Sau khi đã xác định và xây dựng được mô hình toán học của đối tượng thì việc tiếp theo tổng hợp hệ thống là tổng hợp bộ điều chỉnh.
Việc tổng hợp bộ điều chỉnh với mục đích can thiệp vào đối tượng nhằm đạt được chất lượng mong muốn và đảm bảo quá trình công nghệ.
Trong phần này chúng tôi giới thiệu phương pháp tổng hợp bộ điều chỉnh PID. Bộ điều chỉnh PID bao gồm ba thành phần: khuyếch đại tỷ lệ P, tích phân I và vi phân D.
Phương trình thời gian mô tả bộ điều chỉnh PID:
u(t) = Kp[e(t) +
i
1
T ∫e(t)dt + TDde(t) dt ] Với: Kp hệ số khuyếch đại tỉ lệ.
Ti hằng số thời gian tích phân.
TD hằng số thời gian vi phân.
e(t) tín hiệu vào bộ điều chỉnh.
u(t) tín hiệu ra bộ điều chỉnh.
Hình 4.4. Hệ thống điều khiển tự động
Bộ PID được sử dụng rất rộng rãi, là cơ sở để thiết kế các bộ điều khiển khác. Lý do là tính đơn giản của nó kể cả về cấu trúc lẫn nguyên lý làm việc, người sử dụng nó rất linh hoạt, ví dụ như dễ dàng tích hợp các luật điều khiển như luật P, luật PI, luật PD. Hơn nữa bộ điều khiển PID luôn là phần tử không thể thay thế trong các quá trình tự động điều khiển như tự động khống chế nhiệt độ, mức, tốc độ vv. Ngay cả khi lý thuyết điều khiển tự động hiện đại ra đời, việc ứng dụng vào việc thiết kế các bộ điều khiển như bộ điều khiển mờ, bộ điều khiển NƠRON, bộ điều khiển bền vững, bộ điều khiển thích nghi, thì việc kết hợp giữa các phương pháp điều khiển hiện đại và bộ điều khiển PID kinh điển vẫn đem lại những hiệu quả bất ngờ mà không bộ điều khiển nào có khả năng đem lại.
Qui luật của bộ điều khiển PID kinh điển.
+ Luật P: Làm tăng tín hiệu điều khiển u(t), nhưng không khử được sai lệch tĩnh của hệ.
+ Luật I: Luôn có xu thế làm cho sai lệch tĩnh e(t) = 0, nhưng lại làm tăng quá trình quá độ của hệ.
+ Luật D: Dự đoán trước xu hướng thay đổi của hệ, phản ứng nhanh nhậy với sự thay đổi đó, tức làm tăng khả năng tác động nhanh của hệ.
Như vậy ta thấy việc kết hợp hài hoà giữa 3 tham số Kp, Ti, TD sẽ cho ra một bộ điều khiển mong muốn.
Hơn nữa việc xử lý tín hiệu trong vi điều khiển là số nên ta phải số hoá mô hình bộ điều khiển PID.
Ở trong hệ gián đoạn, đầu vào e(t) được thay bằng dãy {ek} có chu kỳ trích mẫu là TS, khi đó thuật toán PID số được xây dựng như sau:
Thành phần khuếch đại up(t) = Kpe(t) được thay bằng ukP= Kpek Thành phần tích phân ui(t) = p t
i 0
K e(τ)dτ
T ∫ được xấp xỉ bằng:
uki = p S k i
i i=1
K T e
T ∑
Thành phần vi phân uD(t) = K Tp D de(t)
dt được thay bằng:
ukD = p D k k-1
S
K T (e -e ) T
Thay các công thức xấp xỉ trên vào:
uk = ukP + uki + ukD ta thu được mô hình không liên tục của bộ PID số
k p k S k i D k k-1
i=1 S
i
T T
u =K [e + e + (e -e )
T ∑ T ]
1. Phương pháp thiết kế bộ điều khiển PID ở miền thời gian
Ở đây chỉ nêu ra phương pháp sẽ chọn để áp dụng vào đối tượng này và một vài phương pháp hay sử dụng.
+ Phương pháp Ziegler – Nichols thứ nhất.
Phương pháp này áp dụng cho mô hình bậc nhất có trễ của đối tượng, đối tượng phải ổn định, không có dao động và hàm quá độ phải có dạng hình chữ S.
Cụ thể đối tượng được mô tả bởi mô hình toán học dưới đây.
dt 1
K.e-τs W = 1 T s
+
Ziegler – Nichols đã xác định các tham số Kp, Ti, TD của bộ điều khiển như sau.
* Nếu sử dụng bộ điều khiển khuếch đại Wdk = Kp thì chọn KP = T1 Kτ . * Nếu sử dụng bộ điều khiển PI với dk p i
i
K (1 T s)
W T s
= + thì chọn
p 1
K 0,9T
= Kτ và Ti 10τ
= 3 .
* Nếu sử dụng bộ PID với dk p D
i
W K (1 1 T s)
= +T s+ thì chọn p 0,5T1 K = Kτ ,
Ti =2τ, TD τ
=2.
2. Phương pháp thiết kế bộ điều chỉnh PID ở miền tần số.
Nguyên tắc thiết kế ở miền tần số.
Một trong những yêu cầu đối với hệ thống kín hình trên mô tả bởi:
k o
o
W (s) W (s)
1 W (s)
= + Với Wo(s) = Wdk(s). Wdt(s)
Hình 4.5. Điều khiển với bộ điều khiển PID
Là hệ thống luôn đáp ứng y(t) giống như tín hiệu lệnh được đưa vào hệ thống x(t) tại mọi điểm tần số hoặc ít ra thời gian quá độ để y(t) bám vào x(t) càng ngắn càng tốt. Nói cách khác bộ điều khiển lý tưởng Wdk(s) cần phải mang đến cho hệ thống khả năng │Wk(jω)│=1 ∀ω. Nhưng thực tế, vì nhiều lí do mà yêu cầu Wdk(s) thoả mãn W (s) khó đáp k ứng. Nên bộ điều khiển Wdk(s) thoả mãn │Wk(jω)│=1 trong dải tần số thấp có độ rộng càng lớn càng tốt.
● Phương pháp tối ưu môdun.
Như việc phân tích phương pháp điều khiển ở miền tần số ta nhận thấy.
Đối với một hệ thống kín, khi tần số tiến đến vô hạn thì môđun của đặc tính tần số biên độ phải tiến đến không. Vì thế đối với dải tần số thấp hàm truyền phải đạt được điều kiện │Wk(jω)│=1.
Hàm chuẩn tối ưu mô đun là hàm có dạng:
MC 2 2
σ σ
F (s) 1
1 2τ s 2τ s
= + +
Tiêu chuẩn tối ưu môđun hiệu chỉnh lại đặc tính tần số chỉ ở vùng tần số thấp và không bảo đảm trước được tính ổn định của hệ thống. Do đó sau khi ứng dụng tiêu chuẩn tối ưu môđun cần phải kiểm tra sự ổn định của hệ.
Đặc tính tần số và đặc tính quá độ của hàm chuẩn tối ưu môđun có dạng.
Hình 4.6. a) Đặc tính tần số; b) Đặc tính quá độ
* Trường hợp hệ hữu sai có hàm truyền.
o 1
1 2
S (s) K
(1 T s)(1 T s)
= + +
trong đó T2 > T1
Để hệ có hàm truyền F(s) = FMC(s) thì ta phải có:
o MC
o
R(s).S (s) F (s) 1 R(s).S (s) =
+
→ MC
o MC
F (s) R(s)=S (s) 1 F (s)⎡⎣ ⎤⎦
− →
o σ σ
R(s) 1
S (s)2τ s(1 τ s)
= +
Hình 4.7. Cấu trúc hệ thống Nếu chọn bộ điều chỉnh PI
o
R(s) 1 Ts
KT s
= + thì ta chỉ bù được hằng số thời gian lớn 1+Ts = 1+T2s. Khi đó hàm truyền hở của hệ sẽ là:
1 1
o o
o 1 2 o 1
K K
1 Ts 1
F (s) R(s).S (s) . .
KT s (1 T s)(1 T s) KT s 1 T s
= = + =
+ + +
Hàm truyền kín của hệ là:
1
o 2
o 1 1 o 1
1 1
K 1
F(s) KT s(1 T s) K 1 KT s KT T s
K K
= =
+ + + +
Để F(s) = FMC(s) thì ta phải có KTo = 2KT1 thay vào biểu thức trên ta sẽ có
1 12 2
F(s) 1
1 2T s 2T s
= + + .
Như vậy nếu hệ có cấu trúc như Hình 4.7 thì theo tiêu chuẩn tối ưu môđun và nếu chọn bộ điều chỉnh có cấu trúc PI thì hàm truyền của nó sẽ có dạng
2 1 1
1 T s R(s) 2K T s
= + và đặc tính quá độ của hệ sẽ có các thông số đặc trưng như Hình
4.8.
* Trường hợp hệ có hàm truyền
0 u '
i 1 i
S (s) K
(1 T s)
=
=∏ +
Hình 4.8. Đặc tính quá độ của hệ thống
Trong đó Ti’ là các hằng số thời gian nhỏ, bằng phương pháp thực hiện tương tự như trên ta tìm được bộ điều chỉnh có cấu trúc tích phân như sau:
i
R(s) 1
2KT s
= với i u i' T i 1T
= ∑=
* Nếu hàm truyền của hệ có dạng
o 2 u '
k i
k 1
S (s) 1
(1 T s). (1 T s)
= i 1
=
+ +
∏ ∏
=
Tức là hàm truyền có dạng là tích của hai trường hợp trên cũng tương như trên ta sẽ có bộ điều chỉnh PID.
2 k 1 k
i
(1 T s) 1
R(s) .
K 2T s
= +
= ∏
* Nếu hàm truyền có dạng
o u '
i 1 i
S (s) K
s(1 Ts) (1 T s)
=
= + ∏ + thì có bộ điều chỉnh PD
i
R(s) 1 Ts 2KT
= + .
* Nếu o u
i' i 1
S (s) K
s (1 T s)
=
= ∏ + thì có bộ điều chỉnh tỷ lệ
i
R(s) 1
=2KT .
Như vậy tuỳ vào hàm truyền đạt của đối tượng So(s) mà bằng các bộ điều chỉnh R(s) ta có được hệ có hàm truyền dạng tối ưu môđun. Trong các trường hợp trên, giá trị hằng số thời gian Tσ là nhỏ, nên có thể coi kết quả có hàm truyền dạng quán tính:
2 2 σ
σ σ
1 1
F (s)
1 2T s 1 2T s 2T s
= =
+ + +
Và quá trình quá độ ứng với hàm quán tính gần đúng này là đường nét đứt trên Hình 4.8.
● Phương pháp tối ưu đối xứng
Phương pháp này thường được áp dụng để tổng hợp các bộ điều chỉnh trong mạch có yêu cầu vô sai cấp cao, nó cũng được áp dụng có hiệu quả để tổng hợp các bộ điều chỉnh theo quan điểm nhiễu loạn.
Hàm chuẩn tối ưu đối xứng có dạng:
DX 2 2σ 3 3
σ σ σ
1 4τ s F (s)
1 4τ s 8τ s 8τ s
= +
+ + +
Để nghiên cứu ý nghĩa của tiêu chuẩn tối ưu đối xứng ta xét hệ thống có hàm truyền So(s) là dạng vô sai cấp một nhưng lại dùng bộ điều chỉnh kiểu PI:
o 1
o o
o 1 i
1 T s K F (s) R(s).S (s) .
KT s sT (1 T s)
= = +
+ Trong đó Ti là tổng các hằng số thời gian nhỏ.
Khai triển biểu thức trên ta có.
1 o
2 3
o o o
1 1 1 i
K (1 T s) F (s)
1 K T s KT T s KT T T s
= +
+ + +
Hình 4.9. Đặc tính quá độ của hàm tối ưu đối xứng
Áp dụng điều kiện của tiêu chuẩn tối ưu môđun ta tìm được các phương trình hệ số của phương trình đặc tính như sau.
(K1To)2 – 2K1KToT1 = 0 (KToT1)2 – 2K1To2KT1Ts = 0
Giải hệ phương trình trên ta tìm được 1 s
1
K 2K T
= T ; T1 = 4Ts. Hàm truyền của hệ sẽ là:
2 2s 3 3
s s s
F(s) 1 4T
1 4T s 8T s 8T s
= +
+ + +
Đây là hàm truyền dạng tối ưu đối xứng với τσ = Ts. Trong trường hợp hàm truyền của đối tượng có chứa khâu quán tính thứ hai với hằng số thời gian lớn T2.
o 1
1 2 s
S (s) K
sT (1 T s)(1 T s)
= + +
Áp dụng cách tìm bộ điều chỉnh R(s) với hàm chuẩn tối ưu đối xứng ta tìm được bộ điều chỉnh có dạng PID. Tương tự như vậy nếu đối tượng có dạng vô sai cấp 2 thì dễ dàng tìm được bộ điều chỉnh là khâu tỷ lệ.