0
Tải bản đầy đủ (.pdf) (40 trang)

T½nh Lipschitz cõa tªp iºm y¶n ngüa

Một phần của tài liệu TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN MINIMAX (LV01190) (Trang 32 -40 )

Khi b i to¡n (3.1) ch¿ phö thuëc tham sè µ, Quincampoix v  Zlateva [14] ¢ thi¸t lªp mët sè i·u ki»n õ cho t½nh Lipschitz cõa tªp iºm y¶n ngüa.

Trong möc n y chóng ta thi¸t lªp c¡c i·u ki»n õ cho t½nh Lipschitz cõa tªp iºm y¶n ngüa trong b i to¡n minimax câ tham sè M (µ, λ, θ)

inf

x∈K(λ) sup

y∈L(θ)

ð â f (x, y, µ) = 1 2x TA(µ)x+xTB(µ)y − 1 2y TC(µ)y+ a(µ)Tx+b(µ)Ty, K : Λ ⊂ Rp →2Rn, L : Θ ⊂Rq →2Rm, Λ,Θ l  c¡c tªp lçi, K(λ) = {x ∈ Rn|Dx ≥λ, x ≥ 0}, L(θ) = {y ∈ Rm|Ey ≥ θ, y ≥0}, ð â D ∈ Rp×n, E ∈ Rq×m, A : RsRn×n, µ 7→ A(µ) ∈ Rn×n B : RsRn×m, µ 7→B(µ) ∈ Rn×m C : RsRm×m, µ 7→C(µ) ∈ Rm×m a : RsRn, µ 7→ a(µ) ∈ Rn×1 b : RsRm, µ 7→ b(µ) ∈ Rm×1.

Chu©n trong khæng gian c¡c ma trªn c§p m×n ÷ñc x¡c ành bði

kMkm×n = n X j=1 m X i=1 |rij|2 !1/2 , ð â M = (rij)m×n.

°t e(µ) l  gi¡ trà ri¶ng nhä nh§t cõa A(µ), d(µ) l  gi¡ trà ri¶ng nhä nh§t cõa C(µ).

°t G(x, y, µ) = (F1(x, y, µ),−F2(x, y, µ)), ð â

F1(x, y, µ) := A(µ)x+B(µ)y+ a(µ), F2(x, y, µ) := B(µ)Tx−C(µ)y +b(µ).

ành lþ 3.1. X²t b i to¡n (3.2). L§y µ,¯ λ,¯ θ¯Rp×Rq×Rs v  (¯x,y¯) ∈

(i) G l  Lipschitz àa ph÷ìng trong l¥n cªn cõa (¯x,y,¯ µ¯),

(ii) tçn t¤i l¥n cªn U¯ µ) cõa µ¯ v  α > 0 sao cho

min{e(µ), d(µ)}> α ∀µ ∈ U¯(¯µ).

Khi â ∃kµ¯ > 0,∃kλ,¯θ¯ > 0,∃U (¯µ), V λ¯, W θ¯ sao cho

a) Vîi méi (µ, λ, θ) ∈ U (¯µ) ×V ¯λ× W θ¯ b i to¡n (3.2) câ duy nh§t iºm y¶n ngüa, kþ hi»u iºm y¶n ngüa l  (x(µ, λ), y(µ, θ)).

b) Vîi måi (µ0, λ0, θ0),(µ, λ, θ) ∈ U (¯µ)×V ¯λ×W θ¯ ta câ k(x(µ0, λ0), y(µ0, θ0))−(x(µ, λ), y(µ, θ))k ≤ kµ¯0 −µk+kλ,¯θ¯k(λ0, θ0)−(λ, θ)k. Chùng minh. °t Γ (λ, θ) =    (x, y) ∈ Rn ×Rm| H   x y   ≥   λ θ  ,   x y   ≥ 0    , ð â H(p+q)×(n+m) :=   Dp×n Op×m Oq×n Eq×m  , O l  ma trªn khæng. Ta kh¯ng ành r¬ng hG(x0, y0, µ)−G(x, y, µ),(x0, y0)−(x, y)i ≥ α kx0 −xk2 +ky0 −yk2 ∀µ∈ U (¯µ), ∀(x0, y0),(x, y) ∈ Rn×Rm.

Thªt vªy, hG(x0, y0, µ)−G(x, y, µ),(x0, y0)−(x, y)i = hA(µ) (x0 −x), x0 −xi+hC (µ) (y0 −y), y0 −yi ≥ e(µ) n X i=1 (xi0 −xi)2 +d(µ) m X i=1 (yi0 −yi)2 ≥ α kx0−xk2 +ky0−yk2 ∀µ ∈ U(¯µ),∀(x0, y0),(x, y) ∈ Rn×m. V¼ min{e(µ), d(µ)} > α > 0 n¶n A(µ) v  C(µ) l  c¡c ma trªn x¡c ành d÷ìng trong l¥n cªn U¯µ). Do â vîi méi µ ∈ U¯ (¯µ), λ ∈ Λ, θ ∈ Θ

ta câ f(., y, µ) l  lçi tr¶n K(λ) v  f(x, ., µ) l  lãm tr¶n L(θ) vîi måi

(x, y) ∈ K(λ)×L(θ). Ta suy ra tø ành lþ 1.1 r¬ng (x, y) l  iºm y¶n ngüa cõa b i to¡n (3.2) khi v  ch¿ khi (x, y) l  nghi»m cõa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n:

T¼m (x, y) ∈ K(λ)×L(θ) sao cho hG(x, y, µ),(x0, y0)−(x, y)i ≥ 0

∀(x0, y0) ∈ K(λ)×L(θ).

Tø [24, Theorem 3.1] suy ra kh¯ng ành cõa ành lþ.

K¸t luªn

Luªn v«n tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ ban ¦u v· b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n minimax trong [9] v  ¡p döng nghi¶n cùu t½nh ch§t Lipschitz cõa tªp iºm y¶n ngüa trong c¡c b i to¡n minimax câ tham sè; cö thº:

1. Giîi thi»u v· b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n minimax.

2. Ph¥n lo¤i c¡c b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n minimax ìn i»u.

3. Tr¼nh b y v· sü tçn t¤i v  duy nh§t nghi»m cõa c¡c b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n minimax trong mët sè khæng gian: b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n minimax khæng ìn i»u trong khæng gian Euclide, b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n minimax gi£ ìn i»u trong khæng gian Banach ph£n x¤, b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n minimax ìn i»u m¤nh trong khæng gian Hilbert.

4. Giîi thi»u b i to¡n minimax câ tham sè v  mët k¸t qu£ mîi v· t½nh Lipschitz cõa tªp iºm y¶n ngüa trong b i to¡n minimax câ tham sè.

T i li»u tham kh£o


[1] J.-P. Aubin, Mathematical Methods of Game and Economic Theory, North-Holland Publishing Co., Amsterdam-New York, 1979.

[2] J.-P. Aubin and I. Ekeland, Applied Nonlinear Analysis, John Wiley and Sons, New York, 1984.

[3] J.-P. Crouzeix, Criteria for generalized convexity and generalized monotonicity in the differentiable case, in: Handbook of General- ized Convexity and Generalized Monotonicity, pp. 89-119, Springer, 2005.

[4] P. Cubiotti and N. D. Yen, A result related to Ricceri's conjecture on generalized quasivariational inequalities, Arch. Math. 69 (1997), 507-514.

[5] S. Dafermos, Sensitivity analysis in variational inequalities, Math. Oper. Res. 13 (1988), 421-434.

[6] P. H. Dien and N. D. Yen, On implicit function theorems for set- valued maps and their application to mathematical programming under inclusion constraints, Appl. Math. Optim. 24 (1991), 35-54. [7] N. Hadjisavvas, S. Komlâsi, and S. Schaible (Eds.), Handbook of

Generalized Convexity and Generalized Monotonicity, Springer, New York, 2005.

[8] N. Q. Huy, T. Q. Son, and N. D. Yen, Holder continuity of a locally unique saddle point in a parametric minimax problem, preprint, 2011.

[9] N. Q. Huy and N. D. Yen, Minimax variational inequalities, Acta Mathematica Vietnamica. 36 (2011), 265-281.

[10] B. T. Kien, J.-C. Yao, and N. D. Yen, On the solution existence of pseudomonotone variational inequalities, J. Global Optim. 41 (2008), 135-145.

[11] D. Kinderlehrer and G. Stampacchia, An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications, Academic Press, Inc., New York - London, 1980.

[12] G. M. Lee, N. N. Tam, and N. D. Yen, Quadratic Programming and Affine Variational Inequalities. A qualitative study, Springer-Verlag, New York, 2005.

[13] O. L. Mangasarian, Nonlinear Programming, SIAM, Philadelphia, 1994. (A corrected republication of the book first published in 1969 by the McGraw-Hill Book Company, New York.)

[14] M. Quincampoix and N. Zlateva, Parameterized minimax problem: on Lipschitz-like dependence of the solution with respect to the pa- rameter, SIAM J. Optim. 19 (2008), 1250-1269.

[15] B. Ricceri, Recent advances in minimax theory and applications, in Pareto Optimality, Game Theory and Equilibria (A. Chinchuluun,

P. M. Pardalos, and A. Migdalas, Eds.), pp. 23-52, Springer, New York, 2008.

[16] R. T. Rockafellar, Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton, N.J., 1970.

[17] H. Tuy, Minimax: existence and stability, in Pareto Optimality, Game Theory and Equilibria (A. Chinchuluun, P. M. Pardalos, and A. Migdalas, Eds.), pp. 3-21, Springer, New York, 2008.

[18] F. P. Vasilev, Numerical Methods for Solving Extremal Problems, 2nd edition, Nauka, Mowscow, 1988.

[19] J.-P. Vial, Strong and weak convexity of sets and functions, Math. Oper. Res. 8 (1983), 231-259.

[20] J. C. Yao, Variational inequalities with generalized monotone oper- ators, Math. Oper. Res. 19 (1994), 691-705.

[21] J. C. Yao, Multi-valued variational inequalities with K- pseudomonotone operators, J. Optim. Theory Appl. 80 (1994), 63-74.

[22] J. C. Yao and O. Chadli, Pseudomonotone complementarity prob- lems and variational inequalities, in: Handbook of Generalized Con- vexity and Generalized Monotonicity, pp. 501-558, Springer, 2005. [23] N. D. Yen, Holder continuity of solutions to a parametric variational

[24] N. D. Yen, Lipschitz continuity of solutions of variational inequali- ties with a parametric polyhedral constraint, Math. Oper. Res. 20 (1995), 695-708.

[25] N. D. Yen, Parametric optimization problems and parametric vari- ational inequalities, Vietnam J. Math. 37 (2009), 191-223.

Một phần của tài liệu TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN MINIMAX (LV01190) (Trang 32 -40 )

×