=
n i=n−r∑
bixi, bi∈X.
Đầu tiên ta lưu ý rằng đây là một phương trình sai phân dạng tuyến tính, có nhiều trễ rời rạc. Phương trình có nghiệm cân bằng tầm thườngxn≡0. Đánh giá theo chuẩn, ta có:
kxn+1k ≤
n i=n−r∑
kbikkxik.
Áp dụng Định lý 2.2.3 cho dãy số không âmkxnkta thấy nghiệm tầm thường xn≡0là ổn định tiệm cận nếu
sup
n∈Z n i=n−r∑
kbik<1.
Ví dụ 2.2.3. Ta trở lại hệ thuần nhất dừng trong không gian BanachX: xn+1=Axn, xi∈X.
Viết lại hệ trên:
∆xn=−Ixn+Axn, xi∈X.
Áp dụng Định lý 2.2.3 cho phương trình này với lưu ý rằng ở đây:a=kIk=1; b= kAk, ta được điều kiện để nghiệm cân bằngxn≡0ổn định tiệm cận làkAk<1. Kết quả này chính là kết quả đã được thiết lập ở Mục 2.1.
Hệ phi tuyến với độ trễ tuỳ ý, rời rạc.
Xét phương trình sai phân vô hướng dạng tổng quát
∆xn=−pxn+ f(n,xn,xn−h1,xn−h2...,xn−hr)(n∈Z+). (2.22)
Bằng cách lập luận tương tự như trong Định lý 2.2.3, chúng ta thu được kết quả sau:
Định lý 2.2.4. Chop,αi,βi∈R+,hi∈Z+,i=1, ...,r, ở đó0=h0<h1< ... <hr,
r
∑
i=0
αi= 1và
r
∏
i=0
βi< p≤1. Cho {xn}n∈
Z−hr là một dãy các số thực sao cho xαn−hi
i xác định với mọii=1, ...,r;n∈Z0 và thỏa mãn bất đẳng thức sau:
∆xn≤ −pxn+
r
∏
i=0
βixαn−hi
i,n∈Z0. Khi đó, tồn tạiλ0∈(0; 1)sao cho:
xn ≤max{0,x0,x−1, ...,x−hr}λ0n, n∈Z0. Hơn nữaλ0 có thể chọn là nghiệm nhỏ nhất trong(0; 1)của hàm số:
F(λ) =λ−(
r
∏
i=0
βi)λ−
r
∑
i=1
hiαi
+p−1
Tiếp tục xét phương trình
∆xn=−pxn+ f(n,xn,xn−h1, ...,xn−hr) (2.23)
n,hi∈Z+,i=1, ...,r∈Z+,p>0. Nghiệm được xác định theo chuỗi giá trị ban đầu nào đó{x−r,x−r+1, ...,x0}.
Định lý 2.2.5. Giả sử tồn tạiqi∈R+0,hi∈Z+,i=1, ...,r;qr∈R+, trong đó
r
∑
i=0
qi<p≤1 sao cho:
kf(n,xn,xn−h1, ...,xn−hr)k ≤
r
∑
i=0
qikxn−hik. (2.24) Với mọi (n,xn,xn−h1, ...,xn−hr)∈ Z0ìRr+1. Khi đú, tồn tại λ0 ∈ (0; 1) sao cho mọi nghiệmxn của (2.23) thỏa mãnkxnk ≤( max
−hr≤i≤0{kxik})λ0n, n∈Z0, Ở đóλ0 được chọn như trong Định lý 2.2.2.
Chứng minh. Ta có, mọi nghiệm{xn}của (2.23) có thể viết theo công thức:
xn=x0(1−p)n+
n−1
∑
i=0
(1−p)n−i−1f(i,xi,xi−h1, ...,xi−hr), n∈Z0. Lấy chuẩn hai vế với lưu ý p<1:
kxnk ≤ kx0k(1−p)n+
n−1
∑
i=0
(1−p)n−i−1kf(i,xi,xi−h1, ...,xi−hr)k, n∈Z0.
Sử dụng (2.24), ta được:
kxnk ≤ kx0k(1−p)n+
n−1
∑
i=0 r
∑
j=0
(1−p)n−i−1qjkxi−hjk, n∈Z0
Với mỗin=−hr, ...,0, đặtvn=kxnkvà với mỗin∈Z+, ta đặt vn=kx0k(1−p)n+
n−1
∑
i=0 r
∑
j=0
(1−p)n−i−1qjkxi−hjk.
Khi đó, ta cókxnk ≤vn,n∈Z−hr, và do đó,
∆vn=−pvn+
r
∑
i=0
qikxn−hik ≤ −pvn+
r
∑
i=0
qivn−hi, n∈Z0. Vì vậy, sử dụng Định lý 2.2.2, ta được:
kxnk ≤vn≤( max
−hr≤i≤0{vi})λ0n= ( max
−hr≤i≤0{kxik})λ0n, n∈Z0. Ở đâyλ0 được chọn như trong Định lý 2.2.2.
Trong Định lý 2.23 và 2.25, số mũ của trạng thái trễxi hayxhi đều có mũ "1". Định lý sau là kết quả cho trường hợp số mũ không nhất thiết bằng1.
Định lý 2.2.6. Giả sử rằng tồn tại p,αi,βi∈R+,hi∈Z+,i=1, ...,r, trong đó
r
∑
i=0
αi=1 và
r
∏
i=0
βi< p≤1sao cho
kf(n,xn,xn−h1, ...,xn−hr)k ≤
r
∏
i=0
βikxn−hikαi,
với mọi (n,xn,xn−h1, ...,xn−hr)∈ Z0ìRr+1. Khi đú, tồn tại λ0 ∈(0; 1) sao cho mọi nghiệm{xn}của phương trình (2.23) thỏa mãnkxnk ≤( max
−hr≤i≤0{kxik})λ0n, ∀n∈Z0. Sốλ0được chọn như trong Định lý 2.2.2.
Hệ quả 2.2.2. Nếu ngoài các giả thiết của Định lý 2.2.6 có thêm giả thiết f(n,0,0, ...,0) = 0, ∀n∈Z+ thì phương trình (2.23) có nghiệm cân bằng tầm thường ổn định tiệm cận.
Chứng minh. Giả thiết bổ sung trên đảm bảo cho phương trình có nghiệm tầm thường xn≡0. Bất đẳng thức
kxnk ≤( max
−hr≤i≤0{kxik})λ0n, ∀n∈Z0
cho thấy nghiệmx=0ổn định tiệm cận.
Sau đây ta xét một ví dụ trong đó các tham số nhận những giá trị cụ thể.
Ví dụ 2.2.4.Xét phương trình sau trongR3(x= (x1,x2,x3)T ∈R3).
∆x(n+1) =−1
2x(n) + I 4x
1 3
1(n−1)sinx
2 3
2(n−2) + I 5x
1 5
2(n−1)sinx
4 5
3(n−2) (2.25) Ilà toán tử đồng nhất trongR3. Phương trình này có nghiệm cân bằng tầm thườngx≡0.
Ta thấy
(2.25)⇔x(n+1) = 1
2x(n) + I 4x
1 3
1(n−1)sinx
2 3
2(n−2) + I 5x
1 5
2(n−1)sinx
4 5
3(n−2).
Lấy chuẩn hai vế, ta được kx(n+1)k= 1
2kx(n)k+1
4|x1(n−1)|13|sinx2(n−2)|23+1
5|x2(n−1)|15|sinx3(n−2)|45.
≤ 1
2kx(n)k+1
4kx(n−1)k13kx(n−2)k23+1
5kx(n−1)k15kx(n−2)k45
⇔∆kx(n)k ≤ −1
2kx(n)k+1
4kx(n−1)k13kx(n−2)k23 +1
5kx(n−1)k15kx(n−2)k45. Ta có 14+15 = 209 < 12 = p. Cho nên, theo Định lý 2.2.6 ta có kx(n)k →0khi n→+∞.
Nghiệm cân bằngx≡0của phương trình (2.25) là ổn định tiệm cận.
Tóm tắt chương 2
Chương này trình bày khái niệm ổn định nghiệm các phương trình sai phân và một số phương pháp nghiên cứu tính ổn định. Phần lý thuyết chủ yếu của chương này là nội dung đọc hiểu hai bài báo [4] và [7]. Đóng góp của tác giả gồm việc tự chứng minh Bổ đề 2.2.1 (các tài liệu chỉ sử dụng, không chứng minh) và việc cụ thể hóa một số kết quả cho trường hợp về phải có dạng tuyến tính qua các ví dụ.
Định tính của một vài mô hình dạng sai phân
Chương này trình bày ứng dụng của lý thuyết định tính của phương trình sai phân để nghiên cứu tính chất của một vài đối tượng cụ thể trong thực tiễn như mô hình Cobweb trong kinh tế, mô hình tăng trưởng GDP (tổng sản phẩm quốc nội) và mô hình quần thể cạnh tranh một loài. Phần trình bày này nhằm minh hoạ cho vai trò quan trọng của lý thuyết định tính các phương trình sai phân trong thực tiễn cuộc sống. Các mô hình này do giáo viên hướng dẫn lập mô hình, tác giả thực hiện việc nghiên cứu định tính theo gợi ý. Ngoài tính ổn định, ta cũng sẽ đề cập đến tính dao động nghiệm của các phương trình sai phân. Đầu tiên, chúng tôi giới thiệu vắn tắt về khái niệm này:
Định nghĩa: Nghiệm y=y(n)của phương trình vô hướng
y(n+1) = f(n,y(n)) (3.1) được gọi là dao động quanh điểm cân bằngy0 ≡0 của phương trình này nếu với mọi n0 ∈Z+ đều tồn tạin1∈Z+ vàn1>n0 sao choy(n0)y(n1)<0.
Ta xét một trường hợp riêng, khi phương trình sai phân có dạng tuyến tính dừng:
y(n+k+1) +Aky(n+k) +...+A1y(n+1) +A0y(n) = f(n). (3.2) Phương trình thuần nhất tương ứng:
y(n+k+1) +Aky(n+k) +...+A1y(n+1) +A0y(n) =0. (3.3)
Phương trình đặc trưng của chúng là:
λk+1+Akλk+...+A1λ+A0=0. (3.4) Ta có kết quả sau:
Mệnh đề 3.2.1. Giả sửy∗là một điểm cân bằng của (3.2). Khi đó, nếu nghiệm y=y(k) của (3.2) dao động quanhy∗thìz=z(k) =y(k)−y∗là nghiệm của (3.3) dao động quanh z∗≡0.
Mệnh đề 3.2.2. y(n)→y∗ khi và chỉ khiy(n)→0vày(n)dao động quanhy∗ khi và chỉ khiy(n)¯ dao động quanh0.
Mệnh đề 3.2.3. Mọi nghiệm của phương trình thuần nhất (3.3) dao động quanh 0khi và chỉ khi phương trình đặc trưng(3.4)không có nghiệm dương.
Sau đây ta sẽ xem xét các phương trình sai phân mô tả ba mô hình cụ thể:
3.1 Mô hình Cobweb (về thị trường một mặt hàng)
Có một mặt hàng lưu hành trên thị trường.
GọiS(n)là lượng cung tại thời kỳn, n∈Z+ D(n)là lượng cầu tại thời kỳn, n∈Z+ P(n)là giá hai bên thỏa thuận ở thời kỳn S0 =S(0)là lượng cung ban đầu
D0=D(0)là lượng cầu ban đầu
Để các phép toán có nghĩa, ta sẽ luôn quy ước rằng các đại lượng nói trên đều được quy thành tiền. Mặt khác, ta luôn giả thiết:D0>S0 (để tránh hiện tượng khủng hoảng thừa).
Bên cầu cần mua một lượng làmD đơn vị hàng hóa (với giáP(n)) Bên cung cần bán một lượng làmS đơn vị hàng hóa (với giáP(n)) Mua được một lượng hàng, lượng cầu tại thời kỳ n (có giảm đi):
D(n) =D0−mDP(n)
Bán được một lượng hàng, lượng cung ở thời kỳ sau (cần bổ sung thêm):
S(n+1) =S0+mSP(n)
Trạng thái lý tưởng là tại thời kỳ tiếp theo, lượng cung bằng lượng cầu, nghĩa là:
D(n+1) =S(n+1)⇔D0−mDP(n+1) =S(n+1) =S0+mSP(n)
⇔P(n+1) =−mS
mD
P(n) +D0−S0 mD
Ký hiệu lạiA=−mmS
D;B= D0m−S0
D , khi đó, phương trình trên được đưa về dạng chính tắc:
P(n+1) =AP(n) +B Giá cân bằng P∗ được xác định bởi
P∗=AP∗+B⇔P∗= B 1−A
Ta sẽ xét các định tính của nghiệm cân bằng này trong ba trường hợp:
−1<A<0, A=−1 và A<−1.
(VìA=−mmS
D <0nên ta không xét trường hợpA≥0) a) Khi−1<A<0 , khi đó ta có:
P(n) =AnP(0) +B
n−1
∑
i=0
An−i−1=AnP(0) +An−1
A−1 −→ B
1−A = p∗ (n−→∞) Vậy điểm cân bằngP∗ là ổn định tiệm cận (Hình H.2).
b) KhiA=−1, ta có phương trình
P(n+1) =−P(n) +B Lấy điều kiện ban đầu:P(0) =P0,ta có:
P(1) =−P(0) +B
P(2) =−P(1) +B=−(−P0+B) +B=P0
P(3) =−P0+B ...
P(n) =
( P0 khi n=2k
−P0+B khi n=2k+1 Giá dao động quanh giá trị cân bằngP∗= B2 (hình H.3)
c) KhiA<−1, ta có
P(n) =AnP0+An−1
A−1B; kP(n)k →+∞ khi n→∞.
Điểm cân bằngP∗ là không ổn định (H.4)