Phép lấy vi phân khó hơn so với phép lấy tích phân, phép lấy tích phân cho cả một vùng, hoặc đặc tính vĩ mô của hàm trong khi phép lấy vi phân chỉ lấy tại một điểm nào đấy, hay còn gọi là đặc tính vi mô của hàm. Kết quả là phép tính vi phân sẽ không ổn định khi đặc tính của hàm thay đổi, trong khi phép tính tích phân ít chịu ảnh hưởng hơn.
Vì phép tính vi phân là khó nên người ta cố tránh những phép tính nào mà không thể thực hiện được, đặc biệt khi dữ liệu lấy tích phân là kết quả của thực nghiệm.
Cú pháp: Y = diff(X)
Y = diff(X,n)
Y = diff(X,n,dim)
Y = diff(X)
o Nếu X là dữ liệu kiểu vô hướng thì Y=[]
o Nếu X =[x1 x2 x3 x4 …xn-1 xn ] thì Y=[x2-x1 x3-x2 x4-x3 …xn-xn-1 ]
o Nếu X là một ma trận m×n thì Y=[X(2:m,:)-X(1:m-1,:)] Ví dụ:
X = 2 3 3 4 5 1 3 4 5 2 3 4 3 3 3 >> Y=diff(X) Y = 2 2 -2 -1 -1 4 -1 -1 -1 1 0 -1 Y=diff(X,n): diff(diff(…diff(X)…)): tính n lần Ví dụ: Với X và Y ở ví dụ trên. >> Z=diff(Y) Z = -3 -3 6 0 0 -5 2 1 0 >> Z=diff(X,2) Z = -3 -3 6 0 0 -5 2 1 0
Y = diff(X,n,dim): Hàm tính n lần độ chênh lệch giữa các phần tử theo chiều dim. Ví dụ: X = 2 3 3 4 5 1 3 4 5 2 3 4 3 3 3 >> diff(X,1,2) ans =
1 0 1 -4 1 1 1 1 0 0
Nếu dim ≥ số chiều của ma trận thì hàm trả về mảng rỗng.
Nhờ hàm diff mà ta có thể tính đạo hàm một cách sơ bộ dựa vào dữ liệu mô tả một số hàm. Đạo hàm được định nghĩa như sau:
dy/dx = limh->0(f(x+h)-f(x))/h. Nên đạo hàm của hàm f(x) có thể được tính một cách xấp xỉ dựa vào công thức: y’ = (f(x+h)-f(x))/h, hay còn gọi là số gia của y chia cho số gia của x.
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm y=sinx trên đoạn [-pi,pi]. Nghiệm đúng y’=cosx. Để tính gần đúng ta thực hiện chia đoạn cần tính thành 100 khoảng.
%script file: daoham.m clc; x=linspace(-pi,pi,100); y=sin(x); dy=diff(y); dx=diff(x); dyx=dy./dx; dyx=[dyx 0]; plot(x,y,'*',x,dyx)
CHƯƠNG 5 ĐỒ HOẠ HAI CHIỀU 5.1 Sử dụng lệnh plot
Vẽ một đường
Phần lớn các câu lệnh để vẽ đồ thị trong mặt phẳng đều là lệnh plot. Lệnh plot vẽ đồ thị của một mảng dữ liệu trong một hệ trục toạ độ thích hợp, và nối các điểm bằng đường thẳng.
Ví dụ: script file x = linspace(0,pi,50); y = tan(sin(x)) - sin(tan(x)); plot(x,y,'--p','LineWidth',1,... 'MarkerEdgeColor','r',... 'MarkerFaceColor','r',... 'MarkerSize',5)
(Dấu ‘…’ dùng để nối câu lệnh khi xuống dòng)
Ví dụ này tạo 50 điểm theo chiều ngang của đồ thị trong đoạn [0,pi], và tạo một vector y = tansinx-sintanx. Lệnh plot mở ra một cửa sổ đồ hoạ figure, trong cửa sổ này tạo độ chia phù hợp với dữ liệu, vẽ đồ thị qua các điểm, và đồ thị
được tạo thành bởi việc nối các điểm này bằng đường nét liền. Các thang chia số và dấu được tự động cập nhật vào, nếu cửa sổ figure đã tồn tại, plot xoá cửa sổ hiện thời và thay vào đó là cửa sổ mới.
Vẽ nhiều đường
Ví dụ: vẽ hai đường cos(x) và sin(x) trên cùng một hệ trục toạ độ. >> x=linspace(0,2*pi,1000);
>> y=sin(x); >> z=cos(x); >> plot(x,y,x,z)
Ví dụ này cho thấy ta có thể vẽ nhiều đường trên cùng một hệ trục toạ độ bằng cách đưa thêm vào plot một cặp đối số, plot tự động vẽ đồ thị thứ hai bằng màu khác trên màn hình. Nhiều đường cong có thể cùng vẽ một lúc nếu ta cung cấp đủ các cặp đối số cho lệnh plot.
Nếu một trong các đối số là ma trận và đối số còn lại là vector, thì lệnh
plot sẽ vẽ tương ứng mõi cột của ma trận với vector đó. Ví dụ:
>> w=[y;z]; >> plot(x,w)
Nếu thay đổi trật tự các đối số thì đồ thị sẽ xoay một góc bằng 900. Ví dụ:
>> plot(w,x)
Lệnh plot có một đối số
Nếu lệnh plot được gọi mà chỉ có một đối số, ví dụ plot(y) thì hàm plot
sẽ đưa ra một kết quả khác, phụ thuộc vào dữ liệu chứa trong y.
Nếu giá trị của y là một số phức, plot(y) tương đương với plot(real(y))
và plot(imag(y)). Trong tất cả các trường hợp khác thì phần ảo của y thường được bỏ qua.
Ví dụ:
>> y=[0+i 1+2i 2+4i 3+9i]; >> plot(y)
Mặt khác nếu y là phần thực thì plot(y) tương đương với
plot(1:length(y),y). Ví dụ:
>> x=linspace(0,2*pi,1000); >> y=sin(x);
>> plot(y)
5.2 Kiểu đường, dấu và màu
Trong Matlab khi vẽ đồ thị ta có thể khai báo kiểu màu, nét vẽ riêng bằng việc đưa vào plot một đối số thứ ba sau mỗi cặp dữ liệu của mảng. Các đối số tuỳ chọn này là một xâu ký tự, có thể chứa một hoặc nhiều hơn.
Nếu không khai báo màu thì Matlab sẽ chọn màu mặc định là blue. Kiểu đường mặc định là kiểu solid, còn về dấu, nếu không có dấu nào được chọn thì sẽ không có kiểu của dấu nào được vẽ.
Nếu một màu, dấu, và kiểu đường tất cả đều chứa trong một xâu, thì kiểu màu chung cho cả dấu và kiểu nét vẽ. Để khai báo màu khác cho dấu, ta phải vẽ cùng một dữ liệu với các kiểu khai báo chuỗi khác nhau.
Bảng màu, dấu và kiểu nét. Biểu tượng Màu Biểu tượng Dấu Biểu tượng Kiểu nét vẽ
b Xanh da trời . Điểm - Nét liền
g Xanh lá cây 0 Tròn : Đường chấm
r Đỏ x dấu x -. đường gạch
chấm
c Xanh xám + Dấu + -- đường gạch
gạch m Đỏ tím * Dấu * y Vàng s Vuông k Đen d Diamond w Trắng v Triangle(down) ^ Triangle(up) < Triangle(left) > Triangle(Right) p Pentagram h hexagram Ví dụ 1: >> x=linspace(0,2*pi,1000); >> y=sin(x); >> plot(x,y,'g--')
Ví dụ 2: >> x=linspace(0,2*pi,20); >> y=sin(tan(x)); >> plot(x,y,'m--+') 5.3 Kiểu đồ thị
Lệnh colordef cho phép lựa chọn kiểu hiển thị. Giá trị mặc định của
colordef là white. Kiểu này sử dụng trục toạ độ, màu nền, nên hình vẽ màu xám sáng, và tiêu đề của trục màu đen, có thể dùng lệnh colordef black. kiểu này sẽ cho ta nền trục toạ độ đen, nền hình vẽ màu tối xám, tiêu đề trục màu trắng.
5.4 Đồ thị lưới, hộp chứa trục, nhãn và lới chú giải
Lệnh grid on sẽ thêm đường lưới vào đồ thị hiện tại. Lệnh grid off sẽ bỏ các nét này.
Lệnh grid không có tham số đi kèm theo thì sẽ xen kẽ giữa chế độ on
và off. Matlab khởi tạo với grid off. Thông thường trục toạ độ có nét gần kiểu
solid nên gọi là hộp chứa trục. Hộp này có thể tắt đi với box off và box on sẽ khôi phục lại. Trục đứng và trục ngang có thể có nhãn với lệnh xlabel và
ylabel. Lệnh title thêm vào đồ thị tiêu đề ở đỉnh. Ví dụ: Tạo script file: ‘graphexample.m’ clc;
x=linspace(-10,10,50);% Tao mang x y=x.^2+sin(x);% Tao mang y
z=10*x.^2+cos(x);% mang z plot(x,y,'b--',x,z,'m*');% Ve z va y grid on% Tao luoi
xlabel('independent variable x');% Nhan x ylabel('independent variable y and z');% Nhan y
Thêm chuỗi ký tự vào đồ thị tại một vị trí được chọn: text(x,y,’string’)
trong đó x,y là toạ độ tâm bên trái của chuỗi văn bản. Ví dụ:
clc;
x=linspace(-10,10,50);% Tao mang x y=x.^2+sin(x);% Tao mang y
z=10*x.^2+cos(x);% mang z plot(x,y,'b--',x,z,'m');% Ve z va y grid on% Tao luoi
xlabel('independent variable x');% Nhan x ylabel('independent variable y and z');% Nhan y
title('y=x^2+sin(x) and z=10x^2+cos(x)');% Tieu de o dinh text(0,0,'(0,0)');%Toa do (0,0)
text(-6,400,'z=10x^2+cos(x)');%Toa do (-6,400) text(4,-100,'y=x^2+sin(x)');%Toa do (4,-100)
Thêm chuỗi văn bản bằng cách di chuột tới vị trí mong muốn
Lệnh gtext(string)
Ví dụ:
gtext('y=x^2+sin(x)'); gtext('z=10*x^2+cos(x)');
5.5 Kiến trúc hệ trục toạ độ
Matlab cung cấp công cụ để có thể kiểm soát hoàn toàn hình dáng và thang chia của cả hai trục đứng và ngang với lệnh axis. Do lệnh này có nhiều yếu tố, nên ở đây đề cập một số dạng hay dùng. Để biết chi tiết hơn về lệnh axis có thể mở help để xem trợ giúp trực tuyến của Matlab. Các đặc tính cơ bản của lệnh axis được cho trong bảng dưới đây.
Lệnh Mô tả
axis([xmin xmax ymin ymax])
Thiết lập các giá trị min, max của hệ trục dùng các giá trị được đưa ra trong vector hàng.
v=axis v là vector cột có chứa thang chia cho đồ thị hiện tại [xmin xmax ymin ymax]
axis auto Trả lại giá trị mặc định thang chia axis(‘auto’) xmin=min(x), xmax=max(x),…
axis manual Giới hạn thang chia như thang chia hiện tại
axis xy
Sử dụng (mặc định) hệ toạ độ decac trong đó gốc toạ độ ở góc thấp nhất bên trái, trục ngang tăng từ trái qua phải, trục đứng tăng từ dưới lên trên.
axis ij
Sử dụng hệ toạ độ ma trận, trong đó gốc toạ độ ở đỉnh góc trái, trục đứng tăng từ đỉnh xuống, trục ngang tăng từ trái qua phải.
axis square Thiết lập đồ thị hiện tại là hình vuông, so với mặc định hình chữ nhật.
axis equal Thiết lập thang chia giống nhau cho cả hai hệ trục.
axis tightequal Tương tự như equal nhưng hộp đồ thị vừa đủ đối với dữ liệu
axis normal Tắt chế độ axis equal, equal, tight và 3D axis off
Tắt bỏ chế độ nền trục, nhãn, lưới và hộp dấu. Thoát khỏi chế độ lệnh tight và bất cứ lệnh label nào, và thay bởi lệnh text và gtext axis on Ngược lại với lệnh axis off nếu chúng có thể
5.6 In hình
Để in hình vừa vẽ hoặc các hình trong chương trình của Matlab đã dược tạo, ta có thể dùng lệnh từ bảng chọn hoặc đánh lệnh in từ cửa sổ lệnh.
In bằng lệnh từ bảng chọn
Trước tiên chọn cửa sổ hình là cửa sổ hoạt động bằng cách nhấn chuột lên đó, sau đó chọn mục bảng chọn print từ bảng chọn file. Dùng các thông số tạo nên trong mục bảng chọn print Setup, đồ thị hiện tại sẽ được gửi ra máy in.
In bằng lệnh từ cửa sổ lệnh
Chọn cửa sổ hình làm cửa sổ hoạt động bằng cách nhấn chuột lên đó hoặc dùng lệnh figure(n). Sau đó dùng lệnh in print
Lệnh orient thay đổi kiểu in. Kiểu mặc định là kiểu portrait, in theo chiều đứng, ở giữa trang. Kiểu Lanscape là kiểu in ngang. Kiểu in tall là kiểu in đứng nhưng kín toàn bộ trang. Để thay đổi kiểu in khác với kiểu mặc định, ta có thể dùng lệnh orient với các thông số của nó như sau:
>>orient ans= portrait >>orient landscape >> orient tall 5.7 Thao tác với đồ thị Lệnh hold
Thêm nét vẽ vào đồ thị đã có sẵn bằng lệnh hold. Khi thiết lập hold on, Matlab không bỏ đi hệ trục đã tồn tại trong khi lệnh plot mới đang thực hiện, thay vào đó, nó thêm đường cong mới vào hệ trục hiện tại. Tuy nhiên nếu dữ liệu không phù hợp với hệ trục toạ độ cũ, thì trục được chia lại.
Lệnh hold off bỏ đi cửa sổ figure hiện tại và thay vào đó bằng một đồ thị mới. Lệnh hold mà không có đối số sẽ bật tắt chức năng của chế độ thiết lập
hold trước đó. Ví dụ: clc
x=linspace(0,pi,1000);
y=sin(x); plot(x,y); hold on
ishold% Ham tra ve 1 neu hold o trang thai on z=cos(x); plot(x,z,'r --'); hold off ishold axis([0 pi -1 1]); gtext('sinx'); gtext('cosx');
Tạo nhiều cửa sổ figure
Nếu muốn hai hay nhiều đồ thị ở các cửa sổ khác figure nhau, có thể dùng lệnh figure trong cửa sổ lệnh hoặc chọn new figure từ bảng chọn file,
figure không có tham số sẽ tạo một figure mới. Ta có thể chọn kiểu figure
bằng cách dùng chuột hoặc dùng lệnh. figure(n) trong đó n là số cửa sổ hoạt động.
Lệnh subplot
Một cửa sổ figure có thể có nhiều hơn một hệ trục toạ độ. Lệnh
thị, và chọn p là cửa sổ hoạt động. Các đồ thị thành phần được đánh số từ trái qua phải, từ trên xuống dưới, sau đó đến hàng thứ hai,…
Ví dụ: x=linspace(0,2*pi,30); y=sin(x); subplot(1,2,1); plot(x,y); axis([0 2*pi -1 1]); title('sinx'); z=cos(x); subplot(1,2,2); plot(x,z); axis([0 2*pi -1 1]); title('cosx');
CHƯƠNG 6
ĐỒ HOẠ TRONG KHÔNG GIAN BA CHIỀU
Matlab cung cấp một số hàm để hiển thị dữ liệu ba chiều như các hàm vẽ đường thẳng trong không gian ba chiều, các hàm vẽ bề mặt và khung dây, màu có thể được sử dụng thay thế cho chiều thứ tự.
6.1 Đồ thị đường thẳng
Lệnh plot từ trong không gian hai chiều có thể mở rộng cho không gian ba chiều bằng lệnh plot3. Khuôn dạng của plot3 như sau:
plot3(X1,Y1,Z1,S1,X2,Y2,Z2,S2,...)
Trong đó Xn, Yn, Zn là các vector hoặc ma trận, Sn là xâu ký tự tuỳ chọn dùng cho việc khai báo màu, tạo biểu tượng hoặc kiểu đường.
Ví dụ: clc
t = 0:pi/50:10*pi; x1=sin(t);y1=cos(t);z1=t; x2=cos(t);y2=sin(t);z2=2*t; plot3(x1,y1,z1,'r--*',x2,y2,z2,'bo'); grid on box on title('Vi du plot3'); xlabel('sint');ylabel('cost');zlabel('t'); axis square
Đối với đồ thị trong không gian ba chiều khi muốn đặt một xâu ký tự vào một vị trí bất kỳ ta có thể dùng hàm text, hàm text cũng có khuôn mẫu như sau: text(x,y,z,string)
6.2 Đồ thị bề mặt và lưới
Matlab định nghĩa bề mặt lưới bằng các điểm theo hướng trục z ở trên đường kẻ ô hình vuông trên mặt phẳng x-y. Nó tạo nên mẫu một đồ thị bằng cách ghép các điểm gần kề với các đường thẳng. Kết quả là nó trông như một
mạng lưới đánh cá với các mắt lưới là các điểm dữ liệu. Đồ thị lưới này thường được sử dụng để quan sát những ma trận lớn hoặc vẽ những hàm có hai biến.
Hàm meshgrid và hàm mesh
Bước đầu tiên là đưa ra đồ thị lưới của hàm hai biến z=f(X,Y), tương ứng với ma trận X và Y chứa các hàng và các cột lặp đi lặp lại, Matlab cung cấp hàm meshgrid cho mục đích này.
[X,Y]=meshgrid(x,y), tạo một ma trận X, mà các hàng của nó là bản sao của vector x, và ma trận Y có các cột của nó là bản sao của vector y. Cặp ma trận này sau đó được sử dụng để ước lượng hàm hai biến sử dụng đặc tính toán học về mảng của Matlab.
Ví dụ: clc
x = 0:1:10; y=2*x;
[X,Y]=meshgrid(x,y)
[X,Y] là một cặp của ma trận tương ứng một lưới chữ nhật trong mặt phẳng x- y. Mọi hàm z=f(x,y) có thể sử dụng tính chất này.
Ví dụ: clc x = 0:pi/50:10*pi; y=x; [X,Y]=meshgrid(x,y); R=sqrt(X.^2+Y.^2)+eps; Z=sin(R)./R; mesh(X,Y,Z); box on
Ma trận R chứa bán kính của mỗi điểm trong [X,Y], nó là khoảng cách từ mỗi điểm đến tâm ma trận, cộng thêm eps để không xảy ra phép chia cho không. Ma trận Z chứa sine của bán kính mỗi điểm trong sơ đồ. Câu lệnh mesh(X,Y,Z) vẽ đồ thị lưới.
Để thay đổi màu sắc với sự trợ giúp của Matlab có thể tham khảo colormaps…
Trong ví dụ này hàm mesh sắp xếp giá trị của các phần tử của ma trận vào các điểm (Xi, Yi, Zi) trong không gian ba chiều. Hàm mesh cũng có thể vẽ một ma trận đơn tương tự như với một đối số; mesh(Z), sử dụng các điểm (i,j,Zj). Như vậy Z được vẽ ngược lại với các chỉ số của nó, trong trường hợp này mesh(Z) chỉ đơn giản chia lại độ khác của các trục x, y theo các chỉ số của ma trận Z.
Hàm surf
Đồ thị bề mặt của cùng một ma trận Z trông như đồ thị lưới trước đó, ngoại trừ khoảng cách giữa hai đường thẳng là khác nhau. Đồ thị loại này dùng hàm surf với đối số như hàm mesh.
Ví dụ: clc x = 0:pi/10:10*pi; y=x; [X,Y]=meshgrid(x,y); R=sqrt(X.^2+Y.^2)+eps; Z=sin(R)./R; surf(X,Y,Z); box on
6.3 Thao tác với đồ thị
Matlab cho phép khai báo góc để từ đó quan sát được đồ thị trong không gian ba chiều.
Hàm view
view(azimuth, elevation) thiết lập góc xem bằng việc khai báo azimuth
và elevation. ‘elevation’ mô tả vị trí người quan sát, được xem như là góc đo bằng độ trên hệ trục x-y. ‘azimuth’ mô tả góc trong hệ trục nơi người quan sát đứng.
Azimuth được đo bằng độ từ phần âm trục y. Phía âm trục y có thể quay theo chiều kim đồng hồ một góc -37.5 độ từ phía người quan sát.
Elevation là góc mà tại đó mắt ta thấy được mặt phẳng x-y.
Sử dụng hàm view cho phép quan sát hình vẽ từ các góc độ khác nhau. Ví dụ nếu elevation thiết lập âm, thì view sẽ nhìn hình từ phía dưới lên. Nếu