Suy ra OA=OH = AH 2 = 24 5 2 = 12 5 =r1. Xét4AHC vuông tại H ta có
AC2 =AH2+HC2 (định lí Pytago) AH2 =AC2−HC2 AH2 = 82− Å24 5 ã2 ⇒AH = 32 5 . Suy ra KH =KC = HC 2 = 32 5 2 = 16 5 =r2. Xét4AHC có ®
O là trung điểm của AH K là trung điểm HC.
Suy ra OK là đường trung bình của 4AHC. Do đóOK = 1 2AC = 1 2·8 = 4. Vì 16 5 −12 5 <4< 16 5 + 12 5 nên r2−r1 < OK < r2+r1. Vậy hai đường tròn (O) và (K) cắt nhau tại hai điểm.
b) Xét đường trịn (O)có đường kính AH cóD∈(O) nên 4AHD nội tiếp đường trịn (O). Suy ra 4ADH vng tạiD.
Xét đường trịn (K) có đường kínhHC cóE ∈(K) nên 4HEC nội tiếp đường trịn (K). Suy ra 4HEC vuông tại E ⇒HE ⊥AC.
Xét tứ giác AEHD có ’
DAE = 90◦ (4ABC vng tại A) ’
ADH = 90◦ (4ADH vuông tại D) ’
AEH = 90◦ (HE ⊥AC).
Suy ra AEHD là hình chữ nhật (Tứ giác có 3 góc vng). c) Xét 4OHK và 4OEK có OH =OE =r1 (gt) KH =KE =r2 (gt) OK cạnh chung. Suy ra 4OHK =4OEK (c - c - c).
Suy ra ÷OHK =OEK’ = 90◦ (hai góc tương ứng) Do đóOE ⊥EK tại E hay DE ⊥KE tại E. MàE ∈(K) ((K) cắt AC tại E).
Khi đó đường thẳng DE là tiếp tuyến của(K).
Ta cóAEHDlà hình chữ nhật (câu b) nênDE =AH (hai đường chéo bằng của hình chữ nhật). MàAH = 24 5 suy ra DE = 24 5 . Vậy DE = 24 5 .
cBài 4. Cho hai đường tròn (O;R)và (O0;R0) vớiR > R0 cắt nhau tạiA và B sao cho OAO’0 = 90◦.
a) Chứng minh bốn điểm O, A, O0, B cùng thuộc một đường trịn (H). Xác định tâm H và bán kính của (H).
b) Trên tia đối của tiaBA lấy điểmP, kẻ các tiếp tuyếnP C,P C0 với(O)và(O0). Chứng minh
P C =P C0.
c) Chứng minh P O2 −P O02 không phụ thuộc vào vị trí của P khi P chạy trên đường thẳng AB.
cBài 5. Cho hai đường trịn (O;R) và (K;r) tiếp xúc ngồi với nhau tại A (R > r). Một cát tuyến bất kì qua A cắt (O) tại B và cắt (K) tại C.
a) Chứng minh OB ∥KC.
b) Gọi D là điểm đối tâm của B trong (O). Chứng minh đường thẳng DC luôn đi qua một điểm cố định S khi cát tuyến BAC quay quanh A.
c) Cho R = 3r. Xác định vị trí của cát tuyến BAC sao cho DC là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O)và (K).
cBài 6. *Cho hình bình hànhABCD (AB > AD). LấyA làm tâm, vẽ đường trịn bán kínhAD cắt đường thẳng AB tại E. Lấy B làm tâm, vẽ đường trịn bán kính BE cắt đường thẳng DE tại điểm F.
a) Chứng minh hai đường tròn (A;AD)và (B;BE)tiếp xúc nhau. b) Chứng minh F, B, C thẳng hàng.
cBài 7. *Cho tam giác nhọn ABC có phân giác CD. Lấy D làm tâm vẽ nửa đường tròn bán kínhRtiếp xúc với AC tạiE, tiếp xúc vớiCB tại F. Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với nửa đường tròn(D)tạiK và tiếp xúc với hai cạnhAC vàBC của4ABC. Chứng minhC,O,Dthẳng hàng. cBài 8. *Cho đường trịn(O)và(O0)ở ngồi nhau. Kẻ tiếp tuyến chung ngoàiAB và tiếp tuyến chung trong EF với A, E ∈(O) vàB, F ∈(O0). GọiM là giao điểm củaAB vàEF. Chứng minh rằng:
a) 4AOM v4BM O0. b) AE ⊥BF tại N.
c) O, N, O0 thẳng hàng.
cBài 9. Cho đoạn thẳng OO0 và điểm A nằm giữa O, O0.
a) Chứng tỏ hai đường trịn(O;OA) và (O0;O0A)tiếp xúc ngồi nhau.
b) Qua A vẽ đường thẳng cắt (O), (O0) lần lượt tại B và C. Chứng minh rằng hai bán kính OB và O0C song song nhau.
cBài 10. Cho đường trịn tâm O, đường kính AB. Gọi (S) là đường trịn tâm S, đường kính OA.
38
a) Chứng minh(O) và (S) tiếp xúc nhau.
b) N là điểm trên (O), AN cắt (S) tại M. Chứng minh các tam giác AM O và AN B vuông, OM ∥BN và M là trung điểm củaAN.
c) Chứng minh tiếp tuyến của(O) tại N và tiếp tuyến của (S)tại M song song nhau. cBài 11. Cho điểm A nằm giữa hai điểm O, O0 cố định.
a) Chứng minh hai đường tròn(O;OA=R) và (O0;O0A=R0) tiếp xúc ngoài nhau.
b) Gọi a là tiếp tuyến chung tại A và a cắt tiếp tuyến chung ngoài BC tại D; E là điểm đối xứng của A quaD. Chứng minh DB =DC và ABEC là hình chữ nhật.
c) Chứng minh rằngAE = 2√ RR0.
cBài 12. Cho 4ABC vng tại A có đường cao AH.
a) Chứng minh rằng ba đường trịn đường kính BC, BH, CH tiếp xúc nhau từng đơi một. b) ABcắt đường trịn đường kínhBH tạiD,AC cắt đường trịn đường kínhCH tại E. Chứng
minh DE =AH.
c) Chứng minhDE là tiếp tuyến chung của cả hai đường trịn đường kính BH, CH.
cBài 13. Cho hai đường trịn(O)và(O0)tiếp xúc nhau tạiA. Góc vuôngxAyquay xung quanh điểm A, Ax cắt (O)tại B, Ay cắt (O0) tại C.
a) Chứng minhOB ∥ O0C.
b) GọiC0 là điểm đối xứng của C qua O0. Chứng minh ba điểmB, A, C0 thẳng hàng.
c) QuaO vẽd⊥AB, d cắt BC tại M. Tìm quỹ tích điểm M khi các dây AB, AC thay đổi vị trí nhưng vẫn vng góc với nhau.