m¤nh trong khæng gian Hilbert
Trong ph¦n n y, chóng ta gi£ sû r¬ng X, Y l khæng gian Hilbert. Khi â X∗ v Y∗ câ thº çng nh§t vîi X v Y t÷ìng ùng. Gi¡ trà cõa x∗ ∈ X∗ t¤i x ∈ X çng nh§t vîi t½ch trong hx∗, xi cõa hai v²ctì trong X. T÷ìng tü, gi¡ trà y∗ ∈ Y∗ t¤i y ∈ Y çng nh§t vîi t½ch trong hy∗, yi cõa hai v²ctì trong Y. °t h(x, y),(u, v)i = hx, ui+hy, vi vîi måi , ta câ mët t½ch trong thuëc . L÷u þ r¬ng
X ×Y l khæng gian Hilbert vîi chu©n k(x, y)k =
kxk2 + kyk21/2.
Ta gåi z ∈ K l h¼nh chi¸u metric cõa iºm x ∈ X l¶n mët tªp con lçi âng K ⊂ X v vi¸t z = PK(x) n¸u
kx−zk= inf{kx−uk : u ∈ K}.
H¼nh chi¸u metric z = PK(x) tçn t¤i v x¡c ành duy nh§t bði x
[11, Lemma 2.1, p.8]. Ngo i ra, z = PK(x) khi v ch¿ khi z ∈ K v hx−z, u−zi ≤ 0 vîi måi u ∈ K [11, Theorem 2.3, p.9]. Ta công câ
PK(·) : X → K l ¡nh x¤ khæng th¡c triºn [11, Corollary 2.4, p.10], ngh¾a l
kPK(x0)−PK(x)k ≤ kx0 −xk, ∀x0, x ∈ X.
Ta bi¸t r¬ng mët b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n ìn i»u m¤nh trong khæng gian Hilbert câ nghi»m duy nh§t. Thªt vªy, k¸t qu£ d÷îi ¥y d¨n ¸n ành lþ Lax-Milgram cì b£n ph¡t biºu r¬ng n¸u A : X → X l to¡n tû tuy¸n t½nh bà ch°n v n¸u tçn t¤i mët h¬ng sè α > 0 thäa m¢n hAx, xi ≥ αkxk2 vîi måi x ∈ X th¼ vîi måi u ∈ X ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh Ax = u câ duy nh§t mët nghi»m x = x(u) ∈ X.
ành lþ 2.23. ([11, Theorem 2.1, p.24]). Gi£ sû K ⊂ X l tªp con lçi âng kh¡c réng v F : K → X l to¡n tû ìn i»u m¤nh Lipschitz, ngh¾a l tçn t¤i c¡c h¬ng sè l > 0 v α > 0 sao cho
kF(x)−F(u)k ≤ lkx−uk, ∀x, u ∈ K,
Khi â b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n
T¼mx¯ ∈ Ksao chohF (¯x), x−x¯i ≥ 0, ∀x∈ K (2.9) câ nghi»m duy nh§t.
Chùng minh. N¸u K câ ½t nh§t hai th nh ph¦n, th¼ theo ¡nh gi¡ |hF(x)−F(u), x−ui| ≤ kF(x)−F(u)k kx−uk2
v (2.8) chóng ta câ thº kh¯ng ành r¬ng l ≥ α. Do â, khæng m§t t½nh têng qu¡t ta gi£ sû r¬ng l ≥ α. L§y b§t ký ρ ∈ 0, α
l2 i v ành ngh¾a ¡nh x¤ g : K →K bði g(x) = PK (x−ρF(x)). L÷u þ r¬ng kg(x)−g(u)k2 = kPK(x−ρF(x))−PK(u−ρF(u))k2 ≤ k(x−ρF(x))−(u−ρF(u))k2.
Thay v o (2.8) ta câ
k(x−ρF(x))−(u−ρF(u))k2 = kx−uk2 −2ρhF(x)−F(u), x−ui +ρ2kF(x)−F(u)k2 ≤ kx−uk2 −2ραkx−uk2 +ρ2l2kx−uk2 = 1 +ρ2l2 −2ραkx−uk2. Do â kg(x)−g(u)k2 ≤ 1 +ρ2l2 −2ραkx−uk2. (2.10) V¼ 0 < ρ2 ≤ ρα l2 n¶n ta câ ρ2l2 ≤ρα. Do vªy 1 +ρ2l2 −2ρα = (1−ρα) + ρ2l2 −ρα ≤1−ρα. (2.11)
V¼ ρα ≤ α
2
l2 ≤ 1 n¶n ta câ 0≤ 1−ρα <1. Tø (2.10) v (2.11) suy ra kg(x)−g(u)k ≤ p1−ραkx−uk ≤ βkx−uk,
trong â β := √
1−ρα ∈ [0,1). Theo nguy¶n lþ ¡nh x¤ co Banach, tçn t¤i duy nh§t mët iºm x¯ ∈ K thäa m¢n g(¯x) = ¯x. Tø b§t ¯ng thùc thù hai ta câ PK(¯x−ρF (¯x)) = ¯x. Sû döng t½nh ch§t cõa h¼nh chi¸u metric ÷ñc nhc l¤i ð tr¶n, ta câ thº vi¸t l¤i ¯ng thùc cuèi còng t÷ìng ÷ìng nh÷ sau
hF (¯x), u−x¯i ≥ 0, ∀u ∈ K.
i·u n y chùng tä r¬ng x¯ l nghi»m cõa (2.9). Chó þ r¬ng b§t ¯ng thùc thù hai thäa m¢n khi v ch¿ khi g(¯x) = ¯x, tø t½nh duy nh§t cõa iºm cè ành cõa g ta thu ÷ñc t½nh duy nh§t nghi»m cõa (2.9).
D÷îi ¥y l ph¡t biºu t÷ìng tü vîi ành lþ 2.23 èi vîi c¡c MVI ìn i»u m¤nh.
ành lþ 2.24. Gi£ sû K ⊂ X, L ⊂ Y l c¡c tªp con lçi âng kh¡c réng v F1 : K×L →X, F2 : K×L →Y thäa m¢n tçn t¤i c¡c h¬ng sè li > 0 (i = 1,2) sao cho
kFi(x, y)−Fi(u, v)k ≤ lik(x, y)−(u, v)k, ∀(x, y),(u, v) ∈ K×L;i = 1,2.
(2.12) N¸u b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n minimax (MVI) l ìn i»u m¤nh, th¼ nâ câ nghi»m duy nh§t (¯x,y¯) ∈ K ×L.
Chùng minh. X²t ¡nh x¤ G = (F1,−F2) : K ×L → X∗ × Y∗ v tø (2.12) ta ÷ñc
trong â l := pl12 +l22. V¼ (MVI) l ìn i»u m¤nh, n¶n tçn t¤i α > 0
sao cho (2.5) thäa m¢n. i·u n y ngh¾a l i·u ki»n (2.2) thäa m¢n èi vîi G. Düa v o (2.13) v (2.2), theo ành lþ 2.23 ta câ thº kh¯ng ành r¬ng (1.5) câ nghi»m duy nh§t (¯x,y¯) ∈ K×L. p döng M»nh · 1.7 ta
suy ra i·u ph£i chùng minh.
Nhc l¤i r¬ng h m ϕ : X →R ÷ñc gåi l lçi m¤nh tr¶n mët tªp hñp lçi K ⊂X n¸u tçn t¤i ρ > 0 sao cho
ϕ((1−t)x+tu) ≤ (1−t)ϕ(x) + tϕ(u)−ρt(1−t)kx−uk2,
∀x, u ∈ K;∀t ∈ (0,1).
Sè ρ ÷ñc gåi l h» sè lçi m¤nh cõa ϕ tr¶n K. N¸u −ϕ l lçi m¤nh tr¶n
K vîi mët h» sè lçi m¤nh ρ > 0, th¼ ϕ ÷ñc gåi l lãm m¤nh tr¶n K vîi h» sè lãm m¤nh ρ > 0. Ta bi¸t r¬ng, [18, Lemma 1, p.184], ϕ l lçi m¤nh tr¶nK vîi mët h» sè lçi m¤nhρn¸u v ch¿ n¸u h mϕ˜(x) := ϕ(x)−ρkxk2 l lçi tr¶n K. Hìn núa, n¸u ϕ l kh£ vi li¶n töc trong mët tªp mð chùa
K, th¼ t½nh lçi m¤nh n y thäa m¢n khi v ch¿ khi
h∇ϕ(x)− ∇ϕ(u), x−ui ≥ 2ρkx−uk2, ∀x, u ∈ K.
Ta câ thº tham kh£o chùng minh trong [18] vîi tr÷íng hñp X = Rn. º þ r¬ng ph÷ìng ph¡p chùng minh công ¡p döng èi vîi tr÷íng hñp X l khæng gian Hilbert b§t ký. (Câ thº tham kh£o [19, Propositions 4.3 and 4.10], ð â công gi£ sû X = Rn.)
ành lþ 2.24 cung c§p cho chóng ta k¸t qu£ d÷îi ¥y v· sü tçn t¤i v duy nh§t cõa iºm y¶n ngüa.
ành lþ 2.25. X²t b i to¡n minimax (1.1) v gi£ sû K ⊂ X, L ⊂ Y
l c¡c tªp con lçi âng kh¡c réng. N¸u tçn t¤i c¡c h¬ng sè α > 0 v
li > 0 (i = 1,2) sao cho c¡c i·u ki»n (2.5) v (2.12) thäa m¢n vîi
F1(u, v) := ∇xf(u, v) v F2(u, v) := ∇yf(u, v) th¼ b i to¡n (1.1) câ duy nh§t mët iºm y¶n ngüa (¯x,y¯) ∈ K ×L.
Chùng minh. Ta ch¿ c¦n ¡p döng ành lþ 2.24 v ành lþ 1.2, l÷u þ c¡c gi£ thi¸t suy ra r¬ng vîi b§t ký (x, y) ∈ K ×L, f(·, y) (t÷ìng ùng,
f(x,·)) l lçi m¤nh tr¶n K (t÷ìng ùng, lãm m¤nh tr¶n L) vîi h» sè lçi m¤nh α/2 (t÷ìng ùng, h» sè lãm m¤nh α/2).
K¸t hñp ành lþ 2.25 vîi ph¥n t½ch cõa V½ dö 2.9 v º þ r¬ng i·u ki»n Lipschitz (2.12) thäa m¢n èi vîi c¡c ¡nh x¤ gradient F1(u, v) :=
∇xf(u, v) v F2(u, v) := ∇yf(u, v) vîi l1 := kAk2 +kBk21/2 v l2 := kBk2 + kCk21/2,
ta thu ÷ñc k¸t qu£ d÷îi ¥y v· sü tçn t¤i nghi»m cõa b i to¡n minimax to n ph÷ìng.
ành lþ 2.26. X²t b i to¡n minimax (1.1) câ d¤ng nh÷ trong V½ dö 2.9. N¸u uTAu > 0 vîi måi u ∈ (spanK)\ {0} v vTCv > 0 vîi måi
v ∈ (spanL)\ {0} th¼ b i to¡n (1.1) câ duy nh§t mët iºm y¶n ngüa
Ch֓ng 3
p döng cho b i to¡n minimax câ tham sè
Ð hai ch÷ìng tr÷îc chóng ta th§y r¬ng MVI l mæ h¼nh t÷ìng tü nh÷ mæ h¼nh b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n quen thuëc, çng thíi l mët cæng cö húu hi»u º gi£i quy¸t c¡c b i to¡n minimax d¤ng
max
y∈L min
x∈Kf(x, y),
ð â K, L l c¡c tªp lçi, f :L ×K →R l mët h m lçi.
Trong ch÷ìng n y, chóng ta sû döng MVI º nghi¶n cùu b i to¡n minimax câ tham sè, cö thº l nghi¶n cùu t½nh Lipschitz cõa tªp iºm y¶n ngüa trong c¡c b i to¡n minimax câ tham sè.