Chương 2 Thống kê mô tả và ước lượng tham số
2.6. Ước lượng khoảng tỉ lệ
Nếu {x1, x2, ..., xn} là một mẫu số liệu của biến ngẫu nhiên X ∼ Ber(p) với p
chưa biết thì với độ tin cậy 1−α, ước lượng khoảng của p là
f −zα/2 r f(1−f) n < p < f−zα/2 r f(1−f) n , trong đó f = x1+x2+...+xn n = k n, zα/2 tra ở Bảng I.
Ước lượng trên tốt nhất khi kích thước mẫu n phải lớn, k ≥10và n−k≥10.
Ví dụ 2.16. Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng tỷ lệ phế phẩm của một nhà máy biết rằng kiểm tra 100 sản phẩm của nhà máy thì thấy có 10 phế phẩm.
Giải. k = 10 n = 100 α= 0,05 ⇒ f = 0,1 zα/2 =z(0,025) = 1,96 =zα/2 r f(1−f) n = 1,96 r 0,1.0,9 100 = 0,059.
Ước lượng khoảng tỉ lệ phế phẩm của nhà máy là 0,041 < p <0,159.
Chú ý 2.17. Ước lượng khoảng tỉ lệ thực chất là ước lượng kì vọng của biến ngẫu nhiên X ∼ Ber(p) với cỡ mẫu lớn (áp dụng Định lí giới hạn trung tâm). Trong đó x=f = k n, s=pf(1−f). THỰC HÀNH SỬ DỤNG EXCEL 2010 A. Vẽ biểu đồ 1. Pie chart Giả sử ta có số liệu
1. Chọn vùng A1-B9
2. Vào Insert chọn Pie sau đó chọn dạng biểu đồ
Giáo trình thống kê thực hành
2. Histogram
Ví dụ 2.18. Vẽ biểu đồ histogram ở Ví dụ 2.5.
Giả sử nhập số liệu "Số màn" vào cột A (A1 đến A28) và "Số game thủ" vào cột B (B1 đến B28). Chú ý các số ở cột A phải thêm dấu ’ lên trước chữ số, ví dụ ’1.
- Chọn toàn bộ vùng số liệu A1:B27
- Vào Insert -> Column -> Chọn loại biểu đồ thứ nhất của 2D column
- Điều chỉnh độ rộng của các cột: Click vào Biểu đồ -> Nháy phải chuột và chọn Format Data Series. Ở Series Opption, điều chỉnh Separated và No Gap cho phù hợp.
Ví dụ 2.19. Vẽ biểu đồ histogram ở Ví dụ 2.7.
Giả sử nhập số liệu vào cột A.
- Vào File -> Opptions -> Add-Ins, chọn Analysis ToolPak -> Go. Tiếp theo chọn "Analysis ToolPak" ->OK
- Vào Data -> Data Analysis -> Histogram -> OK. Input Range: A1:A80 Output Range: C1
->OK Kết quả:
– Chọn toàn bộ vùng số liệu C2:D10
- Vào Insert -> Column -> Chọn loại biểu đồ thứ nhất của 2D column Kết quả
3. Bar chart
Giả sử ta có số liệu
Giáo trình thống kê thực hành
2. Vào Insert chọn Bar sau đó chọn dạng biểu đồ
B. Ước lượng tham số
Công thức hàm trong Excel
Trung bình mẫu (x) =AVERAGE(number1,number2,...)
Độ lệch chuẩn mẫu (s) =STDEV(number1,number2,...)
Trung vị MEDIAN(number1,number2,...) zγ√s n =CONFIDENCE.NORM(γ, s, n) tγ,n−1√s n =CONFIDENCE.T(γ, s, n) Ví dụ 2.20. Thực hành trên Excel Ví dụ 2.12.
Giả sử số liệu được nhập vào các ơ từ A1 đến A59. - Tính trung bình mẫu vào ơ B1: =AVERAGE(A1:A59) - Tính độ lệch chuẩn mẫu vào ơ B2: =STDEV(A1:A59) - Tính ε=zα/2√s
n vào ơ B3: =CONFIDENCE.NORM(0.025,B2,59)
- Lấy B1-B3 và B1+B3 ta được cận dưới và cận trên của ước lượng.
Ví dụ 2.21. Thực hành trên Excel Ví dụ 2.15.
Bước 1: vẽ biểu đồ xác suất chuẩn để kiểm tra phân phối chuẩn của tổng thể. - Nhập số liệu vào cột A, từ A1 đến A22
- Sắp xếp số liệu theo thứ tự tăng dần - Nhập từ 1 đến 22 vào ô C1 đến C22
- Tính (j−0.5)/n vào cột D (từ D1 đến D22): =(Cj-0.5)/22 - Tính zj = Φ−1(j−0,5
n ) vào cột B (từ B1 đến B22): =NORMSINV(Dj)
- Bôi đen từ A1 đến B22, Vào Insert -> Scatter...
Giáo trình thống kê thực hành
Bước 2: Tìm ước lượng khoảng
- Tính trung bình mẫu vào ơ E1: =AVERAGE(A1:A22) - Tính độ lệch chuẩn mẫu vào ơ E2: =STDEV(A1:A22) - Tính ε=tα/2,n−1√s
n vào ơ E3: =CONFIDENCE.T(0.025,E2,22)
- Lấy E1-E3 và E1+E3 ta được cận dưới và cận trên của ước lượng.
BÀI TẬP
. 2.1. Giải thích những cái sau đây, cái nào là tổng thể, cái nào là mẫu. a) Điểm môn thống kê thực hành của tất cả các sinh viên của một lớp. b) Thu nhập năm của 100 hộ nông dân vùng đồng bằng sông Hồng.
c) Lương tháng của tất cả cơng nhân thuộc cơng ty.
d) Số máy tính bán ra trong một tháng của tất cả cửa hàng máy tính trong thành phố.
e) Sản lượng lúa trung bình trên một mẫu của 10 vùng nơng nghiệp lớn.
. 2.2. Bảng sau trình bày phân phối tần số của tuổi của tất cả 50 nhân viên của một công ty.
Tuổi Số nhân viên
18 đến 30 12
31 đến 43 19
44 đến 56 14
a) Vẽ biểu đồ Pie chart, Histogram.
b) Tính trung bình mẫu, phương sai mẫu và độ lệch chuẩn mẫu.
. 2.3. Bảng phân phối tần số huyết áp tối đa của 199 bệnh nhân như sau:
Huyết áp Số bệnh nhân 85-95 6 95-105 20 105-115 27 115-125 48 125-135 34 135-145 36 145-155 17 155-165 5 165-175 6 a) Vẽ biểu đồ histogram.
b) Tìm trung bình mẫu , phương sai mẫu, trung vị mẫu.
. 2.4. Có số liệu về tuổi thọ (giờ) của 1 mẫu ngẫu nhiên gồm 30 bóng đèn được sản xuất trong 1 ca làm việc tại 1 phân xưởng như sau:
800 820 810 815 800 820
830 830 825 820 830 835
820 815 830 825 835 820
815 820 840 840 810 815
840 810 810 830 800 800
a) Vẽ biểu đồ hình trịn, biểu đồ phân phối tần số,biểu đồ xác suất chuẩn. b) Tìm trung bình mẫu , phương sai mẫu, trung vị mẫu.
. 2.5. Có tài liệu về lượng nước tiêu thụ (m3/tháng) của 100 hộ gia đình tại huyện X như sau:
Lượng nước tiêu thụ (m3/tháng) Tần số
[0; 25) 12
[25; 50) 33
[50; 75) 40
[75; 100) 10
Giáo trình thống kê thực hành a) Tính trung bình mẫu và phương sai mẫu.
b) Vẽ biểu đồ phân phối tần số. Từ biểu đồ có thể xem số liệu có phân phối chuẩn khơng?
.2.6. Để nghiên cứu tình hình năng suất lao động của cơng nhân tại 1 xí nghiệp, người ta chọn ngẫu nhiên 1 mẫu 100 cơng nhân và thu được kết quả như sau:
Năng suất lao động (số sp) Số công nhân
[20; 30) 28 [30; 40) 36 [40; 50) 20 [50; 60) 10 [60; 70) 6 Yêu cầu:
a) Tính số trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn ? b) Vẽ biểu đồ phân phối tần số số liệu trên.
. 2.7. Công ty bao bì Hải Pack đang nhập lơ hàng 20.000 bao hạt nhựa của một nhà cung cấp quen. Dữ liệu quá khứ cho thấy khối lượng của các bao hạt nhựa này tuân theo luật phân phối chuẩn với phương sai 36(kg2). Chọn ngẫu nhiên 25 bao hạt nhựa để cân thu được giá trị trung bình là 96 Kg/bao Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng khoảng tin cậy đối xứng khối lượng trung bình của 20.000 bao hạt nhựa này.
. 2.8. Doanh số của một cửa hàng là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn là 2 triệu đồng/tháng. Điều tra ngẫu nhiên doanh số của 600 cửa hàng có quy mơ tương tự nhau tìm được doanh số trung bình là 8,5 triệu. Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng doanh số trung bình của các cửa hàng thuộc quy mơ đó.
. 2.9. Cho một ơ tơ chạy thử 30 lần từ A đến B người ta ghi nhận được lượng xăng hao phí như sau:
Lượng xăng hao phí (lít) Tần số
[9,6; 9,8) 3
[9,8; 10,0) 5
[10,0; 10,2) 10
[10,2; 10,4) 8
a) Vẽ biểu đồ phân phối tần số, nhận xét phân bố chuẩn của tổng thể.
b) Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng khoảng lượng xăng hao phí trung bình từ A đến B của loại ô tô trên.
. 2.10. Để định mức thời gian gia công một chi tiết máy, người ta theo dõi ngẫu nhiên q trình gia cơng 25 chi tiết và thu được số liệu sau:
Thời gian gia công (phút) Tần số
[15; 17) 1 [17; 19) 3 [19; 21) 4 [21; 23) 12 [23; 25) 3 [25; 27) 2
a) Vẽ biểu đồ phân phối tần số, nhận xét phân bố chuẩn của tổng thể.
b) Bằng khoảng tin cậy đối xứng hãy ước lượng khoảng thời gian gia cơng trung bình một chi tiếu máy với độ tin cậy 1−α= 0,95.
. 2.11. Lấy ngẫu nhiên 25 chi tiết do máy đó gia cơng, đem đo và thu được chiều dài (cm) như sau:
24,1 27,2 26,7 23,6 26,4
25,8 27,3 23,2 26,9 27,1
22,7 26,9 24,8 24,0 23,4
24,5 26,1 25,9 25,4 22,9
26,4 25,4 23,3 23,0 24,3
a) Vẽ biểu đồ xác suất chuẩn. Nhận xét phân bố chuẩn của tổng thể.
b) Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng chiều dài trung bình chi tiết do máy đó gia cơng.
. 2.12. Để nghiên cứu về ơ nhiễm thủy ngân trong một lồi cá sống trong hồ, một mẫu 53 con cá đã được lựa chọn từ hồ, kết quả nồng độ thủy ngân được như sau (đơn vị: 10−4%)
1,23 0,49, 0,49 1,08 0,59 0,28 0,18 0,10 0,94
1,33 0,19 1,16 0,98 0,34 0,34 0,19 0,21 0,40
0,04 0,83 0,05 0,63 0,34 0,75 0,04 0,86 0,43
Giáo trình thống kê thực hành
1,20 0,71 0,19 0,41 0,50 0,56 1,10 0,65 0,27
0,27 0,50 0,77 0,73 0,34 0,17 0,16 0,27
Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng khoảng nồng độ thủy ngân trung bình có trong lồi cá trên.
. 2.13. Hãy ước lượng tỷ lệ chính phẩm của một nhà máy bằng khoảng tin cậy đối xứng với độ tin cậy 0,95 biết rằng kiểm tra 100 sản phẩm của nhà máy thì thấy có 10 phế phẩm.
. 2.14. Mở 200 hộp của một kho đồ hộp, người ta thấy có 28 hộp bị biến chất. Với độ tin cậy 0,95, bằng khoảng tin cậy đối xứng, hãy ước lượng tỷ lệ đồ hộp biến chất ở trong kho.
. 2.15. Trong đợt vận động bầu cử tổng thống người ta phỏng vấn ngẫu nhiên 1600 cử tri thì được biết 960 người trong số đó sẽ bỏ phiếu cho ứng cử viên A. Với độ tin cậy 90%, ứng cử viên A sẽ chiếm được tỷ lệ phiếu bầu trong khoảng nào?