2 Điều kiện tối ưu
2.3Các điều kiện tối ưu
Trong phần này chúng ta trình bày các điều kiện cần và đủ tối ưu cho bài tốn tối ưu vectơ
(P) : min{f (x) : x ∈ M}
trong đĩ f :X →Y, X và Y là các khơng gian định chuẩn,M ⊂ X,
Y được trang bị thứ tự bởi nĩn lồi D ⊂ Y.
Điểm x0 ∈ M là cực tiểu địa phương (cực tiểu địa phương yếu) của bài tốn (P), ký hiệu x0 ∈ LM in(f, M)
(tương ứng x0 ∈ LWM in(f, M)), nếu tồn tại một lân cận U của x0
sao cho
(f (M ∩U)−f (x0))∩(−D) = {0}
tương ứng (f (M ∩U)−f (x0))∩(−intD) = ∅ .
Nếu Y = R và D = R+ thì cả hai trường hợp này đều cho ta khái niệm cực tiểu địa phương thơng thường.
Định lý 2.3.1.
Xét bài tốn (P):
và giả sử rằng f : X →Y vững tại x0 ∈ M ⊂X. Nếu x0 ∈ LWM in(f, M) thì
∂∗f (x0)v ⊂ (−intD)c,∀v ∈ A(M, x0).
Chứng minh.
Giả sử rằng tồn tại y ∈ ∂∗f (x0)v ∩ −intD, v ∈ A(M, x0). Khi
đĩ, từ định nghĩa của ∂∗f (x0)v, tồn tại (tn, vn) → (0+, v) sao cho
lim n→∞(f (x0 +tnvn)−f (x0))/tn = y. Vì v ∈ A(M, x0),∃v0n → v thỏa mãn x0 +tnv0n ∈ M. Vì f vững tại (x0, v), từ Bổ đề 2.2.1 suy ra lim n→∞(f (x0 +tnv0n)−f (x0))/tn = y. Vì y ∈ −intD, với n đủ lớn ta cĩ (f (x0 +tnv0n)−f (x0))/tn ∈ −intD.
Điều này tương đương với f (x0 +tnv0n) − f (x0) ∈ −intD. Nhưng điều này mâu thuẫn với x0 là một cực tiểu yếu địa phương.
Từ Định lí 2.3.1 ta nhận được các hệ quả sau. Hệ quả 2.3.1.
Giả sử f vững tại x0 và x0 ∈ intD. Nếu x0 ∈ LW M in(f, M) thì
∂∗f (x0)v ⊂ (−intD)c, ∀v ∈ X.
Hệ quả 2.3.2.
Giả sử f khả vi Hadamard tại x0. Nếu x0 ∈ LW M in(f, M) thì
df (x0, v) ∈ (−intD)c, ∀v ∈ A(M, x0).
Hệ quả 2.3.3.
Nếu f : Rn →Rp là hàm Lipschitz địa phương tại x0 và
x0 ∈ LW M in(f, M) thì
Hệ quả này suy ra từ Mệnh đề 2.1.1 và Định lý 2.3.1. Hệ quả 2.3.4.
Nếu f : Rn →Rp hàm Lipschitz địa phương tại x0, x0 ∈ intM
và x0 ∈ LW M in(f, M), thì
∂f (x0)v ∩(−intD)c 6= ∅,∀v ∈ Rn.
Rõ ràng là Hệ quả 2.3.1 tốt hơn Hệ quả 2.3.4 chẳng hạn,
f : R2 →R được cho bởi
f (x1, x2) = |x1| − |x2|, M = R2 và x0 = (0,0).
Ta cĩ ∂f (x0) = co{(1,1),(−1,1),(1,−1),(−1,−1)} và
∂∗f (x0)v = {|v1| − |v2|}. Rõ ràng x0 thỏa mãn các điều kiện của Hệ quả 2.3.4 nhưng khơng thỏa mãn điều kiện của Hệ quả 2.3.1.
Ví dụ sau đây chỉ ra rằng trong Định lí 2.3.1 ta khơng thể thay
A(M, x0) bằng T (M, x0).
Ví dụ 2.3.1
Giả sử f : R → R là một hàm của Ví dụ 1.2.1(a) và (sn) là dãy được xác định ở đĩ.
Giả sử g :R →R được xác định bởi g(x) = f (x)−x/3, và M = {sn ∈ R :n ∈ N} ∪ {0}.
Hiển nhiên x0 = 0 là một cực tiểu yếu địa phương của g trên M,
g vững tại x0(vì f là một hàm Lipschitz).
A(M, x0) ={0}, T (M, x0) = R+,
và
∂∗g(x0)v = dg(x0, v), dg(x0, v)= [−v/3,0].
Vì vậy, điều kiện ∂∗g(x0)v ⊂ (−intD)c = [0,∞), ∀v ∈ T (M, x0)
khơng thỏa mãn. Nhận xét 2.3.1.
để cĩ được
∂∗f (x0)v ⊂ (−intD)c, ∀v ∈ T (M, x0).
Hiển nhiên, A(M, x0) = T (M, x0) (M là khả dẫn xuất tại x0). Một điều kiện khác là, f là khả dẫn xuất đồ thị tại x0.
Thật vậy, nếu ∂∗f (x0)v 6= ∅ với v nào đĩ ∈ T (M, x0), thì df (x0, v)
tồn tại theo Mệnh đề 2.2.5.
Do đĩ, ∂∗f (x0)v = {df (x0, v)} theo Mệnh đề 1.1.3, và df (x0, v) ∈ −intD./
Trong khơng gian hữu hạn chiều, ta cĩ thể xét điều kiện cần và đủ tối ưu.
Xét bài tốn tối ưu vectơ (P), khái niệm cực tiểu Pareto địa
phương chặt cấp m đã đưa vào trong [[5], Định nghĩa 3.1]. Định nghĩa 2.3.1.
Giả sử m ≥ 1 là một số nguyên. Điểm x0 ∈ M được gọi là cực tiểu Pareto địa phương chặt cấp m của bài tốn (P), ký hiệu là x0 ∈ Strl(m, f, M), nếu tồn tại α >0 và miền U của x0 sao cho
(f (x) +D)∩B(f (x0), αkx−x0km) = φ,∀x∈ M ∩U\ {x0}.
Chú ý rằng mọi cực tiểu Pareto địa phương chặt cấp mcũng là cấp
j với mọi j ≥ m, và mọi cực tiểu Pareto địa phương chặt cấp m cũng là một cực tiểu địa phương, tức là Strl(m, f, M) ⊂ LM in(f, M).
Khái niệm này mở rộng khái niệm cực tiểu địa phương chặt cấp m
thơng thường trong tối ưu vơ hướng. Định lý 2.3.2.
Giả sử X và Y hữu hạn chiều và f :X →Y ổn định tại
x0 ∈ M ⊂ X. Nếu ∀v ∈ T (M, x0)\ {0} và ∀y ∈ ∂∗f (x0)v
ta cĩ y /∈ −D (tức là ∂∗f (x0)v ⊂ (−D)c, thì x0 ∈ Strl(1, f, M)).
Chứng minh.
một dãy xn ∈ M ∩B(x0,1/n)\ {x0} và dn ∈ D sao cho
f (xn)−f (x0) +dn = bn ∈ B(0, tn/n), (2.8) trong đĩ tn = kxn −x0k → 0+. Ta cĩ thể giả sử rằng tồn tại dãy con của (xn), mà ta vẫn kí hiệu là (xn), sao cho
vn := xn −x0 tn → v ∈ T (M, x0), với kvk= 1. (2.9) Vì xn = x0 + tnvn từ (2.8) ta cĩ f (x0 + tnvn)−f (x0) tn = −dn tn + bn tn. (2.10)
Vì f ổn định tại x0, nên dãy yn = (f (x0 +tnvn)−f (x0))/tn bị chặn và cĩ một dãy con hội tụ ta vẫn kí hiệu như dãy ban đầu, tức là
(f (x0 +tnvn)−f (x0))/tn →y, với y nào đĩ ∈ Y.
Theo định nghĩa y ∈ ∂∗f (x0)v, và bởi vì v ∈ T (M, x0)theo (2.9) từ giả thiết ta cĩ y /∈ −D. Lấy một giới hạn trong (2.10),
vì t−1n bn → 0 ta suy ra y = lim
n→∞−t−1n dn ∈ −D bởi vì D là một nĩn đĩng và ta nhận được một mâu thuẫn.
Hệ quả 2.3.5.
Giả sử f : Rn →Rp là hàm Lipschitz địa phương tại x0. Nếu ∂f(x0)v ⊂ (−D)c, ∀v ∈ T (M, x0)\ {0},
thì x0 ∈ Strl(1, f, M).
Hệ quả 2.3.6.
Giả sử f : Rn →Rp là khả vi Hadamard tại x0. Nếu
df (x0, v) ∈ (−D)c, ∀v ∈ T (M, x0)\ {0},
thì x0 ∈ Strl(1, f, M).
Hệ quả 2.3.7.
Giả sử f : Rn →Rp ổn định tại x0 và x0 ∈ intM. Nếu
∂∗f (x0)v ⊂ (−D)c, ∀v ∈ Rn\ {0},
Hệ quả 2.3.8.
Xét bài tốn min{f (x) : x ∈ M} với X = Rn, Y = Rp
và D = Rp+. Nếu f = (f1, f2, . . . , fp) : Rn → Rp
ổn định tại x0 ∈ M ⊂ Rn và
∀v ∈ T (M, x0)\ {0} ∃i ∈ {1,2, . . . , p} sao cho dfi(x0, v) > 0,
thì x0 là cực tiểu Pareto địa phương chặt cấp 1.
Định lý 2.3.3.
Giả sử f : X → Y vững tại x0. Nếu x0 ∈ Strl(1, f, M), thì ∂∗f (x0)v ⊂(−D)c, ∀v ∈ A(M, x0)\ {0}.
Chứng minh.
Giả sử ∃v ∈ A(M, x0)\ {0} và y ∈ ∂∗f (x0)v ∩(−D). Theo định
nghĩa ∂∗f (x0)v sẽ tồn tại (tn, vn) →(0+, v) sao cho
(f (x0 +tnvn)−f (x0))/tn →y.
Khi v ∈ A(M, x0), tồn tại v0n → v sao cho
x0n := x0 +tnv0n ∈ M, ∀v ∈ N Bởi vì Bổ đề 2.2.1 ta cĩ lim n→∞ f (x0 +tnv0n)−f (x0) tn = y ∈ −D. (2.11) Theo giả thiết, ∃α > 0 và lân cận U của x0 sao cho
(f (x) +D)∩B(f (x0), αkx−x0k) =∅, ∀x ∈ M∩U\ {x0}. (2.12) Do kx0n −x0k/tn → kvk 6= 0, ta cĩ n0 ∈ N sao cho kvktn/ x00 −x0 ≤2, ∀n ≥ n0. (2.13) Từ (2.11), với β := αkvktn/2, tồn tại n1 ∈ N, sao cho
f (x0 + tnv0n)−f (x0)
Do đĩ, theo (2.13) ta cĩ βtn = αkvktn/2≤ αkx00 −x0k. Vì vậy,
f (x0 +tnv0n)−tny ∈ f (x0) +B(0, βtn)
⊂B(f (x0)αkx00 −x0k),∀n ≥ max{n0, n1}.
Điều này mâu thuẫn với (2.12), bởi vì x0n = x0+tnv0n ∈ M ∩U\ {0} và −tny ∈ D.
Hệ quả 2.3.9.
Giả sử f : Rn →Rp vững tại x0, và giả sử M khả dẫn xuất tại x0, hoặcf là khả dẫn xuất đồ thị tại x0. Khi đĩ,
x0 ∈ Strl(1, f, M) ⇔∂∗f (x0)v ⊂ (−D)c, ∀v ∈ T (M, x0)\ {0}.
Chứng minh.
Giả sử f vững tại x0. Khi đĩ, chiều “⇐” suy ra từ Định lý 2.3.2, và chiều “⇒” suy ra từ Định lý 2.3.3 khi M khả dẫn xuất, tức là khi
T (M, x0) =A(M, x0).
Giả sử f là khả dẫn xuất đồ thị tại x0 và y ∈ ∂∗f (x0)v ∩ (−D) với
v ∈ T (M, x0)\ {0}. Khi đĩ, Hệ quả 2.2.2 chỉ ra rằng
y = df (x0, v) ∈ −D. Nhưng x0 ∈ Strl(1, f, M) kéo theo
T (M, x0)∩ {u ∈ Rn :df (x0, u) ∈ −D} = {0},
theo [[7] Định lý 4.1]. Do đĩ, v = 0 và ta nhận được một mâu thuẫn.
Chú ý rằng ta chỉ cần f là khả dẫn xuất đồ thị tại x0 theo phương
v ∈ T (M, x0)\A(M, x0)
Hệ quả này mở rộng [Định lý 4.1 [7]] trong khơng gian hữu hạn chiều, trong đĩ giả sử f là khả vi Hadamard.