2 Điều kiện tối ưu
2.4 Các quy tắc nhân tử Lagrange
Trong phần này, ta giả sử f : Rn → Rp, thứ tự trong Rp được trang bị bởi nĩn lồi đĩng nhọn cĩ phần trong khơng rỗng và tập chấp nhận được M được cho bởi
M = {x ∈ Rn : g(x) ∈ K, h(x) = 0},
trong đĩ g : Rn → Rm, h = (h1, . . . , hr) : Rn → Rr, và K là tập lồi với phần trong khơng rỗng trong Rm.
Ta kí hiệu
H = h−1(0) = {x ∈ Rn : h(x) = 0}, G = g−1(K) = {x ∈ Rn :g(x) ∈ K},
và
G0 = {x ∈ Rn : g(x) ∈ intK}.
Như vậy, M = G∩H. Ta kí hiệu K+ là nĩn cực dương của K, tức
là
K+ = {µ ∈ Rm : hµ, zi ≥ 0, ∀z ∈ K}
và N (K, z0) = −T(K, z0)+ là nĩn pháp tuyến của K tại z0.
Trong Định lý 2.4.1 dưới đây, các điều kiện cần tối ưu được phát biểu dưới dạng các quy tắc nhân tử Lagrange, và ở Định lý 2.4.2, các điều kiện đủ tối ưu chỉ khác các điều kiện cần ở chỗ thay thế các bất đẳng thức bằng các bất đẳng thức chặt.
Bổ đề 2.4.1.
Giả sử g vững tại x0 ∈ G, v ∈ Rm, và giả sử rằng
∂∗f (x0)v∩ IT (K, g(x0)) 6= ∅.
Khi đĩ, v ∈ ITs(G0, x0).
Chứng minh.
Lấy z ∈ ∂∗g(x0)v ∩IT (K, g(x0)). Khi đĩ,
tồn tại (tn, vn) →(0+, v) sao cho
Giả sử v0n là một dãy hội tụ đến v. Vì g vững tại x0, theo Bổ đề 2.2.1, (g(x0 +tnv0n)−g(x0))/tn → z. Vì z ∈ IT (K, g(x0)) = IT (intK, g(x0)),∀(sn, zn) → 0+, z, ta cĩ g(x0) +snzn ∈ intK. Chọn zn = (g(x0 +tnv0n)−g(x0))/tn và sn = tn, ta nhận được g(x0) + tng(x0 + tnv 0 n)−g(x0) tn = g(x0 +tnv 0 n) ∈ intK. Do đĩ, x0 +tnv0n ∈ G0, và v ∈ ITs(G0, x0). Bổ đề 2.4.2.
Giả sử g vững tại x0 ∈ M và h liên tục trong một lân cận của
x0 và khả vi Frechet tại x0 với ∇h1(x0), . . . ,∇hr(x0) độc lập tuyến tính. Nếu v ∈ Ker∇h(x0) và ∂∗g(x0)v ∩IT (K, g(x0)) 6= ∅, thì v ∈ T (G∩H, x0). Chứng minh. Theo [[4], Định lý 5.3.3], Ker∇h(x0) = A(H, x0). Theo Bổ đề 2.4.1 v ∈ ITs(G0, x0) và do ITs(G0, x0)∩A(H, x0) ⊂T (G0 ∩H, x0),
ta suy ra điều phải chứng minh. Bổ đề 2.4.3.
của x0 và khả vi Frechet tại x0 với ∇h1(x0), . . . ,∇hr(x0) độc lập tuyến tính. Nếu x0 ∈ LWM in(f, M), thì ∀v ∈ Ker∇h(x0) và ∀(y, z) ∈ ∂∗(f, g) (x0), ta cĩ (y, z) ∈/ (−intD)×IT (K, g(x0)). Chứng minh.
Giả sử ∃(y, z) ∈ [(−intD)×IT (K, g(x0))]∩∂∗(f, g) (x0)v
với v nào đĩ v ∈ Ker∇h(x0).
Nếu ta định nghĩa fe(x) = f (x)−f (x0), thì rõ ràng là IT (−D, f(x0)) = −intD, và IT (−D)×K,fe(x0), g(x0) = (−intD)×IT (K, g(x0)). Hơn nữa, ∂∗f , ge (x0)v = ∂∗(f, g) (x0)v. Theo Bổ đề 2.4.2, v ∈ T (F0 ∩G0 ∩H, x0), trong đĩ F0 = nx ∈ Rn : fe(x) ∈ −intDo = {x ∈ Rn : f (x)−f (x0) ∈ −intD}.
Điều này cho ta một mâu thuẫn, bởi vìx0 ∈ LWM in(f, M)nghĩa là F0 ∩M ∩ U = ∅ với lân cận U nào đĩ của x0 và
T (F0 ∩ M, x0) =T (F0 ∩M ∩ U, x0) = ∅ do đĩ T (F0 ∩G0 ∩ H, x0) = ∅ vì T (F0 ∩G0 ∩H, x0) ⊂ T (F0 ∩G∩H, x0). Định lý 2.4.1.
Với giả thiết của Bổ đề 2.4.3, nếu x0 ∈ LWM in(f, M) thì
∀v ∈ Ker∇h(x0) và ∀(y, z) ∈ ∂∗(f, g) (x0)v, tồn tại (λ, µ) RpìRm, (, à) 6= 0 sao cho
h, yi+ hà, zi ≥ 0 (2.15) Định lý này là hệ quả trực tiếp của Bổ đề 2.4.3 và định lý tách các tập lồi, bởi vì tập hợp (−intD) ×IT (K, g(x0)) lồi do intD và
IT (K, g(x0)) = int cone(K −g(x0)) là các tập hợp lồi. Chú ý rằng nếu K là một nĩn lồi thì
µ ∈ N (K, g(x0)) ⇔µ ∈ −K+ và hµ, g(x0)i = 0.
Định lý 2.4.2.
Giả sử f và g ổn định tại x0 ∈ M và h là vi phân Frechet tại x0. Nếu với mọi v ∈ Ker∇h(x0)\ {0} và ∀(y, z) ∈ ∂∗(f, g) (x0)v,
tồn tại (λ, µ) ∈ Rp×Rm thỏa mãn (2.14) và
hλ, yi +hµ, zi > 0, (2.16)
thì x0 ∈ Strl(1, f, M).
Chứng minh.
Như trong chứng minh Định lý 2.3.2, giả sử rằng x0 ∈/ Strl(1, f, M). Khi đĩ, tồn tại một dãy xn ∈ M ∩
B(x0,1/n)\ {x0} và dn ∈ D thỏa mãn (2.8) và (2.10). Do (f, g)
ổn định tại x0, ta cĩ thể giả sử rằng (ta chọn dãy con nếu cần thiết)
lim
n→∞
(f, g) (x0 +tnvn)−(f, g) (x0)
tn = (y, z) ∈ ∂∗(f, g) (x0)v (2.17) Vì v ∈ T (M, x0) ⊂ Kerh(x0), theo gi thit tn ti
(, à) RpìRm tha mãn (2.14) và (2.16). Từ (2.17) suy ra (f (xn)−f (x0))/tn →y. Do (2.10) ta cĩ y ∈ −D. Từ (2.17) ta suy ra (g(xn)−g(x0)/tn) →z. Do đĩ, z ∈ cl cone(K −g(x0)) = T (K, g(x0)). Vì vậy, từ (2.14) ta suy ra hλ, yi+ hµ, zi ≤ 0.
Kết luận
Luận văn đã trình bày lý thuyết đạo hàm tiếp liên cho các hàm ổn định và các điều kiện tối ưu cho bài tốn tối ưu đa mục tiêu với hàm ổn định và hàm vững dưới ngơn ngữ đạo hàm tiếp liên.
Các nội dung được trình bày trong luận văn như sau: - Hàm ổn dịnh và một số tính chất;
- Đạo hàm tiếp liên của hàm ổn định; - Quy tắc đạo hàm tiếp liên của hàm hợp; - Đạo hàm tiếp liên của tổng hai hàm; - Đạo hàm tiếp liên của tích hai hàm; - Đạo hàm tiếp liên của thương hai hàm; - Đạo hàm tiếp liên của max hữu hạn hàm; - Hàm vững và một số tích chất;
- Đạo hàm tiếp liên của hàm vững;
- Điều kiện tối ưu cho bài tốn tối ưu tổng quát;
- Quy tắc nhân tử Lagrange cho bài tốn tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc nĩn, ràng buộc đẳng thức trong khơng gian hữu hạn chiều.
Lý thuyết các điều kiện tối ưu cho các bài tốn tối ưu vectơ với các hàm ổn định dưới ngơn ngữ đạo hàm tiếp liên là vấn đề thời sự đã và đang được nhiều tác giả trong và ngồi nước quan tâm nghiên cứu.
Tài liệu tham khảo Tài liệu Tiếng Việt
[1] Đỗ Văn Lưu (1999), Giải tích Lipschitz, NXB Khoa học và Kỹ
thuật.
[2] Đỗ Văn Lưu và Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, NXB
Khoa học và Kỹ thuật.
Tài liệu Tiếng Anh
[3] F. H. Clarke (1983), Optimization and Nonsmooth Analysis,
John Wiley and Sons, New York.
[4] M. R. Hestenes(1981),Optimization Theory. The Finite Dimen- sional Case, Robert E. Krieger Publishing Company. New York. [5] B. Jimenez(2002), Strict efficiency in vector optimization, J.
Math. Anal. Appl. 265(2) , pp.264-284.
[6] B.Jimenez and V.Novo (2008),First order optimality condition
in vector optimization invalving stable functions, Optimization
449 - 471.
[7] B.Jimenez and V.Novo(2003), First and second order sufficient conditions for Strict minimality in nonsmooth vectơ optimiza- tion, J.Math. Anal.Appl. 284(2), 496 - 510.
[8] D. T. Luc. (1991),Contingent derivatives of set-valued maps and
applications to vector optimization, Math. Program. 50 . pp. 99- 111.
[9] P. Michel and J. P. Penot (1992), A generalized derivative for calm and stable functions, Diff. Integ. Eq. 5(2) , pp. 433- 454. [10] R. T. Rockafellar and R. J. Wets.(1998) Variational Analysis,