Chương 3 Kiểm định giả thuyết
3.2. Kiểm định kì vọng của phân phối chuẩn
3.2.1. Đã biết phương sai
Giả sửX là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩnN(µ;σ2)với kì vọngE(X) = µ
Giáo trình thống kê thực hành P-giá trị H0 :µ=µ0 H1 :µ > µ0 1−Φ(|υ|) H0 :µ=µ0 H1 :µ < µ0 1−Φ(|υ|) H0 :µ=µ0 H1 :µ6=µ0 2(1−Φ(|υ|)) Trong đó υ = (x−µ0)√ n σ .
Ví dụ 3.3. Từ một tổng thể có phân phối chuẩn với kì vọngµ chưa biết và độ lệch chuẩn σ = 5,2 người ta lấy ra một mẫu số liệu kính thước n = 100 và tính được trung bình mẫu x = 27,56. Với mức ý nghĩa α = 0,05 hãy kiểm định giả thuyết
H0:µ= 26 với đối thuyết
H1:µ6= 26 Giải. υ = x−µ0 σ √ n = 3 P-giá trị= 2(1−Φ(3)) = 0,003< α nên bác bỏ H0.
Ví dụ 3.4. Chiều cao của bé trai 3 tuổi ở Việt Nam là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với chiều cao trung bình 96 (cm) và độ lệch chuẩn 12(cm). Ở thành phố A người ta chọn ngẫu nhiên 25 bé trai và tính được chiều cao trung bình là 100 (cm). Với mức ý nghĩa 5% có thể cho rằng chiều cao trung bình của bé trai ở thành phố A cao hơn mức trung bình chung của cả nước không?
Giải. Gọi X là chiều cao của bé trai 3 tuổi ở thành phố A và E(X) = µ. Ta cần
kiểm định giả thuyết H0 :µ= 96 với đối thuyết H1 :µ >96. υ = 1,67 P-giá trị= 1−Φ(1,67) = 0,047< α nên bác bỏ H0.
3.2.2. Chưa biết phương sai và cỡ mẫu lớn P-giá trị H0 :µ=µ0 H1 :µ > µ0 1−Φ(|υ|) H0 :µ=µ0 H1 :µ < µ0 1−Φ(|υ|) H0 :µ=µ0 H1 :µ6=µ0 2(1−Φ(|υ|)) Trong đó υ = (x−µ0)√ n s .
Ví dụ 3.5. Trọng lượng của một loại sản phẩm do một xí nghiệp sản xuất đạt tiêu chuẩn nếu có trọng lượng là 6 kg. Sau một thời gian sản xuất người ta tiến hình kiểm tra ngẫu nhiên 121 sản phẩm do xí nghiệp đó sản xuất và tính được trung bình mẫu x = 5,8 kg và độ lệch chuẩn mẫu s = 1,4 kg. Với mức ý nghĩa
α = 5% có thể cho rằng trọng lượng sản phẩm của xí nghiệp đạt tiêu chuẩn
khơng? Biết rằng trọng lượng sản phẩm của xí nghiệp có phân phối chuẩn.
Giải. GọiXlà trọng lượng sản phẩm vàE(X) =µlà trọng lượng sản phẩm trung bình thực tế. Ta cần kiểm định giả thuyết H0 :µ= 6 với đối thiết H1 :µ6= 6.
υ = x−µ0 s
√
n =−1,571.
P-giá trị= 2(1−Φ(1,571)) = 0,116 > α nên chưa có cơ sở bác bỏ H0.
Ví dụ 3.6. Một bản nghiên cứu báo cáo rằng mức chi tiêu trung bình hàng tháng của một sinh viên là 4 triệu đồng. Để kiểm tra người ta chọn ngẫu nhiên 36 sinh viên và tính được trung bình mỗi tháng họ chi tiêu hết x = 3,8 triệu đồng với độ lệch chuẩn s = 1 triệu đồng. Với mức ý nghĩa 5% có thể kết luận báo cáo trên có cao hơn sự thật khơng?
Giải. Gọi X (triệu đồng) là số tiền mà mỗi sinh viên chi tiêu trong 1 tháng và
E(X) =µ. Ta cần kiểm định giả thuyết H0:µ= 4 với đối thiết H1:µ <4.
υ = x−µ0 s
√
n =−1,2.
P-giá trị = 1−Φ(1,2) = 0,115 > α nên chưa có cơ sở bác bỏ H0. Tức là có thể chấp nhận báo cáo trên.
Giáo trình thống kê thực hành
3.2.3. Chưa biết phương sai và cỡ mẫu nhỏ
Giả sửXlà biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩnN(µ;σ2)với kì vọngE(X) =µ
chưa biết và phương sai V(X) =σ2 chưa biết.
P-giá trị H0 :µ=µ0 H1 :µ > µ0 1−P(Tn−1 <|υ|) H0 :µ=µ0 H1 :µ < µ0 1−P(Tn−1 <|υ|) H0 :µ=µ0 H1 :µ6=µ0 2(1−P(Tn−1 <|υ|)) Trong đó υ = (x−µ0)√ n
s , Tn−1 là phân phối Student n−1 bậc tự do. Để tính P-giá trị ta có thể sử dụng Bảng V.
Ví dụ: Tính P(T19<0,6).
Ta có P(T19 <0,6) = 0,722.
Ví dụ 3.7. Tuổi thọ trung bình của một loại bóng đèn do nhà máy A sản xuất khi chưa cải tiến kĩ thuật là 2000 giờ. Sau thời gian cải tiến kĩ thuật người ta chọn ngẫu nhiên 25 bóng đèn cho lắp thử nghiệm, kết quả thực nghiệm thu được tuổi thọ trung bình mẫu x= 2010giờ và độ lệch chuẩn mẫu s = 15 giờ. Với mức ý nghĩa 0.025 có thể kết luận "sau khi cải tiến kĩ thuật, tuổi thọ bóng đèn có tăng lên" khơng? Biết tuổi thọ bóng đèn có phân phối chuẩn.
Giải. Gọi X là tuổi thọ bóng đèn sau cải tiến kĩ thuật và E(X) =µ là tuổi thọ trung bình. Ta cần kiểm định giả thuyếtH0:µ= 2000với đối thiếtH1:µ >2000.
υ = x−µ0 s
√
n = 4.2.
P-giá trị= 1−P(T24 <4.2) = 0<0,025,
nên bác bỏ H0 tức là có cơ sở để kết luận "sau khi cải tiến kĩ thuật, tuổi thọ bóng đèn có tăng lên".
Ví dụ 3.8. Một mẫu số liệu về nồng độ glycerol (mg/ml) trong rượu vang trắng của công ty A như sau: 2.67,4.62,4.14,3.81,3.83. Giả sử nồng độ glycerol trung bình trong rượu vang trắng đạt tiêu chuẩn là 4 (mg/ml). Với mức ý nghĩa 5% có thể cho rằng nồng độ glycerol trung bình trong rượu vang trắng của cơng ty A đạt tiêu chuẩn không?
Chứng minh. Từ biểu đồ xác suất chuẩn ta có thể chấp nhận tổng thể có phân bố chuẩn
Gọi µ= nồng độ glycerol trung bình trong rượu vang trắng của cơng ty A. Bài tốn kiểm định:
H0 :µ= 4
H1 :µ6= 4
Từ mẫu số liệu ta có n= 5, x= 3.814, and s = 0.718.
υ = 3.814−4 0.718
√
5≈ −0.6.
P-giá trị= 2(1−P(T4 <| −0.6|)) = 2(1−P(T4 <0.6)) = 0.29>0.05, nên chưa có cơ sở bác bỏ H0.
Giáo trình thống kê thực hành